src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0) {}
  54
  55         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  56         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  57         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  58         number(native_type* buf, size_type len, sign_type sign = positive):
  59                 chunk(buf, buf + len), sign(sign)
  60         {
  61                 fix_empty();
  62         }
  63
  64         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  65         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  66         number(native_type n, sign_type sign = positive):
  67                 chunk(1, n), sign(sign) {}
  68
  69         number(const std::string& str);
  70
  71         // Operadores
  72         number& operator++ ()
  73         {
  74                 carry(0);
  75                 return *this;
  76         }
  77
  78         number& operator+= (const number& n);
  79         number& operator*= (const number& n);
  80         number& operator<<= (const size_type n);
  81         number& operator-= (const number& n);
  82         bool    operator< (const number& n);
  83         bool operator==(const number& n) const;
  84
  85         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  86         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  87         native_type& operator[] (size_type i)
  88         {
  89                 return chunk[i];
  90         }
  91
  92         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  93         iterator begin() { return chunk.begin(); }
  94         iterator end() { return chunk.end(); }
  95         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
  96         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
  97         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
  98         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
  99         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 100         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 101
 102         // Friends
 103         template < typename NN, typename EE >
 104         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 105
 106         // Atributos
 107         //private:
 108         chunk_type chunk;
 109         sign_type sign;
 110
 111         // Helpers
 112         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 113         // números con (low, high)
 114         std::pair< number, number > split() const;
 115         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 116         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 117         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 118         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 119         // carry)
 120         void carry(size_type i)
 121         {
 122                 if (chunk.size() > i)
 123                 {
 124                         ++chunk[i];
 125                         if (chunk[i] == 0)
 126                                 carry(i+1); // Overflow
 127                 }
 128                 else
 129                         chunk.push_back(1);
 130         }
 131         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
 132         // borrow)
 133         void borrow(size_type i)
 134         {
 135                 if (chunk.size() >= i)
 136                 {
 137                         if (chunk[i] == 0)
 138                         {
 139                                 borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 140                                 chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 141                         }
 142                         else
 143                         {
 144                                 --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 145                         }
 146                 }
 147                 //else ERROR, están haciendo a-b con a>b
 148         }
 149         // Verifica si es un número par
 150         bool es_impar() const
 151         {
 152                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 153         }
 154         // Divide por 2.
 155         number dividido_dos() const
 156         {
 157                 number n = *this;
 158                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 159                 bool msb = 0; // bit más significativo
 160                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 161                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 162                 {
 163                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 164                         *i >>= 1;     // shift
 165                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 166                         if (msb)
 167                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 168                         msb = lsb;
 169                 }
 170                 return n;
 171         }
 172
 173 };
 174
 175 template < typename N, typename E >
 176 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 177 {
 178         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 179         E increment = 0;
 180         E acum = 0;
 181
 182         unsigned length = origen.length();
 183         unsigned number_offset = 0;
 184
 185         while (number_offset<length)
 186         {
 187                 // si encuentro un signo + ó - corto
 188                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 189                         break;
 190
 191                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 192                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 193                 {
 194                         chunk.push_back(acum);
 195                 }
 196
 197         }
 198
 199
 200 }
 201
 202 template < typename N, typename E >
 203 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 204 {
 205         native_type c = 0;
 206         size_type ini = 0;
 207         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 208         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 209
 210         // "intersección" entre ambos chunks
 211         // +-----+-----+------+------+
 212         // |     |     |      |      | <--- mio
 213         // +-----+-----+------+------+
 214         // +-----+-----+------+
 215         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 216         // +-----+-----+------+
 217         //
 218         // |------------------|
 219         // Esto se procesa en este for
 220         for (i = ini; i < fin; ++i)
 221         {
 222                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 223                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 224                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 225                         c = 1; // Overflow
 226                 else
 227                         c = 0; // OK
 228         }
 229
 230         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 231         // propagar el carry
 232         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 233         {
 234                 if (c)
 235                         carry(fin); // Propago carry
 236                 return *this;
 237         }
 238
 239         // Hay más
 240         // +-----+-----+------+
 241         // |     |     |      |         <--- mío
 242         // +-----+-----+------+
 243         // +-----+-----+------+------+
 244         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 245         // +-----+-----+------+------+
 246         //
 247         //                    |------|
 248         //            Esto se procesa en este for
 249         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 250         ini = fin;
 251         fin = n.chunk.size();
 252         for (i = ini; i < fin; ++i)
 253         {
 254                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 255                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 256                         c = 0; // OK
 257                 else
 258                         c = 1; // Overflow
 259         }
 260
 261         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 262         // más al chunk.
