src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
  54
  55         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  56         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  57         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  58         number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
  59                 chunk(buf, buf + len), sign(s)
  60         {
  61                 fix_empty();
  62         }
  63
  64         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  65         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  66         number(native_type n, sign_type s = positive):
  67                 chunk(1, n), sign(s) {}
  68
  69         number(const std::string& str);
  70
  71         // Operadores
  72         number& operator++ ()
  73         {
  74                 carry(0);
  75                 return *this;
  76         }
  77
  78         number& operator+= (const number& n);
  79         number& operator*= (const number& n);
  80         number& operator<<= (const size_type n);
  81         number& operator-= (const number& n);
  82         bool    operator< (const number& n);
  83         bool    operator==(const number& n) const;
  84
  85         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  86         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  87         native_type& operator[] (size_type i)
  88         {
  89                 return chunk[i];
  90         }
  91
  92         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  93         iterator begin() { return chunk.begin(); }
  94         iterator end() { return chunk.end(); }
  95         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
  96         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
  97         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
  98         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
  99         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 100         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 101
 102         // Friends
 103         template < typename NN, typename EE >
 104         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 105
 106         // Atributos
 107         //private:
 108         chunk_type chunk;
 109         sign_type sign;
 110
 111         // Helpers
 112         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 113         // números con (low, high)
 114         std::pair< number, number > split() const;
 115         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 116         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 117         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 118         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 119         // carry)
 120         void carry(size_type i)
 121         {
 122                 if (chunk.size() > i)
 123                 {
 124                         ++chunk[i];
 125                         if (chunk[i] == 0)
 126                                 carry(i+1); // Overflow
 127                 }
 128                 else
 129                         chunk.push_back(1);
 130         }
 131         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
 132         // borrow)
 133         void borrow(size_type i)
 134         {
 135                 // para poder pedir prestado debo tener uno a la izquierda
 136                 assert (chunk.size() >= i);
 137
 138                 if (chunk[i] == 0)
 139                 {
 140                         borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 141                         chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 142                 }
 143                 else
 144                 {
 145                         --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 146                 }
 147         }
 148         // Verifica si es un número par
 149         bool es_impar() const
 150         {
 151                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 152         }
 153         // Divide por 2.
 154         number dividido_dos() const
 155         {
 156                 number n = *this;
 157                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 158                 bool msb = 0; // bit más significativo
 159                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 160                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 161                 {
 162                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 163                         *i >>= 1;     // shift
 164                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 165                         if (msb)
 166                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 167                         msb = lsb;
 168                 }
 169                 return n;
 170         }
 171
 172 };
 173
 174 template < typename N, typename E >
 175 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 176 {
 177         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 178         E increment = 0;
 179         E acum = 0;
 180
 181         unsigned length = origen.length();
 182         unsigned number_offset = 0;
 183
 184         while (number_offset<length)
 185         {
 186                 // si encuentro un signo + ó - corto
 187                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 188                         break;
 189
 190                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 191                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 192                 {
 193                         chunk.push_back(acum);
 194                 }
 195
 196         }
 197
 198
 199 }
 200
 201 template < typename N, typename E >
 202 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 203 {
 204         // Si tienen distinto signo, restamos...
 205         if (sign != n.sign)
 206         {
 207                 if (sign == positive) // n es negativo
 208                 {
 209                         number< N, E > tmp = n;
 210                         tmp.sign = positive;
 211                         *this -= tmp;
 212                 }
 213                 else // n es positivo, yo negativo
 214                 {
 215                         sign = positive;
 216                         *this = n - *this;
 217                 }
 218                 return *this;
 219         }
 220
 221         native_type c = 0;
 222         size_type ini = 0;
 223         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 224         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 225
 226         // "intersección" entre ambos chunks
 227         // +-----+-----+------+------+
 228         // |     |     |      |      | <--- mio
 229         // +-----+-----+------+------+
 230         // +-----+-----+------+
 231         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 232         // +-----+-----+------+
 233         //
 234         // |------------------|
 235         // Esto se procesa en este for
 236         for (i = ini; i < fin; ++i)
 237         {
 238                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 239                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 240                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 241                         c = 1; // Overflow
 242                 else
 243                         c = 0; // OK
 244         }
 245
 246         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 247         // propagar el carry
 248         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 249         {
 250                 if (c)
 251                         carry(fin); // Propago carry
 252                 return *this;
 253         }
 254
 255         // Hay más
 256         // +-----+-----+------+
 257         // |     |     |      |         <--- mío
 258         // +-----+-----+------+
 259         // +-----+-----+------+------+
 260         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 261         // +-----+-----+------+------+
 262         //
 263         //                    |------|
 264         //            Esto se procesa en este for
 265         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 266         ini = fin;
 267         fin = n.chunk.size();
 268         for (i = ini; i < fin; ++i)
 269         {
 270                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 271                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 272                         c = 0; // OK
 273                 else
 274                         c = 1; // Overflow
 275         }
 276
 277         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 278         // más al chunk.
