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\layout Title

Análisis Numérico I
\newline 
Trabajo Práctico N° 2
\layout Author

Leandro Lucarella (77.891)
\layout Date

$Date$
\newline 
$Rev$
\layout Standard

Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella.
\layout Standard

Tiene permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo
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\begin_inset LatexCommand \url{http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt}

\end_inset 

 o en español (sin validez legal) en 
\begin_inset LatexCommand \url{http://www.geocities.com/larteaga/gnu/gfdl.html}

\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \tableofcontents{}

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \listoffigures{}

\end_inset 


\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \listoftables{}

\end_inset 


\layout Chapter

Introducción.
\layout Section

Objetivo.
\layout Standard

Resolver un problema práctico implementando distintas metodologías de discretiza
ción de ecuaciones diferenciales ordinarias.
 Analizar el sistema físico bajo estudio y comparar las técnicas de resolución.
\layout Section

Introducción: Oscilación de líquidos
\layout Standard

Se estudiará un transitorio hidráulico, consistente en el movimiento de
 un fluido luego que es apartado de su condición de equilibrio gravitatorio.
 Como caso particular se presenta la oscilación entre dos depósitos comunicados
 como se indica en la figura
\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 368 283
file diagrama.eps
width 1 13
height 1 10
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:diagrama}

\end_inset 

Esquema del modelo físico.
\end_float 
, donde 
\begin_inset Formula \( z_{1} \)
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula \( z_{2} \)
\end_inset 

 son los apartamientos de las superficies de los depósitos respecto de las
 posiciones de equilibrio, 
\begin_inset Formula \( A_{1} \)
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula \( A_{2} \)
\end_inset 

 son las áreas horizontales de los depósitos (supuestas constantes), 
\begin_inset Formula \( L \)
\end_inset 

 es la longitud de la tubería de comunicación y 
\begin_inset Formula \( L \)
\end_inset 

 su sección (considerada circular).
\layout Standard

Considerando un fluido incompresible resulta 
\begin_inset Formula \( z\cdot A=z\cdot A_{1}=z\cdot A_{2} \)
\end_inset 

, con 
\begin_inset Formula \( z \)
\end_inset 

 el desplazamiento de una partícula de fluido dentro de la tubería y respecto
 de su posición de equilibrio.
 Así, la ecuación de movimiento del sistema es:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:ec_dif_fisica}
\frac{\textrm{d}^{2}z}{dt^{2}}+\phi _{(z)}\cdot \frac{dz}{dt}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot z=0
\end{equation}

\end_inset 

con 
\begin_inset Formula \( t \)
\end_inset 

 el tiempo, 
\begin_inset Formula \( g \)
\end_inset 

 la aceleración de la gravedad, 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)} \)
\end_inset 

 un factor asociado a pérdidas por fricción y 
\begin_inset Formula \( G \)
\end_inset 

 un factor geométrico.
 Como condiciones iniciales se considerarán: 
\begin_inset Formula \( z_{(0)}=\Delta z \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( \left. \frac{dz}{dt}\right| _{0}=0 \)
\end_inset 

.
 
\layout Chapter

Discretización.
\layout Standard

La ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:ec_dif_fisica}

\end_inset 

 se deberá discretizar utilizando cada uno de los siguientes esquemas:
\layout Itemize

Euler explícito (E)
\layout Itemize

Runge-Kutta de orden 4 (RK4)
\layout Itemize

Nystrom (N)
\layout Section

Euler y Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

Estos métodos se construyen de forma similar.
 Primero, al tratarse de una ecuación diferencial de segundo grado, hay
 que hacer un cambio de variables y plantear un sistema de dos ecuaciones:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:cambio_variables}
\left\{ \begin{array}{rcl}
x=z & \Rightarrow  & \frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dt}\\
y=\frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dt} & \Rightarrow  & \frac{dy}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d^{2}z}{dt^{2}}
\end{array}\right. 
\end{equation}

\end_inset 


\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:sist_ec_dif}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lllll}
\frac{dx}{dt} & = & y & = & f_{x_{(t,x,y)}}\\
\frac{dy}{dt} & = & -\phi _{\left( x,y_{(x)}\right) }\cdot y-\frac{g\cdot G}{L}\cdot x & = & f_{y_{(t,x,y)}}
\end{array}\right. 
\end{equation}

\end_inset 

ahora discretizamos le sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado
 según el método.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:euler}
\left\{ \begin{array}{lllll}
x_{n+1} & = & x_{n}+k\cdot f_{x_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }} & = & x_{n}+k\cdot y_{n}\\
y_{n+1} & = & y_{n}+k\cdot f_{y_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }} & = & y_{n}-k\cdot \left( \phi _{\left( x_{n},y_{n}\right) }\cdot y_{n}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{n}\right) 
\end{array}\right. 
\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard


\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:rk4}
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{lll}
q_{x_{1}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }}\\
q_{y_{1}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }}
\end{array}\right. \\
\left\{ \begin{array}{lll}
q_{x_{2}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{1}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{1}}}{2}\right) }}\\
q_{y_{2}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{1}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{1}}}{2}\right) }}
\end{array}\right. \\
\left\{ \begin{array}{lll}
q_{x_{3}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{2}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{2}}}{2}\right) }}\\
q_{y_{3}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{2}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{2}}}{2}\right) }}
\end{array}\right. \\
\left\{ \begin{array}{lll}
q_{x_{4}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+k,x_{n}+q_{x_{3}},y_{n}+q_{y_{3}}\right) }}\\
q_{y_{4}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+k,x_{n}+q_{x_{3}},y_{n}+q_{y_{3}}\right) }}
\end{array}\right. \\
\left\{ \begin{array}{lll}
x_{n+1} & = & x_{n}+\frac{1}{6}\cdot \left( q_{x_{1}}+2\cdot q_{x_{2}}+2\cdot q_{x_{3}}+q_{x_{4}}\right) \\
y_{n+1} & = & y_{n}+\frac{1}{6}\cdot \left( q_{y_{1}}+2\cdot q_{y_{2}}+2\cdot q_{y_{3}}+q_{y_{4}}\right) 
\end{array}\right. 
\end{array}
\end{equation}

\end_inset 


\layout Section

Nystrom.
\layout Standard

La construcción del método de Nystrom difiere de las anteriores ya que no
 es necesario hacer un sistema de ecuaciones.
 Nystrom parte del operador centrado 
\begin_inset Formula \( \frac{d^{2}z}{dt^{2}}=f_{\left( t,z,\frac{dz}{dt}\right) } \)
\end_inset 

, por lo que se obtiene un método de paso múltiple (2 pasos).
 Resulta entonces
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:operador_centrado}
\frac{x_{n+1}-2\cdot x_{n}+x_{n-1}}{k^{2}}\approx \left. \frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right| _{n}=f_{\left( t,x,\frac{dx}{dt}\right) }
\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

donde 
\begin_inset Formula \( x \)
\end_inset 

 es la discretización de 
\begin_inset Formula \( z \)
\end_inset 

.
\layout Standard

Desarrollando la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:ec_dif_fisica}

\end_inset 

 obtenemos 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:nystrom_inicial}
\frac{x_{n+1}-2\cdot x_{n}+x_{n-1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{n+1}-x_{n-1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{n}=0
\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

finalmente, despejando
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:nystrom}
x_{n+1}=\frac{\left( \phi _{(x)}-1\right) \cdot x_{n-1}+\left( 2-\frac{g\cdot G\cdot k^{2}}{L}\right) \cdot x_{n}}{\phi _{(x)}+1}
\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Obtención de valores iniciales.
\layout Standard

Hay que tener en cuenta que como el método de Nystrom necesita 2 valores
 iniciales para arrancar, necesitamos obtener el dato correspondiente a
 
\begin_inset Formula \( x_{1} \)
\end_inset 

.
 Este valor es obtenido por medio de una aproximación, considerando a la
 solución una función par.
 De esta manera suponemos que 
\begin_inset Formula \( x_{-1}=x_{1} \)
\end_inset 

 y evaluamos la función discretizada (ver ecuación 
\begin_inset LatexCommand \ref{math:nystrom_inicial}

\end_inset 

) 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:nystrom_valor_inicial}
\begin{array}{r}
\frac{x_{1}-2\cdot x_{0}+x_{-1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{1}-x_{-1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
\frac{x_{1}-2\cdot x_{0}+x_{1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{1}-x_{1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
\frac{2\cdot x_{1}-2\cdot x_{0}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{0}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
\frac{2}{k^{2}}\cdot \left( x_{1}-x_{0}\right) +\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
x_{1}-x_{0}+\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\cdot x_{0}=0\\
x_{1}+\left( \frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-1\right) \cdot x_{0}=0
\end{array}
\end{equation}

\end_inset 

obteniendo un valor aproximado
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:nystrom_val_ini}
x_{1}=\left( 1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot x_{0}
\end{equation}

