src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
  54
  55         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  56         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  57         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  58         number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
  59                 chunk(buf, buf + len), sign(s)
  60         {
  61                 fix_empty();
  62         }
  63
  64         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  65         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  66         number(native_type n, sign_type s = positive):
  67                 chunk(1, n), sign(s) {}
  68
  69         number(const std::string& str);
  70
  71         // Operadores
  72         number& operator++ ()
  73         {
  74                 carry(0);
  75                 return *this;
  76         }
  77
  78         number& operator+= (const number& n);
  79         number& operator*= (const number& n);
  80         number& operator<<= (const size_type n);
  81         number& operator-= (const number& n);
  82         bool    operator< (const number& n);
  83         bool    operator==(const number& n) const;
  84
  85         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  86         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  87         native_type& operator[] (size_type i)
  88         {
  89                 return chunk[i];
  90         }
  91
  92         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  93         iterator begin() { return chunk.begin(); }
  94         iterator end() { return chunk.end(); }
  95         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
  96         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
  97         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
  98         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
  99         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 100         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 101
 102         // Friends
 103         template < typename NN, typename EE >
 104         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 105
 106         // Atributos
 107         //private:
 108         chunk_type chunk;
 109         sign_type sign;
 110
 111         // Helpers
 112         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 113         // números con (low, high)
 114         std::pair< number, number > split() const;
 115         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 116         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 117         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 118         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 119         // carry)
 120         void carry(size_type i)
 121         {
 122                 if (chunk.size() > i)
 123                 {
 124                         ++chunk[i];
 125                         if (chunk[i] == 0)
 126                                 carry(i+1); // Overflow
 127                 }
 128                 else
 129                         chunk.push_back(1);
 130         }
 131         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
 132         // borrow)
 133         void borrow(size_type i)
 134         {
 135                 if (chunk.size() >= i)
 136                 {
 137                         if (chunk[i] == 0)
 138                         {
 139                                 borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 140                                 chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 141                         }
 142                         else
 143                         {
 144                                 --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 145                         }
 146                 }
 147                 //else ERROR, están haciendo a-b con a>b
 148         }
 149         // Verifica si es un número par
 150         bool es_impar() const
 151         {
 152                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 153         }
 154         // Divide por 2.
 155         number dividido_dos() const
 156         {
 157                 number n = *this;
 158                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 159                 bool msb = 0; // bit más significativo
 160                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 161                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 162                 {
 163                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 164                         *i >>= 1;     // shift
 165                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 166                         if (msb)
 167                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 168                         msb = lsb;
 169                 }
 170                 return n;
 171         }
 172
 173 };
 174
 175 template < typename N, typename E >
 176 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 177 {
 178         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 179         E increment = 0;
 180         E acum = 0;
 181
 182         unsigned length = origen.length();
 183         unsigned number_offset = 0;
 184
 185         while (number_offset<length)
 186         {
 187                 // si encuentro un signo + ó - corto
 188                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 189                         break;
 190
 191                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 192                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 193                 {
 194                         chunk.push_back(acum);
 195                 }
 196
 197         }
 198
 199
 200 }
 201
 202 template < typename N, typename E >
 203 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 204 {
 205         // Si tienen distinto signo, restamos...
 206         if (sign != n.sign)
 207         {
 208                 if (sign == positive) // n es negativo
 209                 {
 210                         number< N, E > tmp = n;
 211                         tmp.sign = positive;
 212                         *this -= tmp;
 213                 }
 214                 else // n es positivo, yo negativo
 215                 {
 216                         sign = positive;
 217                         *this = n - *this;
 218                 }
 219                 return *this;
 220         }
 221
 222         native_type c = 0;
 223         size_type ini = 0;
 224         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 225         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 226
 227         // "intersección" entre ambos chunks
 228         // +-----+-----+------+------+
 229         // |     |     |      |      | <--- mio
 230         // +-----+-----+------+------+
 231         // +-----+-----+------+
 232         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 233         // +-----+-----+------+
 234         //
 235         // |------------------|
 236         // Esto se procesa en este for
 237         for (i = ini; i < fin; ++i)
 238         {
 239                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 240                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 241                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 242                         c = 1; // Overflow
 243                 else
 244                         c = 0; // OK
 245         }
 246
 247         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 248         // propagar el carry
 249         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 250         {
 251                 if (c)
 252                         carry(fin); // Propago carry
 253                 return *this;
 254         }
 255
 256         // Hay más
 257         // +-----+-----+------+
 258         // |     |     |      |         <--- mío
 259         // +-----+-----+------+
 260         // +-----+-----+------+------+
 261         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 262         // +-----+-----+------+------+
 263         //
 264         //                    |------|
 265         //            Esto se procesa en este for
 266         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 267         ini = fin;
 268         fin = n.chunk.size();
 269         for (i = ini; i < fin; ++i)
 270         {
 271                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 272                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 273                         c = 0; // OK
 274                 else
 275                         c = 1; // Overflow
 276         }
 277
 278         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 279         // más al chunk.