 279         if (c)
 280                 chunk.push_back(1); // Último carry
 281
 282         return *this;
 283 }
 284
 285 template < typename N, typename E >
 286 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 287 {
 288         number< N, E > tmp = n1;
 289         tmp += n2;
 290         return tmp;
 291 }
 292
 293 template < typename N, typename E >
 294 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 295 {
 296         // minuendo - substraendo
 297         number< N, E > minuend;
 298         number< N, E > subtrahend;
 299
 300         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 301         if (*this < n)
 302         {
 303                 minuend = n;
 304                 subtrahend = *this;
 305                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 306                 minuend.sign = negative;
 307         }
 308         else
 309         {
 310                 minuend = *this;
 311                 subtrahend = n;
 312                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 313                 minuend.sign = positive;
 314         }
 315
 316         size_type ini = 0;
 317         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 318         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 319
 320         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
 321         //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
 322         //no puede ser realmente mayor como cifra
 323         for (i = ini; i < fin; ++i)
 324         {
 325                 // si no alcanza para restar pido prestado
 326                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 327                 {
 328                         // no puedo pedir si soy el más significativo ...
 329                         assert (i != fin);
 330
 331                         // le pido uno al que me sigue
 332                         minuend.borrow(i+1);
 333                 }
 334
 335                 // es como hacer 24-5: el 4 pide prestado al 2 (borrow(i+1)) y después
 336                 // se hace 4 + (9-5) + 1
 337
 338                 minuend.chunk[i] += (~((N)0) - subtrahend.chunk[i]) + 1;
 339         }
 340
 341         //retorno el minuendo ya restado
 342         *this = minuend;
 343         return *this;
 344 }
 345
 346 template < typename N, typename E >
 347 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 348 {
 349         number< N, E > tmp = n1;
 350         tmp -= n2;
 351         return tmp;
 352 }
 353
 354
 355 template < typename N, typename E >
 356 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
 357 {
 358         number< N, E > n1 = *this;
 359         number< N, E > n2 = n;
 360
 361         // igualo los largos
 362         normalize_length(n1, n2);
 363
 364         // obtengo el largo
 365         size_type length = n1.chunk.size();
 366         size_type i = length - 1;
 367
 368         // me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
 369         // sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
 370         while (i > 0)
 371         {
 372                 if (n1[i]<n2[i])
 373                         return true;
 374                 if (n1[i]>n2[i])
 375                         return false;
 376
 377                 i--;
 378         }
 379
 380         // si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
 381         return false;
 382
 383 }
 384
 385 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 386 template < typename N, typename E >
 387 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 388 {
 389         size_type i;
 390         for (i = 0; i < n; i++)
 391         {
 392                 chunk.push_front(0);
 393         }
 394         return *this;
 395 }
 396
 397 template < typename N, typename E >
 398 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 399 {
 400         number< N, E > tmp = n;
 401         tmp <<= m;
 402         return tmp;
 403 }
 404
 405 template < typename NN, typename EE >
 406 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE >& n)
 407 {
 408         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 409         if (n.sign == positive)
 410                 os << "+ ";
 411         else
 412                 os << "- ";
 413         for (typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 414                         i != n.chunk.rend(); ++i)
 415                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(NN) * 2) << std::hex
 416                         << *i << " ";
 417         return os;
 418 }
 419
 420 template < typename N, typename E >
 421 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 422 {
 423         if (sign != n.sign)
 424         {
 425                 return false;
 426         }
 427
 428         size_type ini = 0;
 429         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 430         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 431
 432         // "intersección" entre ambos chunks
 433         // +-----+-----+------+------+
 434         // |     |     |      |      | <--- mio
 435         // +-----+-----+------+------+
 436         // +-----+-----+------+
 437         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 438         // +-----+-----+------+
 439         //
 440         // |------------------|
 441         // Esto se procesa en este for
 442         for (i = ini; i < fin; ++i)
 443         {
 444                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 445                 {
 446                         return false;
 447                 }
 448         }
 449
 450         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 451         // ver si el resto es cero.