\end_inset 

siendo 
\begin_inset Formula \( x_{0} \)
\end_inset 

 dato del problema.
\layout Subsection

Aproximación de la derivada primera.
\layout Standard

Para construir la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}

\end_inset 

 supusimos un problema lineal aunque el coeficiente 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)} \)
\end_inset 

 no siempre lo es.
 En los casos donde 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}\propto \left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
\end_inset 

 hacemos una aproximación simple
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{mat:nystrom_aprox_derivada}
\left| \frac{dz}{dt}\right| \approx \left| \frac{dx}{dt}\right| \cong \left| \frac{x_{n}-x_{n-1}}{k}\right| 
\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

No podemos utilizar un operador centrado para hacer la aproximación quedaría
 en función de 
\begin_inset Formula \( x_{n+1} \)
\end_inset 

 y al tratarse del valor absoluto sería imposible despejarlo para calcular
 el paso siguiente como en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}

\end_inset 

.
\layout Section

Valores iniciales.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:valores_iniciales}

\end_inset 

Se toman los siguientes valores iniciales:
\layout Itemize


\begin_inset Formula \( D=0.5\, [m] \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( n=10^{-6}\, \left[ \frac{m^{2}}{s}\right]  \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( g=9.8\, \left[ \frac{m^{2}}{s}\right]  \)
\end_inset 

 
\layout Itemize


\begin_inset Formula \( f=0.03\, [-] \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( L=(3\textrm{ últimas cifras del Padrón})+1\, [m]=892\, [m] \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( L_{e}=1.2\, [m] \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( \Delta z=\frac{\sqrt{L}}{10}\, [m]=1070.4\, [m] \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( A_{1}=100A \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( A_{2}=50A \)
\end_inset 


\layout Chapter

Caso sin depósitos y sin fricción.
\layout Standard

Si se desprecian los efectos resistivos y se considera un tubo en U resulta
 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( G=2 \)
\end_inset 

.
\layout Section

Gráfico de la solución en el tiempo.
\layout Standard

Se grafican aproximadamente 10 períodos de la solución.
 La solución teórica es conservativa por lo que se espera que la solución
 numérica también lo sea, aunque como se verá, no siempre es así.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c1e.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_c1}

\end_inset 

Solución por Euler para el caso sin depósitos ni fricción.
\end_float 

\begin_inset LatexCommand \label{sec:euler_diverge}

\end_inset 

La solución por este método diverge casi de forma incondicional.
 En la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_c1}

\end_inset 

podemos ver como al graficar variando el paso 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

, el método es mínimamente estable sólo si 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

 es extremadamente pequeño.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c1r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_c1}

\end_inset 

Solución por RK4 para el caso sin depósitos ni fricción.
\end_float 
Luego de probar algunas variantes para el paso, se grafica la solución para
 un paso de 
\begin_inset Formula \( k=0.44 \)
\end_inset 

.
 Con este paso la solución parece ser bastante precisa y hasta se podría
 haber tomado un paso considerablemente mayor.
 Los resultados pueden verse en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_c1}

\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:rk4_estable}

\end_inset 

A partir de un paso 
\begin_inset Formula \( k=5 \)
\end_inset 

 la solución parece ser estable.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c1n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_c1}

\end_inset 

Solución por Nystrom para el caso sin depósitos ni fricción.
\end_float 

\begin_inset LatexCommand \label{sec:nystrom_paso_minimo}

\end_inset 

Al igual que con el método RK4, se prueban algunos pasos y se utiliza 
\begin_inset Formula \( k=0.44 \)
\end_inset 

, aunque el método es estable y da resultados aparentemente válidos con
 un paso del orden de 
\begin_inset Formula \( k=10 \)
\end_inset 

.
 Los resultados pueden verse en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_c1}

\end_inset 

.
\layout Section

Determinación del período.
\layout Standard

El valor teórico del período es 
\begin_inset Formula \( \tau =\pi \cdot \sqrt{\frac{2\cdot L}{g}}=42.387154 \)
\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:calculo_periodo}

\end_inset 

Para hallar el período numéricamente, se estiman los 
\emph on 
ceros
\emph default 
 
\emph on 
decrecientes
\emph default 
 de la solución.
 Llamamos 
\emph on 
cero decreciente
\emph default 
 al punto donde la función cruza el eje de las abscisas en dirección decreciente.
 También puede ser visto como el punto donde la derivada primera es mínima.
 La diferencia entre un 
\emph on 
cero decreciente
\emph default 
 y el siguiente es tomado como el período de la función.
 Para calcularlo resolvió la ecuación númericamente hasta un 
\begin_inset Formula \( t=5000 \)
\end_inset 

, aproximadamente 120 períodos, con un paso 
\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
\end_inset 

 para no perder mucha precisión.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c2.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_c}

\end_inset 

Evolución del Período para el caso sin depósitos y sin fricción
\end_float 

\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_analisis}

\end_inset 

Podemos ver en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_c}

\end_inset 

 que el período se comporta de la misma forma para todos los métodos analizados.
 Vemos que sufre una variación leve cerca del período 24 (
\begin_inset Formula \( t\cong 1000 \)
\end_inset 

) y otra más 
\emph on 
brusca
\emph default 
 cerca del período 95 (
\begin_inset Formula \( t\cong 4000 \)
\end_inset 

).
 Cabe destacar que la variación 
\emph on 
brusca
\emph default 
 es del orden de 
\begin_inset Formula \( 0.5\% \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_euler_c2}

\end_inset 

A pesar de los problemas nombrados en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:euler_diverge}

\end_inset 

, el período calculado por Euler da un valor muy cercano al teórico: 
\begin_inset Formula \( \tau =42.382906 \)
\end_inset 

, lo que daría un error porcentual de 
\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
\end_inset 

.
 Cabe destacar que para el paso 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

 utilizado la solución diverge, pero el período no parece verse afectado.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4 y Nystrom.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_rk4_nystrom_c2}

\end_inset 

Es curioso, ambos métodos promedian un período exactamente igual: 
\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
\end_inset 

.
 Es aún más curioso que este resultado sea más lejano al teórico que el
 de Euler, aunque por poco.
 La diferencia es mínima y el error porcentual se mantiene en 
\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
\end_inset 

.
\layout Section

Análisis de conservación.
\layout Standard

Para analizar si el método es conservativo se propone igualar la solución
 numérica con la solución matemática:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:conservacion}
u_{n}\approx c\cdot e^{\alpha \cdot t}\approx c\cdot e^{\alpha \cdot n\cdot k}=c\cdot \left( e^{\alpha \cdot k}\right) ^{n}=c\cdot \gamma ^{n}
\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Para que el método oscile, 
\begin_inset Formula \( \gamma  \)
\end_inset 

 debe ser complejo y tener parte imaginaria:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:gamma_imaginario}
\gamma \neq \overline{\gamma }\quad \Leftrightarrow \quad \Im _{(\gamma )}\neq 0
\end{equation}

\end_inset 

y para que el método sea conservativo, 
\begin_inset Formula \( \gamma  \)
\end_inset 

 debe tener módulo 1:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:gamma_modulo_1}
\left| \gamma \right| =\sqrt{\Re ^{2}_{(\gamma )}+\Im ^{2}_{(\gamma )}}=1\quad \Leftrightarrow \quad \left| \gamma \right| ^{2}=\Re ^{2}_{(\gamma )}+\Im ^{2}_{(\gamma )}=1
\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

Como 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
\end_inset 

, según la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:euler}

\end_inset 

 resulta:
\begin_inset Formula \[
\left\{ \begin{array}{rcl}
x_{n+1} & = & x_{n}+k\cdot y_{n}\\
y_{n+1} & = & y_{n}-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k\cdot x_{n}
\end{array}\right. \]

\end_inset 

reemplazando con la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}

\end_inset 

 y expresándolo matricialmente obtenemos:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma ^{n+1}\\
C_{y}\cdot \gamma ^{n+1}
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1 & k\\
-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma ^{n}\\
C_{y}\cdot \gamma ^{n}
\end{array}\right) \\
\left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma \\
C_{y}\cdot \gamma 
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1 & k\\
-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\\
C_{y}
\end{array}\right) \\
\left( \begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1-\gamma  & k\\
-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1-\gamma 
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\\
C_{y}
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}

\end_inset 


\layout Standard

Para que la matriz tenga otra solución además de la trivial: 
\begin_inset Formula \[
\det \left( \begin{array}{cc}
1-\gamma  & k\\
-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1-\gamma 
\end{array}\right) =0\quad \Leftrightarrow \quad \left( 1-\gamma \right) ^{2}+k\cdot \frac{g\cdot G}{L}=0\quad \Leftrightarrow \quad \gamma =1\pm i\cdot k\cdot \sqrt{\frac{g\cdot G}{L}}\]

\end_inset 

para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \[
\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad k\neq 0\]