 280         if (c)
 281                 chunk.push_back(1); // Último carry
 282
 283         return *this;
 284 }
 285
 286 template < typename N, typename E >
 287 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 288 {
 289         number< N, E > tmp = n1;
 290         tmp += n2;
 291         return tmp;
 292 }
 293
 294 template < typename N, typename E >
 295 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 296 {
 297         // minuendo - substraendo
 298         number< N, E > minuend;
 299         number< N, E > subtrahend;
 300
 301         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 302         if (*this < n)
 303         {
 304                 minuend = n;
 305                 subtrahend = *this;
 306                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 307                 minuend.sign = negative;
 308         }
 309         else
 310         {
 311                 minuend = *this;
 312                 subtrahend = n;
 313                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 314                 minuend.sign = positive;
 315         }
 316
 317         size_type ini = 0;
 318         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 319         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 320
 321         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
 322         //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
 323         //no puede ser realmente mayor como cifra
 324         for (i = ini; i < fin; ++i)
 325         {
 326                 // si no alcanza para restar pido prestado
 327                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 328                 {
 329                         minuend.borrow(i);
 330                 }
 331
 332                 // resto el chunk i-ésimo
 333                 minuend.chunk[i] -= subtrahend.chunk[i];
 334         }
 335
 336         //retorno el minuendo ya restado
 337         *this = minuend;
 338         return *this;
 339 }
 340
 341 template < typename N, typename E >
 342 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 343 {
 344         number< N, E > tmp = n1;
 345         tmp -= n2;
 346         return tmp;
 347 }
 348
 349
 350 template < typename N, typename E >
 351 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
 352 {
 353         number< N, E > n1 = *this;
 354         number< N, E > n2 = n;
 355
 356         // igualo los largos
 357         normalize_length(n1, n2);
 358
 359         // obtengo el largo
 360         size_type length = n1.chunk.size();
 361         size_type i = length - 1;
 362
 363         // me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
 364         // sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
 365         while (i > 0)
 366         {
 367                 if (n1[i]<n2[i])
 368                         return true;
 369                 if (n1[i]>n2[i])
 370                         return false;
 371
 372                 i--;
 373         }
 374
 375         // si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
 376         return false;
 377
 378 }
 379
 380 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 381 template < typename N, typename E >
 382 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 383 {
 384         size_type i;
 385         for (i = 0; i < n; i++)
 386         {
 387                 chunk.push_front(0);
 388         }
 389         return *this;
 390 }
 391
 392 template < typename N, typename E >
 393 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 394 {
 395         number< N, E > tmp = n;
 396         tmp <<= m;
 397         return tmp;
 398 }
 399
 400 template < typename N, typename E >
 401 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 402 {
 403         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 404         if (n.sign == positive)
 405                 os << "+ ";
 406         else
 407                 os << "- ";
 408         for (typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 409                         i != n.chunk.rend(); ++i)
 410                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
 411                         << *i << " ";
 412         return os;
 413 }
 414
 415 template < typename N, typename E >
 416 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 417 {
 418         if (sign != n.sign)
 419         {
 420                 return false;
 421         }
 422
 423         size_type ini = 0;
 424         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 425         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 426
 427         // "intersección" entre ambos chunks
 428         // +-----+-----+------+------+
 429         // |     |     |      |      | <--- mio
 430         // +-----+-----+------+------+
 431         // +-----+-----+------+
 432         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 433         // +-----+-----+------+
 434         //
 435         // |------------------|
 436         // Esto se procesa en este for
 437         for (i = ini; i < fin; ++i)
 438         {
 439                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 440                 {
 441                         return false;
 442                 }
 443         }
 444
 445         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 446         // ver si el resto es cero.
