src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
  54
  55         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  56         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  57         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  58         number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
  59                 chunk(buf, buf + len), sign(s)
  60         {
  61                 fix_empty();
  62         }
  63
  64         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  65         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  66         number(native_type n, sign_type s = positive):
  67                 chunk(1, n), sign(s) {}
  68
  69         number(const std::string& str);
  70
  71         // Operadores
  72         number& operator++ ()
  73         {
  74                 carry(0);
  75                 return *this;
  76         }
  77
  78         number& operator+=  (const number& n);
  79         number& operator*=  (const number& n);
  80         number& operator<<= (const size_type n);
  81         number& operator-=  (const number& n);
  82         bool    operator<   (const number& n) const;
  83         bool    operator==  (const number& n) const;
  84
  85         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  86         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  87         native_type& operator[] (size_type i)
  88         {
  89                 return chunk[i];
  90         }
  91
  92         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  93         iterator begin() { return chunk.begin(); }
  94         iterator end() { return chunk.end(); }
  95         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
  96         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
  97         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
  98         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
  99         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 100         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 101
 102         // Friends
 103         template < typename NN, typename EE >
 104         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 105
 106         // Atributos
 107         //private:
 108         mutable chunk_type chunk;
 109         sign_type sign;
 110
 111         // Helpers
 112         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 113         // números con (low, high)
 114         std::pair< number, number > split() const;
 115         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 116         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 117         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 118         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 119         // carry)
 120         void carry(size_type i)
 121         {
 122                 if (chunk.size() > i)
 123                 {
 124                         ++chunk[i];
 125                         if (chunk[i] == 0)
 126                                 carry(i+1); // Overflow
 127                 }
 128                 else
 129                         chunk.push_back(1);
 130         }
 131         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
 132         // borrow)
 133         void borrow(size_type i)
 134         {
 135                 // para poder pedir prestado debo tener uno a la izquierda
 136                 assert (chunk.size() >= i);
 137
 138                 if (chunk[i] == 0)
 139                 {
 140                         borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 141                         chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 142                 }
 143                 else
 144                 {
 145                         --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 146                 }
 147         }
 148         // Verifica si es un número par
 149         bool es_impar() const
 150         {
 151                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 152         }
 153         // Divide por 2.
 154         number dividido_dos() const
 155         {
 156                 number n = *this;
 157                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 158                 bool msb = 0; // bit más significativo
 159                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 160                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 161                 {
 162                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 163                         *i >>= 1;     // shift
 164                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 165                         if (msb)
 166                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 167                         msb = lsb;
 168                 }
 169                 return n;
 170         }
 171
 172 };
 173
 174 template < typename N, typename E >
 175 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 176 {
 177         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 178         E increment = 0;
 179         E acum = 0;
 180
 181         unsigned length = origen.length();
 182         unsigned number_offset = 0;
 183
 184         while (number_offset<length)
 185         {
 186                 // si encuentro un signo + ó - corto
 187                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 188                         break;
 189
 190                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 191                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 192                 {
 193                         chunk.push_back(acum);
 194                 }
 195
 196         }
 197
 198
 199 }
 200
 201 template < typename N, typename E >
 202 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 203 {
 204         // Si tienen distinto signo, restamos...
 205         if (sign != n.sign)
 206         {
 207                 if (sign == positive) // n es negativo
 208                 {
 209                         number< N, E > tmp = n;
 210                         tmp.sign = positive;
 211                         *this -= tmp;
 212                 }
 213                 else // n es positivo, yo negativo
 214                 {
 215                         sign = positive;
 216                         *this = n - *this;
 217                 }
 218                 return *this;
 219         }
 220
 221         native_type c = 0;
 222         size_type ini = 0;
 223         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 224         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 225
 226         // "intersección" entre ambos chunks
 227         // +-----+-----+------+------+
 228         // |     |     |      |      | <--- mio
 229         // +-----+-----+------+------+
 230         // +-----+-----+------+
 231         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 232         // +-----+-----+------+
 233         //
 234         // |------------------|
 235         // Esto se procesa en este for
 236         for (i = ini; i < fin; ++i)
 237         {
 238                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 239                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 240                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 241                         c = 1; // Overflow
 242                 else
 243                         c = 0; // OK
 244         }
 245
 246         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 247         // propagar el carry
 248         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 249         {
 250                 if (c)
 251                         carry(fin); // Propago carry
 252                 return *this;
 253         }
 254
 255         // Hay más
 256         // +-----+-----+------+
 257         // |     |     |      |         <--- mío
 258         // +-----+-----+------+
 259         // +-----+-----+------+------+
 260         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 261         // +-----+-----+------+------+
 262         //
 263         //                    |------|
 264         //            Esto se procesa en este for
 265         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 266         ini = fin;
 267         fin = n.chunk.size();
 268         for (i = ini; i < fin; ++i)
 269         {
 270                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 271                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 272                         c = 0; // OK
 273                 else
 274                         c = 1; // Overflow
 275         }
 276
 277         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 278         // más al chunk.