\end_inset 

por lo tanto, para que el método de Euler oscile, debe cumplirse 
\begin_inset Formula \( k\neq 0 \)
\end_inset 

 lo que no agrega ninguna limitación.
 Por otro lado para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación
 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \[
\left| \gamma \right| ^{2}=1+k^{2}\cdot \left| \frac{g\cdot G}{L}\right| =1\quad \Leftrightarrow \quad k=0\]

\end_inset 

por lo tanto, el método de Euler diverge para cualquier valor de 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

 ya que 
\begin_inset Formula \( \left| \gamma \right| >1\quad \forall k>0 \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:rk4_conservacion}

\end_inset 

Lo primero que hay que hacer es expresar el método de forma más simple,
 en un sólo par de ecuaciones.
 Teniendo en cuenta que 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
\end_inset 

, reemplazando y desarrollando la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:rk4}

\end_inset 

 obtenemos:
\begin_inset Formula \[
\left\{ \begin{array}{rcl}
x_{n+1} & = & \left( 1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot x_{n}+\frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \cdot y_{n}\\
y_{n+1} & = & \left( \frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L}\right) \cdot x_{n}+\left( 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot y_{n}
\end{array}\right. \]

\end_inset 


\layout Standard

reemplazando con la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}

\end_inset 

 y expresándolo matricialmente obtenemos:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma ^{n+1}\\
C_{y}\cdot \gamma ^{n+1}
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L} & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma ^{n}\\
C_{y}\cdot \gamma ^{n}
\end{array}\right) \\
\left( \begin{array}{c}
C_{x}\cdot \gamma \\
C_{y}\cdot \gamma 
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L} & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\\
C_{y}
\end{array}\right) \\
\left( \begin{array}{c}
0\\
0
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-\gamma  & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-\gamma 
\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
C_{x}\\
C_{y}
\end{array}\right) 
\end{eqnarray*}

\end_inset 


\layout Standard

Para que la matriz tenga otra solución además de la trivial 
\begin_inset Formula \( \left( a=\frac{g\cdot G}{L}\right)  \)
\end_inset 

: 
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\det \left( \begin{array}{cc}
1-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\gamma  & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k}{3}\cdot a\right) \\
\frac{k^{3}}{2}\cdot a^{2}-k\cdot a & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\gamma 
\end{array}\right)  & = & 0\\
\left( 1-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\frac{k^{3}}{6}\cdot a^{2}-\frac{7\cdot k^{4}}{24}\cdot a^{2}+\frac{k^{5}}{32}\cdot a^{3}+\frac{k^{6}}{48}\cdot a^{3}\right) +\left( k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2\right) \cdot \gamma +\gamma ^{2} & = & 0
\end{eqnarray*}

\end_inset 

resultando:
\begin_inset Formula \[
\gamma =\frac{-\left( k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2\right) \pm \sqrt{\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a}}{2}\]

\end_inset 

 para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \[
\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a<0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{k^{4}\cdot a^{3}}{576}+\frac{k^{3}\cdot a^{2}}{8}-\frac{k\cdot 2\cdot a}{3}-6<0\]

\end_inset 


\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c3o.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:oscilacion_rk4}

\end_inset 

Análisis de oscilación para RK4.
\end_float 
Como la inecuación resultante es muy compleja de resolver analíticamente
 se la resolvió gráficamente y se ve en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:oscilacion_rk4}

\end_inset 

 que para un paso 
\begin_inset Formula \( k<51 \)
\end_inset 

 el método se comporta de forma oscilatoria.
\layout Standard

Por otro lado para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación
 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
\left| \gamma \right| ^{2}=\left( \frac{k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{\sqrt{\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a}}{2}\right) ^{2} & = & 1\\
\frac{k^{4}\cdot a^{2}}{4}-\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{2304}-2-\frac{k^{6}\cdot a^{2}}{48}-k^{2}\cdot a+\frac{k^{4}\cdot a^{2}}{24}+\left| \frac{k^{8}\cdot a^{4}}{2304}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{32}-\frac{k^{3}\cdot a^{2}}{6}-\frac{3\cdot k^{2}\cdot a}{2}\right|  & = & 0
\end{eqnarray*}

\end_inset 


\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file c3c.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:convergencia_rk4}

\end_inset 

Análisis de convergencia para RK4.
\end_float 
Nuevamente obtenemos una ecuación muy compleja de resolver analíticamente.
 En la figura se presenta la resulución gráfica en donde observamos que
 el método converge para cualquier 
\begin_inset Formula \( k>0 \)
\end_inset 

.
 Sin embargo para un 
\begin_inset Formula \( k<7 \)
\end_inset 

 aproximadamente vemos que tiende a converger lentamente, mientras que para
 
\begin_inset Formula \( k>7 \)
\end_inset 

 tiende a converger de forma mucho más brusca (y cada vez más acentuada).
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

Como 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
\end_inset 

, según la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}

\end_inset 

 resulta:
\begin_inset Formula \[
x_{n+1}=\left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot x_{n}-x_{n-1}\]

\end_inset 

 reemplazando con la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}

\end_inset 

, obtenemos:
\begin_inset Formula \[
\left. \begin{array}{lll}
\gamma ^{n+1} & = & \left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma ^{n}-\gamma ^{n-1}\\
\gamma ^{2} & = & \left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma -1\\
0 & = & \gamma ^{2}-\left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma +1
\end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \gamma =\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) \pm \sqrt{\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1}\]

\end_inset 

para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \[
\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \Im _{\left( \sqrt{\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1}\right) }\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1<0\quad \Leftrightarrow \quad 0<k<\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}\]

\end_inset 

por lo tanto, para que el método de Nystrom oscile, debe cumplirse 
\begin_inset Formula \( k<\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}=13.49225 \)
\end_inset 

, que coincide con lo obtenido experimentalmente en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_paso_minimo}

\end_inset 

.
\layout Standard

Para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}

\end_inset 

:
\begin_inset Formula \[
\left| \gamma \right| ^{2}=\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}+\left| \left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1\right| =1\quad \Leftrightarrow \quad k=\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}\]

\end_inset 

por lo tanto, 
\begin_inset Formula \( k=\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}=13.49225 \)
\end_inset 

.
 Sin embargo en la práctica (ver figura 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:nystrom_c1}

\end_inset 

) vemos que, a pesar de que el método debería converger con un paso más
 pequeño que 
\begin_inset Formula \( k<13.49225 \)
\end_inset 

, no lo hace y da la impresión de comportarse de forma conservativa.
\layout Chapter

Caso sin depósitos y con fricción laminar.
\layout Standard

Considerando la fricción laminar y un tubo en U resulta 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{32\cdot n}{D^{2}} \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( G=2 \)
\end_inset 

, siendo 
\begin_inset Formula \( n \)
\end_inset 

 la viscosidad cinemática del líquido y el diámetro del tubo.
\layout Section

Gráfico de la solución en el tiempo.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:graficos_d}

\end_inset 

Se grafican aproximadamente 50 períodos de la solución.
 Se toman más períodos a pesar de que no se vea muy claro el gráfico porque
 la solución converge pero de forma lenta y de tomarse pocos períodos casi
 no se observaría el fenómeno.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d1e.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_d1}

\end_inset 

Solución por Euler para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 
El método de Euler sigue teniendo un error muy grande con pasos relativamente
 pequeños lo que hace que tienda a divergir muy fácilmente (o al menos a
 contrarrestar la poca convergencia en este caso).
 Para que esto no suceda, como se ve en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d1}

\end_inset 

, se tomó un paso 
\begin_inset Formula \( k=0.0025 \)
\end_inset 

, 1000 veces menor que el utilizado para RK4 y Nystrom para obtener los
 mismos (o incluso mejores) resultados.
 De tomar un paso más grande, la divergencia del método es muy similar a
 la presentada en la figura 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:euler_c1}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d1r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_d1}

\end_inset 

Solución por RK4 para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 
Es el método más estable para este caso.
 El la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_d1}

\end_inset 

 se grafica con un paso de 
\begin_inset Formula \( k=2.5 \)
\end_inset 

, con el cual comienza a comportarse de forma estable.
 A medida que se disminuye el paso conserva el comportamiento.
 Si se toma un paso mayor, diverge rápidamente.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d1n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_d1}

\end_inset 

Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 

\begin_inset LatexCommand \label{sec:nystrom_converge}

\end_inset 

Este método se comporta de una forma muy particular.
 Con un paso de 
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

 se mantiene estable y parece dar buenos resultados.
 Si se toma un paso menor, converge de forma más violenta, dando una solución
 no válida como se aprecia en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_d1}

\end_inset 

.
 Con un paso mayor se observa el efecto contrario: diverge rápidamente.
\layout Section

Determinación del período.
\layout Standard

El valor teórico del período es 
\begin_inset Formula \( \tau =\frac{2\cdot \pi }{\sqrt{\frac{2\cdot g}{L}+\left( \frac{16\cdot n}{D^{2}}\right) ^{2}}}=42.387150 \)
\end_inset 