 263         if (c)
 264                 chunk.push_back(1); // Último carry
 265
 266         return *this;
 267 }
 268
 269 template < typename N, typename E >
 270 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 271 {
 272         number< N, E > tmp = n1;
 273         tmp += n2;
 274         return tmp;
 275 }
 276
 277 template < typename N, typename E >
 278 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 279 {
 280         // minuendo - substraendo
 281         number< N, E > minuend;
 282         number< N, E > subtrahend;
 283
 284         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 285         if (*this < n)
 286         {
 287                 minuend = n;
 288                 subtrahend = *this;
 289                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 290                 minuend.sign = negative;
 291         }
 292         else
 293         {
 294                 minuend = *this;
 295                 subtrahend = n;
 296                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 297                 minuend.sign = positive;
 298         }
 299
 300         native_type c = 0;
 301         size_type ini = 0;
 302         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 303         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 304
 305         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
 306         //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
 307         //no puede ser realmente mayor como cifra
 308         for (i = ini; i < fin; ++i)
 309         {
 310                 // si no alcanza para restar pido prestado
 311                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 312                 {
 313                         minuend.borrow(i);
 314                 }
 315
 316                 // resto el chunk i-ésimo
 317                 minuend.chunk[i] -= subtrahend.chunk[i];
 318         }
 319
 320         //retorno el minuendo ya restado
 321         *this = minuend;
 322         return *this;
 323 }
 324
 325 template < typename N, typename E >
 326 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 327 {
 328         number< N, E > tmp = n1;
 329         tmp -= n2;
 330         return tmp;
 331 }
 332
 333
 334 template < typename N, typename E >
 335 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
 336 {
 337         number< N, E > n1 = *this;
 338         number< N, E > n2 = n;
 339
 340         // igualo los largos
 341         normalize_length(n1, n2);
 342
 343         // obtengo el largo
 344         size_type length = n1.chunk.size();
 345         size_type i = length - 1;
 346
 347         // me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
 348         // sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
 349         while (i > 0)
 350         {
 351                 if (n1[i]<n2[i])
 352                         return true;
 353                 if (n1[i]>n2[i])
 354                         return false;
 355
 356                 i--;
 357         }
 358
 359         // si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
 360         return false;
 361
 362 }
 363
 364 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 365 template < typename N, typename E >
 366 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 367 {
 368         size_type i;
 369         for (i = 0; i < n; i++)
 370         {
 371                 chunk.push_front(0);
 372         }
 373         return *this;
 374 }
 375
 376 template < typename N, typename E >
 377 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 378 {
 379         number< N, E > tmp = n;
 380         tmp <<= m;
 381         return tmp;
 382 }
 383
 384 template < typename N, typename E >
 385 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 386 {
 387         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 388         if (n.sign == positive)
 389                 os << "+ ";
 390         else
 391                 os << "- ";
 392         for (typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 393                         i != n.chunk.rend(); ++i)
 394                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
 395                         << *i << " ";
 396         return os;
 397 }
 398
 399 template < typename N, typename E >
 400 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 401 {
 402         if (sign != n.sign)
 403         {
 404                 return false;
 405         }
 406
 407         size_type ini = 0;
 408         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 409         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 410
 411         // "intersección" entre ambos chunks
 412         // +-----+-----+------+------+
 413         // |     |     |      |      | <--- mio
 414         // +-----+-----+------+------+
 415         // +-----+-----+------+
 416         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 417         // +-----+-----+------+
 418         //
 419         // |------------------|
 420         // Esto se procesa en este for
 421         for (i = ini; i < fin; ++i)
 422         {
 423                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 424                 {
 425                         return false;
 426                 }
 427         }
 428
 429         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 430         // ver si el resto es cero.
 431         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 432         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 433         {
 434                 chunk_grande = &chunk;
 435                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 436         }
 437         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 438         {
 439                 chunk_grande = &n.chunk;
 440                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 441         }
 442         if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 443         {
 444                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 445                 {
 446                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 447                         {
 448                                 return false;
 449                         }
 450                 }
 451         }
 452         return true; // Son iguales
 453 }
 454
 455 template < typename N, typename E >
 456 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 457 {
 458         //number < N, E > r_op = n;
 459         //normalize_length(n);
 460         //n.normalize_length(*this);
 461         *this = naif(*this, n);
 462         return *this;
 463 }
 464
 465 template < typename N, typename E >
 466 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 467 {
 468         return naif(n1, n2);
 469 }
 470
 471 template < typename N, typename E >
 472 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 473 {
 474         typedef number< N, E > num_type;
 475         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 476         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 477         typename num_type::size_type i = 0;
 478
 479         // vacío las mitades
 480         std::pair< num_type, num_type > par;
 481
 482         // la primera mitad va al pedazo inferior
 483         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 484         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 485         {
 486                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 487         }
 488
 489         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 490         // mitad) va al pedazo superior
 491         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 492         for (i++ ; i < full_size; i++)
 493         {
 494                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 495         }
 496         return par;
 497 }
 498
 499
 500 template < typename N, typename E >
 501 void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
 502 {
 503         typedef number< N, E > num_type;
 504         typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
 505
 506         max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
 507
 508         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 509          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 510         t = max;
 511         p = 0;
 512         while (t != 0) {
 513                 t = t >> 1;
 514                 p++;
 515         }
 516
 517         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 518         pot2 = 1 << p;
 519
 520         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 521          * completar sus tamaños. */
 522         while (u.chunk.size() < pot2)
 523                 u.chunk.push_back(0);
 524
 525         while (v.chunk.size() < pot2)
 526                 v.chunk.push_back(0);
 527
 528         return;
 529 }
 530
 531
 532 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 533 template < typename N, typename E >
 534 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 535 {
 536         typedef number< N, E > num_type;
 537
 538         // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
 539         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 540
 541         sign_type sign;
 542
 543         if ( (u.sign == positive && v.sign == positive) ||
 544                         (u.sign == negative && v.sign == negative) ) {
 545                 sign = positive;
 546         } else {
 547                 sign = negative;
 548         }
 549
 550         //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
 551
 552         if (chunk_size == 1)
 553         {
 554                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 555                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 556                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 557                  * de N, ni mas ni menos).