 452         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 453         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 454         {
 455                 chunk_grande = &chunk;
 456                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 457         }
 458         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 459         {
 460                 chunk_grande = &n.chunk;
 461                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 462         }
 463         if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 464         {
 465                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 466                 {
 467                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 468                         {
 469                                 return false;
 470                         }
 471                 }
 472         }
 473         return true; // Son iguales
 474 }
 475
 476 template < typename N, typename E >
 477 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 478 {
 479         //number < N, E > r_op = n;
 480         //normalize_length(n);
 481         //n.normalize_length(*this);
 482         *this = naif(*this, n);
 483         return *this;
 484 }
 485
 486 template < typename N, typename E >
 487 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 488 {
 489         return naif(n1, n2);
 490 }
 491
 492 template < typename N, typename E >
 493 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 494 {
 495         typedef number< N, E > num_type;
 496         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 497         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 498         typename num_type::size_type i = 0;
 499
 500         // vacío las mitades
 501         std::pair< num_type, num_type > par;
 502
 503         // la primera mitad va al pedazo inferior
 504         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 505         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 506         {
 507                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 508         }
 509
 510         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 511         // mitad) va al pedazo superior
 512         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 513         for (i++ ; i < full_size; i++)
 514         {
 515                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 516         }
 517         return par;
 518 }
 519
 520
 521 template < typename N, typename E >
 522 void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
 523 {
 524         typedef number< N, E > num_type;
 525         typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
 526
 527         max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
 528
 529         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 530          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 531         t = max;
 532         p = 0;
 533         while (t != 0) {
 534                 t = t >> 1;
 535                 p++;
 536         }
 537
 538         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 539         pot2 = 1 << p;
 540
 541         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 542          * completar sus tamaños. */
 543         while (u.chunk.size() < pot2)
 544                 u.chunk.push_back(0);
 545
 546         while (v.chunk.size() < pot2)
 547                 v.chunk.push_back(0);
 548
 549         return;
 550 }
 551
 552
 553 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 554 template < typename N, typename E >
 555 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 556 {
 557         typedef number< N, E > num_type;
 558
 559         // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
 560         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 561
 562         sign_type sign;
 563
 564         if (u.sign == v.sign) {
 565                 sign = positive;
 566         } else {
 567                 sign = negative;
 568         }
 569
 570         //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
 571
 572         if (chunk_size == 1)
 573         {
 574                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 575                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 576                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 577                  * de N, ni mas ni menos).
 578                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 579                  * buffer. Si, es feo.
 580                  */
 581                 E tmp;
 582                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 583                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 584                 //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
 585                 //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
 586                 return tnum;
 587         }
 588
 589         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 590         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 591
 592         //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 593         //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 594
 595         /* m11 = u1*v1
 596          * m12 = u1*v2
 597          * m21 = u2*v1
 598          * m22 = u2*v2
 599          */
 600         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 601         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 602         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 603         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 604
 605         /*
 606         printf("csize: %d\n", chunk_size);
 607         std::cout << "11 " << m11 << "\n";
 608         std::cout << "12 " << m12 << "\n";
 609         std::cout << "21 " << m21 << "\n";
 610         std::cout << "22 " << m22 << "\n";
 611         */
 612
 613         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 614          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 615          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 616          * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
 617          */
 618         num_type res;
 619         res = m22 << chunk_size;
 620         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 621         res = res + m11;
 622         res.sign = sign;
 623         /*
 624         std::cout << "r: " << res << "\n";
 625         std::cout << "\n";
 626         */
 627         return res;
 628 }
 629
 630
 631 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 632  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 633  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 634  */
 635 template < typename N, typename E >
 636 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 637 {
 638         typedef number< N, E > num_type;
 639
 640         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 641
 642         sign_type sign;
 643
 644         if (u.sign == v.sign) {
 645                 sign = positive;
 646         } else {
 647                 sign = negative;
 648         }
 649
 650         if (chunk_size == 1) {
 651                 E tmp;
 652                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 653                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 654                 return tnum;
 655         }
 656
 657         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 658         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 659
 660         // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
 661         // ocurren algunos mejores!
 662         // m = u1*v1
 663         // d = u2*v2
 664         // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 665         num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
 666         num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
 667         num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
 668                         u12.first + v12.first);
 669
 670         // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
 671         // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
 672         num_type res;
 673         res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
 674         res.sign = sign;
 675         return res;
 676 }
 677
 678
 679 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 680  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 681  */
 682 template < typename N, typename E >
 683 number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 684 {
 685         assert(v.sign == positive);
 686         number< N, E > res, i;
 687
 688         res = u;
 689         res.sign = u.sign;
 690
 691         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 692                 res *= u;
 693         }
 694
 695         return res;
 696 }
 697
 698 /* Potenciacion usando división y conquista.
 699  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 700  *
 701  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 702  * pot(x, y):
 703  *      if y == 1:
 704  *              return x
 705  *      res = pot(x, y/2)
 706  *      res = res * res
 707  *      if y es impar:
 708  *              res = res * x
 709  *      return res
 710  *
 711  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 712  *
 713  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 714  *
 715  *                      1 3
 716  *                   _/  |  \_
 717  *                 _/    |    \_
 718  *                /      |      \
 719  *               6       1       6
 720  *             /   \           /   \
 721  *            /     \         /     \
 722  *           3       3       3       3
 723  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 724  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 725  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 726  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 727  *
 728  */
 729 template < typename N, typename E >
 730 number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 731 {
 732         assert(y.sign == positive);
 733         //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 734         if (y == number< N, E >(1))
 735         {
 736                 std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 737                 return x;
 738         }
 739         number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
 740         //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
 741         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 742         res *= res;
 743         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 744         if (y.es_impar())
 745         {
 746                 //std::cout << y << " es IMPAR => ";
 747                 res *= x; // Multiplico por el x que falta
 748                 //std::cout << "res = " << res << "\n";
 749         }
 750         //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
 751         return res;
 752 }
 753