.
\layout Standard

Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
 punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}

\end_inset 

, con un paso de 
\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
\end_inset 

 y resolviendo hasta 
\begin_inset Formula \( t=5000\cong 120 \)
\end_inset 

 períodos.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d2.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_d}

\end_inset 

Evolución del Período para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 
Podemos ver en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_d}

\end_inset 

 que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

Al igual que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_euler_c2}

\end_inset 

, el período obtenido, a pesar de la divergencia, es 
\begin_inset Formula \( \tau =42.382906 \)
\end_inset 

, un valor muy cercano al teórico.
 Tiene el mismo error porcentual de 
\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

También el período hallado por este método coincide con el caso donde no
 hay fricción (ver punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_rk4_nystrom_c2}

\end_inset 

): 
\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
\end_inset 

.
 El error porcentual vuelve a ser del orden de 
\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

Este es el único método que varía con respecto al caso sin fricción.
 Con el efecto de la fricción laminar y para un paso tan pequeño el método
 converge, como se explicó en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}

\end_inset 

.
 Al igual que con Euler, esto no impide calcular el período y también coincidien
do con Euler, hallamos que el error es menor que para RK4 e incluso que
 para Euler.
 El período calculado numéricamente da 
\begin_inset Formula \( \tau =42.387949 \)
\end_inset 

, con lo que observamos que ganamos un dígito de precisión, siendo el error
 porcentual del orden de 
\begin_inset Formula \( e=0.002\% \)
\end_inset 

.
\layout Section

Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_d}

\end_inset 

Al calcular estos valores se puso en evidencia la inestabilidad del método
 de Nystrom para este caso.
 Hubo que probar valores del paso (sin que sea demasiado grande ni demasiado
 pequeño por lo explicado en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}

\end_inset 

) e ir comparando con RK4 que resulta el más estable.
 También puede notarse que las crestas no decrecen (en valor absoluto) monótonam
ente como sucede con Euler y RK4 que tienen un comportamiento similar (aunque
 Euler necesita un paso extremadamente pequeño para lograr estos resultados).
\layout Standard

\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Euler (
\begin_inset Formula \( k=0.00405 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

RK4 (
\begin_inset Formula \( k=0.405 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Nystrom (
\begin_inset Formula \( k=2.13158 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
</row>
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
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\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

0
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

2.98664
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

0
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

2.98664
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

0
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

2.98664
\end_inset 
</cell>
</row>
<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

42.3839
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

2.98417
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

42.525
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</cell>
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2.97792
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40.5
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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

2.96449
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\layout Standard

381.509
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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

2.91229
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\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_d}

\end_inset 

Valores de excursión máxima para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 
\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
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Euler (
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\layout Standard

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RK4 (
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)
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\layout Standard

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\layout Standard

Nystrom (
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\layout Standard

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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
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\layout Standard

21.189
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\layout Standard

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\layout Standard

21.06
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\layout Standard

-2.982
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\layout Standard

19.1842
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\layout Standard

-2.98138
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\begin_inset Text

\layout Standard

63.5839
\end_inset 
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\layout Standard

-2.98293
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\begin_inset Text

\layout Standard

63.5849
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\layout Standard

-2.97451
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\begin_inset Text

\layout Standard

61.8158
\end_inset 
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<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.9621
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</row>
<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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\begin_inset Text

\layout Standard

105.984
\end_inset 
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<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.98047
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\begin_inset Text

\layout Standard

106.11
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.96579
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

104.447
\end_inset 
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<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.93124
\end_inset 
</cell>
</row>
<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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\begin_inset Text

\layout Standard

148.345
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.978
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

148.23
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.95791
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\begin_inset Text

\layout Standard

144.947
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.94622
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

190.665
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</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.97554
\end_inset 
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\layout Standard

190.755
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\layout Standard

-2.9504
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\layout Standard

187.579
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-2.951
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\layout Standard

232.986
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\layout Standard

-2.97308
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\layout Standard

233.279
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.94167
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\begin_inset Text

\layout Standard

230.21
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\layout Standard

-2.94412
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\layout Standard

275.379
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.97063
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\layout Standard

275.399
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.934
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\begin_inset Text

\layout Standard

272.842
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\layout Standard

-2.92567
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\layout Standard

317.858
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.96817
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\begin_inset Text

\layout Standard

317.924
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.92647
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

315.474
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.89578
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

360.338
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.96572
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

360.449
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.91775
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

355.974
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.90819
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

402.818
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.96327
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

402.569
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.91028
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

398.606
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-2.9135
\end_inset 
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_d}

\end_inset 

Valores de excursión mínima para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
\end_float 
Pueden verse los resultados en los cuadros 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_d}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_d}

\end_inset 

.
\layout Section

Estimación del tiempo de reposo.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

Para estimar el tiempo de reposo se calculó los máximos de la solución igual
 que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}

\end_inset 

 pero para una mayor cantidad de períodos (aproximadamente 1200 en un principio).
 Luego se ajustaron los datos por mínimos cuadrados a través de una función:
 
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:aproximacion_minimos_cuadrados}
z_{(t)}=a\cdot e^{-b\cdot t}
\end{equation}

\end_inset 


\layout Standard

Luego de comparar los resultados con cada vez menor cantidad de períodos,
 se observo que la calidad de la aproximación no empeoraba, incluso al utilizar
 sólo los primeros 10 períodos obtenidos en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}

\end_inset 

, al menos para el método RK4.
\layout Standard

Consideramos que se llega al reposo cuando 
\begin_inset Formula \( \left| z\right| \leq 0.01 \)
\end_inset 

, por lo que si despejamos 
\begin_inset Formula \( t \)
\end_inset 

 de la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \ref{math:aproximacion_minimos_cuadrados}

\end_inset 

, resulta:
\begin_inset Formula \begin{equation}
\label{math:reposo}
t\geq \frac{\ln \left| a\right| -\ln (z)}{b}=\frac{\ln \left| a\right| -\ln (0.01)}{b}=\frac{\ln \left| a\right| +4.60517}{b}
\end{equation}

\end_inset 


\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d4e.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_d4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para Euler.
\end_float 
No tiene mucho sentido la estimación por Euler, ya que se pone en evidencia
 la tendencia a divergir de este método y se obtienen resultados poco precisos
 cuando se los compara con RK4 o incluso Nystrom, que no es muy estable
 para este caso.
 Aún así se presentan los resultados del ajuste de los máximos y mínimos
 obtenidos en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}

\end_inset 

 en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d4}

\end_inset 

 porque no tiene sentido aproximar con más períodos porque el paso 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

 debería ser extremadamente pequeño para que no diverja.
 La funciones aproximantes resultaron:
\begin_inset Formula \[
z^{\max }_{(t)}=2.986634\cdot e^{-1.95\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
z^{\min }_{(t)}=-2.986629\cdot e^{-1.95\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 


\layout Standard

Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}

\end_inset 

 obteniendo 
\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.98663)+4.60517}{1.95\cdot 10^{-5}}\cong 292272\cong 300000 \)
\end_inset 

 como se aprecia en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d4}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d4r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_d4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para RK4.
\end_float 
Como se explico en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

, a pesar de ser posible calcular los máximos y mínimos para muchos más
 períodos que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:max_min_d}

\end_inset 

, no es necesario ya que con estos datos se obtiene una precisión que no
 es mejorada considerablemente aumentando la cantidad de períodos evaluados.
\layout Standard

La funciones aproximantes resultaron:
\begin_inset Formula \[
z^{\max }_{(t)}=2.9862768\cdot e^{-6.4\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
z^{\min }_{(t)}=-2.9862509\cdot e^{-6.4\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 

Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}

\end_inset 

 obteniendo 
\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.98626)+4.60517}{6.4\cdot 10^{-5}}\cong 89049\cong 90000 \)
\end_inset 

 como se aprecia en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_d4}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d4n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_d4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
\end_float 
Al igual que con RK4, y a pesar de que para el caso de este método la variación
 de los máximos y mínimos no es monótona, se obtienen resultados precisos
 utilizando los datos del punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:max_min_d}

\end_inset 

.
\layout Standard

La funciones aproximantes resultaron:
\begin_inset Formula \[
z^{\max }_{(t)}=2.977926\cdot e^{-6.68\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 


\begin_inset Formula \[
z^{\min }_{(t)}=-2.732692\cdot e^{-6.06\cdot 10^{-5}\cdot t}\]

\end_inset 

Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}

\end_inset 

 obteniendo 
\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.975)+4.60517}{6.37\cdot 10^{-5}}\cong 89409\cong 90000 \)
\end_inset 

 como se aprecia en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_d4}

\end_inset 

.
\layout Chapter

Caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\layout Standard

Considerando flujo turbulento y un tubo en U resulta 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{f}{2\cdot D}\left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( G=2 \)
\end_inset 