 558                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 559                  * buffer. Si, es feo.
 560                  */
 561                 E tmp;
 562                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 563                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 564                 //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
 565                 //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
 566                 return tnum;
 567         }
 568
 569         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 570         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 571
 572         //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 573         //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 574
 575         /* m11 = u1*v1
 576          * m12 = u1*v2
 577          * m21 = u2*v1
 578          * m22 = u2*v2
 579          */
 580         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 581         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 582         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 583         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 584
 585         /*
 586         printf("csize: %d\n", chunk_size);
 587         std::cout << "11 " << m11 << "\n";
 588         std::cout << "12 " << m12 << "\n";
 589         std::cout << "21 " << m21 << "\n";
 590         std::cout << "22 " << m22 << "\n";
 591         */
 592
 593         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 594          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 595          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 596          * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
 597          */
 598         num_type res;
 599         res = m22 << chunk_size;
 600         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 601         res = res + m11;
 602         res.sign = sign;
 603         /*
 604         std::cout << "r: " << res << "\n";
 605         std::cout << "\n";
 606         */
 607         return res;
 608 }
 609
 610
 611 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 612  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 613  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 614  */
 615 template < typename N, typename E >
 616 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 617 {
 618         typedef number< N, E > num_type;
 619
 620         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 621
 622         sign_type sign;
 623
 624         if ( (u.sign == positive && v.sign == positive) ||
 625                         (u.sign == negative && v.sign == negative) ) {
 626                 sign = positive;
 627         } else {
 628                 sign = negative;
 629         }
 630
 631         if (chunk_size == 1) {
 632                 E tmp;
 633                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 634                 num_type tnum = num_type(static_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 635                 return tnum;
 636         }
 637
 638         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 639         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 640
 641         // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
 642         // ocurren algunos mejores!
 643         // m = u1*v1
 644         // d = u2*v2
 645         // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 646         num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
 647         num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
 648         num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
 649                         u12.first + v12.first);
 650
 651         // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
 652         // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
 653         num_type res;
 654         res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
 655         res.sign = sign;
 656         return res;
 657 }
 658
 659
 660 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 661  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 662  */
 663 template < typename N, typename E >
 664 number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 665 {
 666         assert(v.sign == positive);
 667         number< N, E > res, i;
 668
 669         res = u;
 670         res.sign = u.sign;
 671
 672         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 673                 res *= u;
 674         }
 675
 676         return res;
 677 }
 678
 679 /* Potenciacion usando división y conquista.
 680  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 681  *
 682  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 683  * pot(x, y):
 684  *      if y == 1:
 685  *              return x
 686  *      res = pot(x, y/2)
 687  *      res = res * res
 688  *      if y es impar:
 689  *              res = res * x
 690  *      return res
 691  *
 692  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 693  *
 694  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 695  *
 696  *                      1 3
 697  *                   _/  |  \_
 698  *                 _/    |    \_
 699  *                /      |      \
 700  *               6       1       6
 701  *             /   \           /   \
 702  *            /     \         /     \
 703  *           3       3       3       3
 704  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 705  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 706  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 707  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 708  *
 709  */
 710 template < typename N, typename E >
 711 number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 712 {
 713         assert(y.sign == positive);
 714         //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 715         if (y == number< N, E >(1))
 716         {
 717                 std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 718                 return x;
 719         }
 720         number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
 721         //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
 722         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 723         res *= res;
 724         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 725         if (y.es_impar())
 726         {
 727                 //std::cout << y << " es IMPAR => ";
 728                 res *= x; // Multiplico por el x que falta
 729                 //std::cout << "res = " << res << "\n";
 730         }
 731         //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
 732         return res;
 733 }
 734