 279         if (c)
 280                 chunk.push_back(1); // Último carry
 281
 282         return *this;
 283 }
 284
 285 template < typename N, typename E >
 286 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 287 {
 288         number< N, E > tmp = n1;
 289         tmp += n2;
 290         return tmp;
 291 }
 292
 293 template < typename N, typename E >
 294 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 295 {
 296         // minuendo - substraendo
 297         number< N, E > minuend;
 298         number< N, E > subtrahend;
 299
 300         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 301         if (*this < n)
 302         {
 303                 minuend = n;
 304                 subtrahend = *this;
 305                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 306                 minuend.sign = negative;
 307         }
 308         else
 309         {
 310                 minuend = *this;
 311                 subtrahend = n;
 312                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 313                 minuend.sign = positive;
 314         }
 315
 316         size_type ini = 0;
 317         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 318         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 319
 320         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
 321         //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
 322         //no puede ser realmente mayor como cifra
 323         for (i = ini; i < fin; ++i)
 324         {
 325                 // si no alcanza para restar pido prestado
 326                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 327                 {
 328                         // no puedo pedir si soy el más significativo ...
 329                         assert (i != fin);
 330
 331                         // le pido uno al que me sigue
 332                         minuend.borrow(i+1);
 333                 }
 334
 335                 // es como hacer 24-5: el 4 pide prestado al 2 (borrow(i+1)) y después
 336                 // se hace 4 + (9-5) + 1
 337
 338                 minuend.chunk[i] += (~((N)0) - subtrahend.chunk[i]) + 1;
 339         }
 340
 341         //retorno el minuendo ya restado
 342         *this = minuend;
 343         return *this;
 344 }
 345
 346 template < typename N, typename E >
 347 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 348 {
 349         number< N, E > tmp = n1;
 350         tmp -= n2;
 351         return tmp;
 352 }
 353
 354
 355 template < typename N, typename E >
 356 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n) const
 357 {
 358         if (sign != n.sign)
 359         {
 360                 if (sign == positive) // yo positivo, n negativo
 361                         return false; // yo soy más grande
 362                 else // yo negagivo, n positivo
 363                         return true; // n es más grande
 364         }
 365
 366         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 367
 368         if (chunk.size() > n.chunk.size()) // yo tengo más elementos
 369         {
 370                 // Recorro los bytes más significativos (que tengo sólo yo)
 371                 for (i = n.chunk.size(); i < chunk.size(); ++i)
 372                 {
 373                         if (chunk[i] != 0) // Si tengo algo distinto a 0
 374                         {
 375                                 return false; // Entonces soy más grande
 376                         }
 377                 }
 378         }
 379         else if (chunk.size() < n.chunk.size()) // n tiene más elementos
 380         {
 381                 // Recorro los bytes más significativos (que tiene sólo n)
 382                 for (i = chunk.size(); i < n.chunk.size(); ++i)
 383                 {
 384                         if (chunk[i] != 0) // Si n tiene algo distinto a 0
 385                         {
 386                                 return true; // Entonces soy más chico
 387                         }
 388                 }
 389         }
 390         // sigo con la intersección de ambos
 391         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 392         i = fin;
 393         while (i != 0) {
 394                 --i;
 395
 396                 if (chunk[i] < n.chunk[i]) // Si es menor
 397                 {
 398                         return true;
 399                 }
 400                 else if (chunk[i] > n.chunk[i]) // Si es mayor
 401                 {
 402                         return false;
 403                 }
 404                 // Si es igual tengo que seguir viendo
 405         }
 406
 407         return false; // Son iguales
 408 }
 409
 410 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 411 template < typename N, typename E >
 412 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 413 {
 414         size_type i;
 415         for (i = 0; i < n; i++)
 416         {
 417                 chunk.push_front(0);
 418         }
 419         return *this;
 420 }
 421
 422 template < typename N, typename E >
 423 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 424 {
 425         number< N, E > tmp = n;
 426         tmp <<= m;
 427         return tmp;
 428 }
 429
 430 template < typename NN, typename EE >
 431 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE >& n)
 432 {
 433         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 434         if (n.sign == positive)
 435                 os << "+ ";
 436         else
 437                 os << "- ";
 438         typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 439         typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator end = n.chunk.rend();
 440         for (; i != end; ++i)
 441                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(NN) * 2) << std::hex
 442                         << *i << " ";
 443         return os;
 444 }
 445
 446 template < typename N, typename E >
 447 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 448 {
 449         if (sign != n.sign)
 450         {
 451                 return false;
 452         }
 453
 454         size_type ini = 0;
 455         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 456         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 457
 458         // "intersección" entre ambos chunks
 459         // +-----+-----+------+------+
 460         // |     |     |      |      | <--- mio
 461         // +-----+-----+------+------+
 462         // +-----+-----+------+
 463         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 464         // +-----+-----+------+
 465         //
 466         // |------------------|
 467         // Esto se procesa en este for
 468         for (i = ini; i < fin; ++i)
 469         {
 470                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 471                 {
 472                         return false;
 473                 }
 474         }
 475
 476         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 477         // ver si el resto es cero.