, siendo 
\begin_inset Formula \( f \)
\end_inset 

 el factor de fricción.
\layout Section

Gráfico de la solución en el tiempo.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:graficos_e}

\end_inset 

Se grafican aproximadamente 25 períodos de la solución.
 La solución converge de forma más rápida que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:graficos_d}

\end_inset 

, por lo que se pueden tomar menos períodos lográndose ver el efecto de
 la convergencia.
 Se incluyen la derivada primera en los gráficos.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e1e.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_e1}

\end_inset 

Solución por Euler para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Como la convergencia es más violenta en este caso, no es necesario tomar
 un paso tan pequeño para Euler.
 Al tomarse un 
\begin_inset Formula \( k=0.0125 \)
\end_inset 

 vemos en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_e1}

\end_inset 

 que el método se comporta de manera razonable.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e1r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_e1}

\end_inset 

Solución por RK4 para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Nuevamente este método se comporta de forma estable para un paso bastante
 grande.
 El la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_e1}

\end_inset 

 se grafica con un 
\begin_inset Formula \( k=3.125 \)
\end_inset 

, con el cual comienza a comportarse de forma estable.
 A medida que se disminuye el paso conserva el comportamiento.
 Si se toma un paso un poco mayor converge rápidamente, y si el paso es
 mucho mayor, diverge rápidamente.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e1n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_e1}

\end_inset 

Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
El método se comporta de la misma forma que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}

\end_inset 

, por lo que solamente se grafica para un paso estable 
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

 como se ve en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_e1}

\end_inset 

.
\layout Section

Determinación del período.
\layout Standard

En este caso no podemos calcular, al menos de forma simple, el valor teórico
 del período.
\layout Standard

Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
 punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}

\end_inset 

, con un paso de 
\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
\end_inset 

 y resolviendo hasta 
\begin_inset Formula \( t=5000\cong 120 \)
\end_inset 

 períodos.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e2.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_e}

\end_inset 

Evolución del Período para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Podemos ver en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_e}

\end_inset 

 que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

Al igual que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_euler_c2}

\end_inset 

, el período obtenido, a pesar de la divergencia, es 
\begin_inset Formula \( \tau =42.381624 \)
\end_inset 

, similar al hallado en los casos anteriores.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

El período hallado por este método no sólo es similar a los hallados en
 casos anteriores, es igual: 
\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

Al igual que con Euler, el período hallado es muy similar al de los casos
 anteriores: 
\begin_inset Formula \( \tau =42.383419 \)
\end_inset 

.
\layout Section

Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_e}

\end_inset 

A diferencia del punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}

\end_inset 

, el método de Nystrom para este caso evoluciona de forma monótona con un
 paso 
\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
\end_inset 

.
 Por lo demás es muy similar.
\layout Standard

\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
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<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Euler (
\begin_inset Formula \( k=0.00405 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

RK4 (
\begin_inset Formula \( k=0.405 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Nystrom (
\begin_inset Formula \( k=2.13158 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
</row>
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
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Altura (z)
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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

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\layout Standard

0.997706
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\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_e}

\end_inset 

Valores de excursión máxima para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
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\layout Standard

Euler (
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\layout Standard

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\layout Standard

RK4 (
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)
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\layout Standard

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\layout Standard

Nystrom (
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\layout Standard

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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
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\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
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\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
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\layout Standard

21.2173
\end_inset 
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\layout Standard

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\layout Standard

21.06
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\layout Standard

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\layout Standard

19.1842
\end_inset 
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<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
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\layout Standard

-2.686
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<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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\begin_inset Text

\layout Standard

63.6487
\end_inset 
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\layout Standard

-2.20344
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\layout Standard

63.5849
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\layout Standard

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\begin_inset Text

\layout Standard

61.8158
\end_inset 
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\layout Standard

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\begin_inset Text

\layout Standard

106.073
\end_inset 
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-1.87632
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106.11
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-1.86909
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102.316
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-1.90256
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148.451
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-1.6342
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148.635
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-1.62538
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144.947
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-1.67739
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190.787
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-1.44776
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190.755
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-1.43851
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187.579
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\layout Standard

233.119
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-1.29977
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\layout Standard

233.279
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\layout Standard

-1.29016
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\layout Standard

230.21
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\layout Standard

-1.34204
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\layout Standard

275.521
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.17943
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\begin_inset Text

\layout Standard

275.804
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.16917
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

272.842
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.21128
\end_inset 
</cell>
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\layout Standard

318.008
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.07967
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\begin_inset Text

\layout Standard

317.924
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.06917
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

313.342
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.11568
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

360.492
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.995614
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

360.449
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.985082
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

355.974
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-1.03522
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

402.98
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.923832
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

402.974
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-0.912937
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

398.606
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-0.961757
\end_inset 
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_e}

\end_inset 

Valores de excursión mínima para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Pueden verse los resultados en los cuadros 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_e}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_e}

\end_inset 

.
\layout Section

Estimación del tiempo de reposo.
\layout Standard

Para estimar el tiempo de reposo se probó el método utilizado en el punto
 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

, pero no se pudo hallar una buena función aproximante, por lo tanto simplemente
 se buscó la solución hasta hallar el mismo valor límite de 
\begin_inset Formula \( z=0.01 \)
\end_inset 

 que para el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

.
 Para el método de Euler no se justifica calcular la estimación, ya que
 basándonos en los valores obtenidos por otros métodos hay que llegar a
 un 
\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
\end_inset 

 para lo que serían necesario un paso muy pequeño para que no diverja.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e4r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_e4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para RK4.
\end_float 
Para hallar la estimación simplemente se resolvió la ecuación hasta que
 
\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
\end_inset 

.
 Esto sucedió para 
\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
\end_inset 

 utilizando un paso de 
\begin_inset Formula \( k=0.5 \)
\end_inset 

 como se observa en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_e4}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file e4n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_e4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
\end_float 
Al igual que para RK4, simplemente se resolvió la ecuación hasta que 
\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
\end_inset 

.
 Esto también sucedió para 
\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
\end_inset 

 pero utilizando un paso mucho mayor 
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

 conservando la precisión, como se observa en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_e4}

\end_inset 

.
\layout Chapter

Caso con depósitos y con fricción turbulenta.
\layout Standard

Considerando flujo turbulento y el sistema hidráulico de la figura 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:diagrama}

\end_inset 

, resulta 
\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{f}{2\cdot D}\cdot \frac{L_{e}}{L}\left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( G=A\cdot \left( \frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}\right)  \)
\end_inset 

, siendo 
\begin_inset Formula \( L_{e} \)
\end_inset 

 un factor de pérdidas de carga, 
\begin_inset Formula \( A \)
\end_inset 

 la sección del tubo y 
\begin_inset Formula \( A_{i} \)
\end_inset 

 la sección horizontal del depósito.
\layout Standard

Considerando los valores iniciales (ver punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:valores_iniciales}

\end_inset 

), vemos que 
\begin_inset Formula \( G \)
\end_inset 

 es constante:
\begin_inset Formula \[
G=A\cdot \left( \frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}\right) =A\cdot \left( \frac{1}{100\cdot A}+\frac{1}{50\cdot A}\right) =A\cdot \frac{1+2}{100\cdot A}=\frac{3}{100}=0.03\]

\end_inset 


\layout Section

Gráfico de la solución en el tiempo.
\layout Standard

Se grafican aproximadamente 15 períodos de la solución.
 La solución converge de forma más rápida que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:graficos_e}

\end_inset 

 y con un período mayor, por lo que se pueden tomar menos períodos lográndose
 ver el efecto de la convergencia.
 Se incluyen la derivada primera en los gráficos.
\layout Standard

Los métodos se comportan igual que en los casos anteriores, al menos para
 la cantidad de períodos graficados.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f1e.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_f1}

\end_inset 

Solución por Euler para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Como la convergencia es más violenta en este caso, no es necesario tomar
 un paso tan pequeño para Euler.
 Al tomarse un 
\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
\end_inset 

 vemos en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_f1}

\end_inset 

 que el método se comporta de manera razonable.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f1r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_f1}

\end_inset 

Solución por RK4 para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Nuevamente este método se comporta de forma estable para un paso bastante
 grande.
 El la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_f1}

\end_inset 

 se grafica con un 
\begin_inset Formula \( k=5 \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f1n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_f1}

\end_inset 

Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Volvemos a observar que el método es solamente estable para valores de 
\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
\end_inset 

.
 En la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_f1}

\end_inset 

 se grafica para un paso estable 
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

.
\layout Section

Determinación del período.
\layout Standard

En este caso al igual que en el anterior no podemos calcular, al menos de
 forma simple, el valor teórico del período.
\layout Standard

Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
 punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}

\end_inset 

, con un paso de 
\begin_inset Formula \( k=0.04 \)
\end_inset 

 y resolviendo hasta 
\begin_inset Formula \( t=40000\cong 120 \)
\end_inset 

 períodos.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f2.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_f}

\end_inset 

Evolución del Período para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
Podemos ver en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_f}

\end_inset 

 que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}

\end_inset 

.
 Cabe destacar que para este caso el período aproximadamente 10 veces superior
 al de los casos anteriores, por lo que el período 24 se alcanza en 
\begin_inset Formula \( t\cong 8300 \)
\end_inset 

 y el período 95 en 
\begin_inset Formula \( t\cong 33000 \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Euler.
\layout Standard

Nuevamente, a pesar de la divergencia, el período 
\begin_inset Formula \( \tau =346.03739 \)
\end_inset 

 parece ser bastante preciso, al menos al compararlo con los resultados
 obtenidos con los otros métodos.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

El período hallado con este método es: 
\begin_inset Formula \( \tau =346.04435 \)
\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

El período hallado con este método es: 
\begin_inset Formula \( \tau =346.04695 \)
\end_inset 

.
\layout Section

Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_f}

\end_inset 

Pueden verse los resultados en los cuadros 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_f}

\end_inset 

 y 
\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_f}

\end_inset 

.
\layout Standard

\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
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<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Euler (
\begin_inset Formula \( k=0.01 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

RK4 (
\begin_inset Formula \( k=1 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Nystrom (
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

)
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

\end_inset 
</cell>
</row>
<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Tiempo (t)
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

Altura (z)
\end_inset 
</cell>
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Tiempo (t)
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Altura (z)
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\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_f}

\end_inset 

Valores de excursión máxima para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
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\begin_float tab 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset  Tabular
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Euler (
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RK4 (
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Nystrom (
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\layout Standard

\end_inset 
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
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\layout Standard

Tiempo (t)
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\layout Standard

Altura (z)
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\layout Standard

173.314
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\layout Standard

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\layout Standard

173
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\layout Standard

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\layout Standard

172
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\layout Standard

-2.61105
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\layout Standard

520.026
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\layout Standard

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\layout Standard

520
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\layout Standard

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\layout Standard

518
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-2.08701
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\begin_inset Text

\layout Standard

866.724
\end_inset 
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866
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864
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1210
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1559
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1556
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1905
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1902
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\layout Standard

2252.97
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-1.04507
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\begin_inset Text

\layout Standard

2251
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\layout Standard

2248
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\layout Standard

-1.04214
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\layout Standard

2599.47
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\layout Standard

-0.950282
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\layout Standard

2597
\end_inset 
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\layout Standard

-0.947593
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\layout Standard

2594
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.947306
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\begin_inset Text

\layout Standard

2945.96
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.871298
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

2943
\end_inset 
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.86855
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\begin_inset Text

\layout Standard

2940
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.868298
\end_inset 
</cell>
</row>
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\begin_inset Text

\layout Standard

3292.44
\end_inset 
</cell>
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\begin_inset Text

\layout Standard

-0.804476
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

3290
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-0.801688
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

3286
\end_inset 
</cell>
<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
\begin_inset Text

\layout Standard

-0.801451
\end_inset 
</cell>
</row>
</lyxtabular>

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_f}

\end_inset 

Valores de excursión mínima para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
\end_float 
\layout Section

Estimación del tiempo de reposo.
\layout Standard

Para estimar el tiempo de reposo se probó el método utilizado en el punto
 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

, pero no se pudo hallar una buena función aproximante, por lo tanto se
 resolvió igual que en el caso anterior, buscando una solución hasta hallar
 el valor límite de 
\begin_inset Formula \( z=0.01 \)
\end_inset 

 que para el punto 
\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}

\end_inset 

.
 Para el método de Euler no se justifica calcular la estimación, ya que
 basándonos en los valores obtenidos por otros métodos hay que llegar a
 un 
\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
\end_inset 

 para lo que serían necesario un paso muy pequeño para que se note su tendencia
 a divergir.
\layout Subsection

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f4r.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_f4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para RK4.
\end_float 
Para hallar la estimación simplemente se resolvió la ecuación hasta que
 
\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
\end_inset 

.
 Esto sucedió para 
\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
\end_inset 

 utilizando un paso de 
\begin_inset Formula \( k=3.5 \)
\end_inset 

 como se observa en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_f4}

\end_inset 

.
\layout Subsection

Nystrom.
\layout Standard

\begin_float fig 
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file f4n.eps
flags 11

\end_inset 


\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_f4}

\end_inset 

Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
\end_float 
Al igual que para RK4, simplemente se resolvió la ecuación hasta que 
\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
\end_inset 

.
 Esto también sucedió para 
\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
\end_inset 

 pero utilizando un el único paso estable para Nystrom, 
\begin_inset Formula \( k=2 \)
\end_inset 

, como se observa en la figura 
\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_f4}

\end_inset 

.
\layout Chapter

Conclusiones.
\layout Standard

Este trabajo práctico sirvió para ver las ventajas y desventajas de cada
 método para distintas situaciones.
 En términos generales se pueden hacer las siguientes observaciones sobre
 cada método en particular.
\layout Section

Euler.
\layout Standard

El método de Euler es un método que en la práctica sólo sirve para darse
 una idea de cual es la forma de la solución a grandes rasgos.
 Al buscar algo de estabilidad y precisión con este método se ven rápidamente
 sus falencias y para hacer cálculos levemente precisos es necesario un
 gran número de iteraciones.
 A pesar de esto tiene como ventaja ser un método muy simple, característica
 que facilita el análisis teórico para evaluar su comportamiento y su implementa
ción computacional.
\layout Section

Runge-Kutta de orden 4.
\layout Standard

Este método se comporta de forma muy estable en todas las situaciones y
 aún con pasos relativamente grandes.
 A pesar de esto es un método lento (evalúa la función 
\begin_inset Formula \( f_{(t,x)} \)
\end_inset 

 de la ecuación diferencial 4 veces por iteración) esto no se convierte
 en un problema por la posibilidad de usar un paso grande sin perder precisión
 ni estabilidad.
 Como desventaja principal se puede nombrar que es un método complejo, no
 tanto de implementar pero sí de analizar teóricamente para predecir su
 comportamiento (como se vio en el punto 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:rk4_conservacion}

\end_inset 

).
 También pudimos comprobar experimentalmente que es un método conservativo,
 al menos para los rangos de 
\begin_inset Formula \( k \)
\end_inset 

 que estuvimos trabajando.
\layout Section

Nystrom.
\layout Standard

El método de Nystrom sorprendió por su incondicional estabilidad y bajo
 error para un paso 
\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
\end_inset 

 y su gran inestabilidad para pasos que no estén en este rango, ya sea convergie
ndo rápidamente (dejando de ser conservativo) como divergiendo rápidamente
 (de manera tan brusca que ni pudo ser graficado).
 El método no es tan complejo de analizar teóricamente, lo que facilita
 un poco el predecir su comportamiento y es tal vez el más fácil de implementar
 ya que no tiene que ser convertido en un sistema de ecuaciones diferenciales
 (aunque necesita un segundo valor inicial para arrancar, que puede ser
 un problema si no se conoce en absoluto la ecuación que se está discretizando).
 El hecho de que el paso deba ser del orden de 
\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
\end_inset 

 puede ser visto tanto como una ventaja como una desventaja, ya que no nos
 permite analizar lo que pasa en la función en intervalos de tiempo pequeño
 pero nos deja analizar que pasa en intervalos de tiempo relativamente grandes
 con pocas iteraciones.
\layout Chapter

Código Fuente.
\layout Section

Programa Principal (
\family typewriter 
77891.cpp
\family default 
).
\layout LyX-Code

// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
\layout LyX-Code

// resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
\layout LyX-Code

// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
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// 
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// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
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// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
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// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
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// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
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// 
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// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
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// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
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// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
\layout LyX-Code

// particular.
 Vea la "GNU General Public License" para más
\layout LyX-Code

// detalles.
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// 
\layout LyX-Code

// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
\layout LyX-Code

// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
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// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
\layout LyX-Code

// Boston, MA  02111-1307, USA.
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// $URL$
\layout LyX-Code