 478         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 479         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 480         {
 481                 chunk_grande = &chunk;
 482                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 483         }
 484         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 485         {
 486                 chunk_grande = &n.chunk;
 487                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 488         }
 489         if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 490         {
 491                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 492                 {
 493                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 494                         {
 495                                 return false;
 496                         }
 497                 }
 498         }
 499         return true; // Son iguales
 500 }
 501
 502 template < typename N, typename E >
 503 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 504 {
 505         *this = naif(*this, n);
 506         return *this;
 507 }
 508
 509 template < typename N, typename E >
 510 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 511 {
 512         return naif(n1, n2);
 513 }
 514
 515 template < typename N, typename E >
 516 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 517 {
 518         typedef number< N, E > num_type;
 519         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 520         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 521         typename num_type::size_type i = 0;
 522
 523         // vacío las mitades
 524         std::pair< num_type, num_type > par;
 525
 526         // la primera mitad va al pedazo inferior
 527         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 528         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 529         {
 530                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 531         }
 532
 533         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 534         // mitad) va al pedazo superior
 535         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 536         for (i++ ; i < full_size; i++)
 537         {
 538                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 539         }
 540         return par;
 541 }
 542
 543
 544 template < typename N, typename E >
 545 void normalize_length(const number< N, E >& u, const number< N, E >& v)
 546 {
 547         typedef number< N, E > num_type;
 548         typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
 549
 550         max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
 551
 552         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 553          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 554         t = max;
 555         p = 0;
 556         while (t != 0) {
 557                 t = t >> 1;
 558                 p++;
 559         }
 560
 561         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 562         pot2 = 1 << p;
 563
 564         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 565          * completar sus tamaños. */
 566         while (u.chunk.size() < pot2)
 567                 u.chunk.push_back(0);
 568
 569         while (v.chunk.size() < pot2)
 570                 v.chunk.push_back(0);
 571
 572         return;
 573 }
 574
 575
 576 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 577 template < typename N, typename E >
 578 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 579 {
 580         typedef number< N, E > num_type;
 581
 582         normalize_length(u, v);
 583
 584         /* como acabo de normalizar los tamaños son iguales */
 585         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 586
 587         sign_type sign;
 588
 589         if (u.sign == v.sign) {
 590                 sign = positive;
 591         } else {
 592                 sign = negative;
 593         }
 594
 595         //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
 596
 597         if (chunk_size == 1)
 598         {
 599                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 600                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 601                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 602                  * de N, ni mas ni menos).
 603                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 604                  * buffer. Si, es feo.