// $Date$
\layout LyX-Code

// $Rev$
\layout LyX-Code

// $Author$
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

#include <iostream.h>
\layout LyX-Code

#include <stdlib.h>
\layout LyX-Code

#include <math.h>
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Tipos de datos.
\layout LyX-Code

typedef unsigned int Indice;
\layout LyX-Code

typedef float Numero;
\layout LyX-Code

struct Datos;
\layout LyX-Code

typedef Numero (*Friccion)( Datos&, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

typedef Numero (*Funcion)( Datos&, Numero, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

typedef void (*Metodo)( Datos& );
\layout LyX-Code

struct Datos {
\layout LyX-Code

    Numero   to; // Tiempo inicial
\layout LyX-Code

    Numero   tf; // Tiempo final
\layout LyX-Code

    Numero   k;  // Paso
\layout LyX-Code

    Numero   xo; // X inicial = X(to) = Z(to)
\layout LyX-Code

    Numero   yo; // Y inicial = Y(to) = X'(to) = Z'(to)
\layout LyX-Code

    Numero   D;  // Diametro del tubo
\layout LyX-Code

    Numero   n;  // Viscosidad cinemática del líquido
\layout LyX-Code

    Numero   g;  // Aceleración de la gravedad
\layout LyX-Code

    Numero   f;  // Factor de fricción
\layout LyX-Code

    Numero   L;  // Longitud del tubo
\layout LyX-Code

    Numero   Le; // Factor de pérdida de carga
\layout LyX-Code

    Numero   G;  // Factor geométrico
\layout LyX-Code

    Funcion  fx; // Función asociada a la derivada de x
\layout LyX-Code

    Funcion  fy; // Función asociada a la derivada de y
\layout LyX-Code

    Friccion fi; // Factor asociado a pérdidas por fricción
\layout LyX-Code

};
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Factor de fricción nulo.
\layout LyX-Code

Numero friccionNula( Datos&, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Factor de fricción laminar.
\layout LyX-Code

Numero friccionLaminar( Datos&, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Factor de fricción turbulenta.
\layout LyX-Code

Numero friccionTurbulenta( Datos&, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Factor de fricción turbulenta (con depósitos).
\layout LyX-Code

Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos&, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Función asociada a la primera derivada (x'=z').
\layout LyX-Code

Numero funcionX( Datos&, Numero, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Función asociada a la segunda derivada (y'=x''=z'').
\layout LyX-Code

Numero funcionY( Datos&, Numero, Numero, Numero );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Calcula la ecuación diferencial por el método de Euler.
\layout LyX-Code

void euler( Datos& );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Calcula la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta de órden
 4.
\layout LyX-Code

void rk4( Datos& );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Calcula la ecuación diferencial por el método de Nystrom.
\layout LyX-Code

void nystrom( Datos& );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Constantes.
\layout LyX-Code

const Numero   DEFAULT_N  = 1000, // Cantidad de pasos por defecto
\layout LyX-Code

               DEFAULT_to = 0.0,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_tf = 440.0,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_xo = 2.9866369,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_yo = 0.0,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_D  = 0.5,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_n  = 1e-6,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_g  = 9.8,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_f  = 0.03,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_L  = 892.0,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_Le = 1070.4,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_G  = 2.0;
\layout LyX-Code

const Funcion  DEFAULT_fx = &funcionX,
\layout LyX-Code

               DEFAULT_fy = &funcionY;
\layout LyX-Code

const Friccion DEFAULT_fi = &friccionNula;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

int main( int argc, char* argv[] ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Se fija que tenga los argumentos necesarios para correr.
\layout LyX-Code

    if ( argc < 2 ) {
\layout LyX-Code

        cerr << "Faltan argumentos.
 Modo de uso:" << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
t" << argv[0] << " método fi G tf N to xo yo D n g f L Le" << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "Desde fi en adelante son opcionales.
 Los valores por defecto son:" << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tfi  = n" << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tG   = " << DEFAULT_G  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
ttf  = " << DEFAULT_tf << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tN   = " << DEFAULT_N  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tto  = " << DEFAULT_to << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
txo  = " << DEFAULT_xo << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tyo  = " << DEFAULT_yo << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tD   = " << DEFAULT_D  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tn   = " << DEFAULT_n  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tg   = " << DEFAULT_g  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tf   = " << DEFAULT_f  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tL   = " << DEFAULT_L  << endl;
\layout LyX-Code

        cerr << "
\backslash 
tLe  = " << DEFAULT_Le << endl;
\layout LyX-Code

        return EXIT_FAILURE;
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Selecciona el método deseado.
\layout LyX-Code

    Metodo metodo = NULL;
\layout LyX-Code

    switch ( char( argv[1][0] ) ) {
\layout LyX-Code

        case 'e':
\layout LyX-Code

            metodo = &euler;
\layout LyX-Code

            break;
\layout LyX-Code

        case 'r':
\layout LyX-Code

            metodo = &rk4;
\layout LyX-Code

            break;
\layout LyX-Code

        case 'n':
\layout LyX-Code

            metodo = &nystrom;
\layout LyX-Code

            break;
\layout LyX-Code

        default:
\layout LyX-Code

            cerr << "Debe especificar un método válido:" << endl;
\layout LyX-Code

            cerr << "
\backslash 
te: Euler" << endl;
\layout LyX-Code

            cerr << "
\backslash 
tr: Runge-Kutta 4" << endl;
\layout LyX-Code

            cerr << "
\backslash 
tn: Nystrom" << endl;
\layout LyX-Code

            return EXIT_FAILURE;
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Se inicializan los datos.
\layout LyX-Code

    Numero N = DEFAULT_N;
\layout LyX-Code

    Datos D;
\layout LyX-Code

    D.to = DEFAULT_to;
\layout LyX-Code

    D.tf = DEFAULT_tf;
\layout LyX-Code

    D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
\layout LyX-Code

    D.xo = DEFAULT_xo;
\layout LyX-Code

    D.yo = DEFAULT_yo;
\layout LyX-Code

    D.D  = DEFAULT_D;
\layout LyX-Code

    D.n  = DEFAULT_n;
\layout LyX-Code

    D.g  = DEFAULT_g;
\layout LyX-Code

    D.f  = DEFAULT_f;
\layout LyX-Code

    D.L  = DEFAULT_L;
\layout LyX-Code

    D.Le = DEFAULT_Le;
\layout LyX-Code

    D.G  = DEFAULT_G;
\layout LyX-Code

    D.fx = DEFAULT_fx;
\layout LyX-Code

    D.fy = DEFAULT_fy;
\layout LyX-Code

    D.fi = DEFAULT_fi;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Si se pasaron datos como argumento, se los va agregando.
\layout LyX-Code

    switch ( argc ) {
\layout LyX-Code

        case 15: D.Le = Numero( atof( argv[14] ) );
\layout LyX-Code

        case 14: D.L  = Numero( atof( argv[13] ) );
\layout LyX-Code

        case 13: D.f  = Numero( atof( argv[12] ) );
\layout LyX-Code

        case 12: D.g  = Numero( atof( argv[11] ) );
\layout LyX-Code

        case 11: D.n  = Numero( atof( argv[10] ) );
\layout LyX-Code

        case 10: D.D  = Numero( atof( argv[9] ) );
\layout LyX-Code

        case 9:  D.yo = Numero( atof( argv[8] ) );
\layout LyX-Code

        case 8:  D.xo = Numero( atof( argv[7] ) );
\layout LyX-Code

        case 7:  D.to = Numero( atof( argv[6] ) );
\layout LyX-Code

        case 6:  N    = Numero( atof( argv[5] ) );
\layout LyX-Code

        case 5:  D.tf = Numero( atof( argv[4] ) );
\layout LyX-Code

                 // Se recalcula el paso (k) si se cambio to, N o tf.
\layout LyX-Code

                 D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
\layout LyX-Code

        case 4:  D.G  = Numero( atof( argv[3] ) );
\layout LyX-Code

        case 3:  switch ( char( argv[2][0] ) ) { // Tipo de fricción
\layout LyX-Code

                    case 'n':
\layout LyX-Code

                        D.fi = &friccionNula;
\layout LyX-Code

                        break;
\layout LyX-Code

                    case 'l':
\layout LyX-Code

                        D.fi = &friccionLaminar;
\layout LyX-Code

                        break;
\layout LyX-Code

                    case 't':
\layout LyX-Code

                        D.fi = &friccionTurbulenta;
\layout LyX-Code

                        break;
\layout LyX-Code

                    case 'd':
\layout LyX-Code

                        D.fi = &friccionTurbulentaConDepositos;
\layout LyX-Code

                        break;
\layout LyX-Code

                    default:
\layout LyX-Code

                        cerr << "Debe especificar un tipo de fricción válido:"
 << endl;
\layout LyX-Code

                        cerr << "
\backslash 
tn: Nula" << endl;
\layout LyX-Code

                        cerr << "
\backslash 
tl: Laminar" << endl;
\layout LyX-Code

                        cerr << "
\backslash 
tt: Turbulenta" << endl;
\layout LyX-Code

                        cerr << "
\backslash 
td: Turbulenta (con depósitos)" << endl;
\layout LyX-Code

                        return EXIT_FAILURE;
\layout LyX-Code

                 }
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Imprime el paso utilizado.
\layout LyX-Code

    cerr << "Paso k = " << D.k << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Ejecuta el método correspondiente con los datos correspondientes.
\layout LyX-Code

    metodo( D );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return EXIT_SUCCESS;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero friccionNula( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return 0.0;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero friccionLaminar( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return 32 * D.n / ( D.D * D.D );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero friccionTurbulenta( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return D.f * fabs( y ) / ( 2 * D.D );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return D.f * fabs( y ) * D.Le / ( 2 * D.D * D.L);
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero funcionX( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return y;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

Numero funcionY( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    return - D.fi( D, x, y ) * y - D.g * D.G * x / D.L;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

void euler( Datos& D ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    Numero  xo = D.xo,
\layout LyX-Code

            yo = D.yo,
\layout LyX-Code

            x  = 0.0,
\layout LyX-Code

            y  = 0.0,
\layout LyX-Code

            t  = D.to;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    while ( t < D.tf ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Calculo los datos para este punto.
\layout LyX-Code

        x = xo + D.k * D.fx( D, t, xo, yo );
\layout LyX-Code

        y = yo + D.k * D.fy( D, t, xo, yo );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Imprimo resultados.
\layout LyX-Code

        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Reemplazo valores iniciales.
\layout LyX-Code

        xo = x;
\layout LyX-Code

        yo = y;
\layout LyX-Code

        t += D.k;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

void rk4( Datos& D ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    Numero  x   = D.xo,
\layout LyX-Code

            y   = D.yo,
\layout LyX-Code

            t   = D.to,
\layout LyX-Code

            qx1 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qx2 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qx3 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qx4 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qy1 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qy2 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qy3 = 0.0,
\layout LyX-Code

            qy4 = 0.0,
\layout LyX-Code

            unSexto = 1.0 / 6.0;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Imprimo datos iniciales.
\layout LyX-Code

    cout << t << " " << x << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    while ( t < D.tf ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Calculo los datos para este punto.
\layout LyX-Code

        qx1 = D.k * D.fx( D, t, x, y );
\layout LyX-Code

        qy1 = D.k * D.fy( D, t, x, y );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        qx2 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
\layout LyX-Code

        qy2 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        qx3 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
\layout LyX-Code

        qy3 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        qx4 = D.k * D.fx( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
\layout LyX-Code

        qy4 = D.k * D.fy( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        x += unSexto * ( qx1 + 2 * qx2 + 2 * qx3 + qx4 );
\layout LyX-Code

        y += unSexto * ( qy1 + 2 * qy2 + 2 * qy3 + qy4 );
\layout LyX-Code

        t += D.k;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Imprimo resultados.
\layout LyX-Code

        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

void nystrom( Datos& D ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    Numero  gGk2_L = D.g * D.G * D.k * D.k / D.L,
\layout LyX-Code

            xo  = D.xo,
\layout LyX-Code

            x1  = ( 1 - gGk2_L * 0.5 ) * D.xo,
\layout LyX-Code

            x2  = 0.0,
\layout LyX-Code

            y   = 0.0,
\layout LyX-Code

            fi  = 0.0,
\layout LyX-Code

            t   = D.to;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    // Imprimo valores iniciales.
\layout LyX-Code

    cout << t << " " << xo << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

    y = ( x1 - xo ) / D.k;
\layout LyX-Code

    cout << t << " " << x1 << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    while ( t < D.tf ) {
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Calculo los datos para este punto.
\layout LyX-Code

        fi  = D.fi( D, x1, y );
\layout LyX-Code

        x2 = ( ( fi - 1 ) * xo + ( 2 - gGk2_L ) * x1 ) / ( fi + 1 );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Prepara para próxima iteración
\layout LyX-Code

        t += D.k;
\layout LyX-Code

        xo = x1;
\layout LyX-Code

        x1 = x2;
\layout LyX-Code

        y  = ( x1 - xo ) / D.k;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

        // Imprimo resultados.
\layout LyX-Code

        cout << t << " " << x2 << " " << y << endl;
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

}
\layout Section

Utilidades.
\layout Standard

Todas las utilidades listadas aquí son Software Libre; puede redistribuirlas
 y/o modificarlas bajo los términos de la "GNU General Public License" como
 lo publica la "FSF Free Software Foundation", o (a su elección) de cualquier
 versión posterior.
\layout Subsection


\family typewriter 
calcula_periodo
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/php4 -qC
\layout LyX-Code

<?
\layout LyX-Code

// Muestra ayuda.
\layout LyX-Code

if ( $argc < 2 ) {
\layout LyX-Code

    echo "Modo de uso:
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    echo "$argv[0] archivo
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    exit;
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Abre archivo y obtiene datos iniciales.
\layout LyX-Code

$f = fopen( $argv[1], 'r' );
\layout LyX-Code

$s = fgets( $f, 4096 )
\layout LyX-Code

    or die( "El archivo está vacío o no se pudo abrir.
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

list( $t0, $z0 ) = preg_split( '/
\backslash 
s/', $s );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Procesa archivo calculando período.
\layout LyX-Code

$t_ant  = 0;
\layout LyX-Code

$c      = 0;
\layout LyX-Code

$t_sum  = 0;
\layout LyX-Code

$t_max  = 0;
\layout LyX-Code

$tt_max = 0;
\layout LyX-Code

$t_min  = 5000;
\layout LyX-Code

$tt_min = 0;
\layout LyX-Code

while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
\layout LyX-Code

    // Obtiene datos.
\layout LyX-Code

    list( $t, $z ) = preg_split( '/
\backslash 
s/', $s );
\layout LyX-Code

    // Se fija si es un "cero decreciente".
\layout LyX-Code

    if ( $z0 > 0 and ( $z < 0  or $z == 0 ) ) {
\layout LyX-Code

        if ( $t_ant ) {
\layout LyX-Code

            $t_actual = $t - $t_ant;
\layout LyX-Code

            if ( $t_actual > $t_max ) {
\layout LyX-Code

                $t_max  = $t_actual;
\layout LyX-Code

                $tt_max = $t;
\layout LyX-Code

            }
\layout LyX-Code

            if ( $t_actual < $t_min ) {
\layout LyX-Code

                $t_min  = $t_actual;
\layout LyX-Code

                $tt_min = $t;
\layout LyX-Code

            }
\layout LyX-Code

            echo "$t_actual
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

            $t_sum += $t_actual;
\layout LyX-Code

            $t_ant = $t;
\layout LyX-Code

            $c++;
\layout LyX-Code

        } else {
\layout LyX-Code

            $t_ant = $t;
\layout LyX-Code

        }
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

    // Actualiza valores anteriores.
\layout LyX-Code

    $t0 = $t;
\layout LyX-Code

    $z0 = $z;
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

fclose( $f );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Imprime período.
\layout LyX-Code

echo "Períodos promedio: " .
 $t_sum / $c .
 " ($c períodos promediados)
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

echo "Período máximo: $t_max (en t = $tt_max)
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

echo "Período mínimo: $t_min (en t = $tt_min)
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

?>
\layout Subsection


\family typewriter 
calcula_maxmin
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/php4 -qC
\layout LyX-Code

<?
\layout LyX-Code

// Muestra ayuda.
\layout LyX-Code

if ( $argc < 3 ) {
\layout LyX-Code

    echo "Modo de uso:
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    echo "$argv[0] modo archivo
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    echo "Donde modo es 'max' para calcular los máximos o 'min' para calcular
 los mínimos.
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    exit;
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Abre archivos y obtiene datos iniciales.
\layout LyX-Code

$f = fopen( $argv[2], 'r' )
\layout LyX-Code

    or die( "Error al abrir $argv[2] para lectura.
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

$s = fgets( $f, 4096 )
\layout LyX-Code

    or die( "El archivo $argv[2] está vacío.
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

list( $t0, $z0, $dz0 ) = preg_split( '/
\backslash 
s/', $s );
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// El primer valor siempre es un máximo.
\layout LyX-Code

if ( $argv[1] == 'max' )
\layout LyX-Code

    echo "$t0 $z0
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

 
\layout LyX-Code

// Procesa archivo calculando máximos y mínimos.
\layout LyX-Code

while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
\layout LyX-Code

    // Obtiene datos.
\layout LyX-Code

    list( $t, $z, $dz ) = preg_split( '/
\backslash 
s/', $s );
\layout LyX-Code

    // Se fija si la derivada es un "cero decreciente" (si es un máximo).
\layout LyX-Code

    if ( $argv[1] == 'max' and $dz0 > 0 and ( $dz < 0  or $dz == 0 ) )
\layout LyX-Code

        if ( $z0 > $z )
\layout LyX-Code

            echo "$t0 $z0
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

        else
\layout LyX-Code

            echo "$t $z
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    // Se fija si la derivada es un "cero creciente" (si es un mínimo).
\layout LyX-Code

    if ( $argv[1] == 'min' and $dz0 < 0 and ( $dz > 0  or $dz == 0 ) )
\layout LyX-Code

        if ( $z0 < $z )
\layout LyX-Code

            echo "$t0 $z0
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

        else
\layout LyX-Code

            echo "$t $z
\backslash 
n";
\layout LyX-Code

    // Actualiza valores anteriores.
\layout LyX-Code

    $t0  = $t;
\layout LyX-Code

    $z0  = $z;
\layout LyX-Code

    $dz0 = $dz;
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

fclose( $f );
\layout LyX-Code

?>
\the_end