 605                  */
 606                 E tmp;
 607                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 608                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 609                 //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
 610                 //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
 611                 return tnum;
 612         }
 613
 614         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 615         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 616
 617         //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 618         //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 619
 620         /* m11 = u1*v1
 621          * m12 = u1*v2
 622          * m21 = u2*v1
 623          * m22 = u2*v2
 624          */
 625         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 626         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 627         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 628         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 629
 630         /*
 631         printf("csize: %d\n", chunk_size);
 632         std::cout << "11 " << m11 << "\n";
 633         std::cout << "12 " << m12 << "\n";
 634         std::cout << "21 " << m21 << "\n";
 635         std::cout << "22 " << m22 << "\n";
 636         */
 637
 638         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 639          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 640          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 641          */
 642         num_type res;
 643         res = m22 << chunk_size;
 644         //std::cout << "ra: " << res << "\n";
 645         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 646         /*
 647         std::cout << "rb: " << res << "\n";
 648         std::cout << "12+21: " << (m12 + m21) << "\n";
 649         std::cout << "cs/2: " << (chunk_size / 2) << "\n";
 650         std::cout << "t: " << ((m12 + m21) << (chunk_size / 2)) << "\n";
 651         */
 652         res = res + m11;
 653         //std::cout << "rc: " << res << "\n";
 654         res.sign = sign;
 655         //std::cout << "r: " << res << "\n";
 656         //std::cout << "\n";
 657         return res;
 658 }
 659
 660
 661 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 662  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 663  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 664  */
 665 template < typename N, typename E >
 666 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 667 {
 668         typedef number< N, E > num_type;
 669
 670         normalize_length(u, v);
 671
 672         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 673
 674         sign_type sign;
 675
 676         if (u.sign == v.sign) {
 677                 sign = positive;
 678         } else {
 679                 sign = negative;
 680         }
 681
 682         if (chunk_size == 1) {
 683                 E tmp;
 684                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 685                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 686                 return tnum;
 687         }
 688
 689         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 690         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 691
 692         /*
 693         std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 694         std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 695         */
 696
 697         /* Aca esta la gracia de toda la cuestion:
 698          * m = u1*v1
 699          * d = u2*v2
 700          * h = (u1+u2)*(v1+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 701          *
 702          * h - d - m = u1*v2+u2*v1
 703          * u1*v1 << base^N  +  u1*v2+u2*v1 << base^(N/2)  +  u2*v2
 704          * m << base^N  +  (h - d - m) << base^(N/2)  +  d
 705         */
 706         num_type m = karatsuba(u12.first, v12.first);
 707         num_type d = karatsuba(u12.second, v12.second);
 708
 709         num_type sumfst = u12.first + u12.second;
 710         num_type sumsnd = v12.first + v12.second;
 711         num_type h = karatsuba(sumfst, sumsnd);
 712
 713         /*
 714         fflush(stdout); fflush(stderr);
 715         std::cout << "m: " << m << "\n";
 716         std::cout << "d: " << d << "\n";
 717         std::cout << "h: " << h << "\n";
 718         fflush(stdout); fflush(stderr);
 719         */
 720
 721         num_type res, tmp;
 722
 723         /* tmp = h - d - m */
 724         normalize_length(h, d);
 725         tmp = h - d;
 726         normalize_length(tmp, m);
 727         /*
 728         std::cout << "t: " << tmp << "\n";
 729         std::cout << "m: " << m << "\n";
 730         */
 731         tmp = tmp - m;
 732         //std::cout << "t: " << tmp << "\n";
 733
 734         /* Resultado final */
 735         res = d << chunk_size;
 736         res += tmp << (chunk_size / 2);
 737         res += m;
 738         res.sign = sign;
 739
 740         return res;
 741 }
 742
 743
 744 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 745  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 746  */
 747 template < typename N, typename E >
 748 number < N, E > pot_ko(number< N, E > &u, number< N, E > &v)
 749 {
 750         assert(v.sign == positive);
 751         number< N, E > res, i;
 752
 753         res = u;
 754         res.sign = u.sign;
 755
 756         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 757                 res *= u;
 758         }
 759
 760         return res;
 761 }
 762
 763 /* Potenciacion usando división y conquista.
 764  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 765  *
 766  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 767  * pot(x, y):
 768  *      if y == 1:
 769  *              return x
 770  *      res = pot(x, y/2)
 771  *      res = res * res
 772  *      if y es impar:
 773  *              res = res * x
 774  *      return res
 775  *
 776  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 777  *
 778  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 779  *
 780  *                      1 3
 781  *                   _/  |  \_
 782  *                 _/    |    \_
 783  *                /      |      \
 784  *               6       1       6
 785  *             /   \           /   \
 786  *            /     \         /     \
 787  *           3       3       3       3
 788  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 789  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 790  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 791  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 792  *
 793  */
 794 template < typename N, typename E >
 795 number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 796 {
 797         assert(y.sign == positive);
 798         //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 799         if (y == number< N, E >(1))
 800         {
 801                 std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 802                 return x;
 803         }
 804         number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
 805         //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
 806         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 807         res *= res;
 808         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 809         if (y.es_impar())
 810         {
 811                 //std::cout << y << " es IMPAR => ";
 812                 res *= x; // Multiplico por el x que falta
 813                 //std::cout << "res = " << res << "\n";
 814         }
 815         //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
 816         return res;
 817 }
 818