 447         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 448         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 449         {
 450                 chunk_grande = &chunk;
 451                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 452         }
 453         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 454         {
 455                 chunk_grande = &n.chunk;
 456                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 457         }
 458         if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 459         {
 460                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 461                 {
 462                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 463                         {
 464                                 return false;
 465                         }
 466                 }
 467         }
 468         return true; // Son iguales
 469 }
 470
 471 template < typename N, typename E >
 472 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 473 {
 474         //number < N, E > r_op = n;
 475         //normalize_length(n);
 476         //n.normalize_length(*this);
 477         *this = naif(*this, n);
 478         return *this;
 479 }
 480
 481 template < typename N, typename E >
 482 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 483 {
 484         return naif(n1, n2);
 485 }
 486
 487 template < typename N, typename E >
 488 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 489 {
 490         typedef number< N, E > num_type;
 491         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 492         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 493         typename num_type::size_type i = 0;
 494
 495         // vacío las mitades
 496         std::pair< num_type, num_type > par;
 497
 498         // la primera mitad va al pedazo inferior
 499         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 500         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 501         {
 502                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 503         }
 504
 505         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 506         // mitad) va al pedazo superior
 507         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 508         for (i++ ; i < full_size; i++)
 509         {
 510                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 511         }
 512         return par;
 513 }
 514
 515
 516 template < typename N, typename E >
 517 void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
 518 {
 519         typedef number< N, E > num_type;
 520         typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
 521
 522         max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
 523
 524         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 525          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 526         t = max;
 527         p = 0;
 528         while (t != 0) {
 529                 t = t >> 1;
 530                 p++;
 531         }
 532
 533         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 534         pot2 = 1 << p;
 535
 536         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 537          * completar sus tamaños. */
 538         while (u.chunk.size() < pot2)
 539                 u.chunk.push_back(0);
 540
 541         while (v.chunk.size() < pot2)
 542                 v.chunk.push_back(0);
 543
 544         return;
 545 }
 546
 547
 548 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 549 template < typename N, typename E >
 550 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 551 {
 552         typedef number< N, E > num_type;
 553
 554         // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
 555         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 556
 557         sign_type sign;
 558
 559         if (u.sign == v.sign) {
 560                 sign = positive;
 561         } else {
 562                 sign = negative;
 563         }
 564
 565         //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
 566
 567         if (chunk_size == 1)
 568         {
 569                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 570                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 571                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 572                  * de N, ni mas ni menos).
 573                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 574                  * buffer. Si, es feo.
 575                  */
 576                 E tmp;
 577                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 578                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 579                 //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
 580                 //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
 581                 return tnum;
 582         }
 583
 584         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 585         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 586
 587         //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 588         //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 589
 590         /* m11 = u1*v1
 591          * m12 = u1*v2
 592          * m21 = u2*v1
 593          * m22 = u2*v2
 594          */
 595         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 596         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 597         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 598         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 599
 600         /*
 601         printf("csize: %d\n", chunk_size);
 602         std::cout << "11 " << m11 << "\n";
 603         std::cout << "12 " << m12 << "\n";
 604         std::cout << "21 " << m21 << "\n";
 605         std::cout << "22 " << m22 << "\n";
 606         */
 607
 608         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 609          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 610          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 611          * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
 612          */
 613         num_type res;
 614         res = m22 << chunk_size;
 615         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 616         res = res + m11;
 617         res.sign = sign;
 618         /*
 619         std::cout << "r: " << res << "\n";
 620         std::cout << "\n";
 621         */
 622         return res;
 623 }
 624
 625
 626 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 627  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 628  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 629  */
 630 template < typename N, typename E >
 631 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 632 {
 633         typedef number< N, E > num_type;
 634
 635         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 636
 637         sign_type sign;
 638
 639         if (u.sign == v.sign) {
 640                 sign = positive;
 641         } else {
 642                 sign = negative;
 643         }
 644
 645         if (chunk_size == 1) {
 646                 E tmp;
 647                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 648                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 649                 return tnum;
 650         }
 651
 652         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 653         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 654
 655         // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
 656         // ocurren algunos mejores!
 657         // m = u1*v1
 658         // d = u2*v2
 659         // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 660         num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
 661         num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
 662         num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
 663                         u12.first + v12.first);
 664
 665         // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
 666         // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
 667         num_type res;
 668         res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
 669         res.sign = sign;
 670         return res;
 671 }
 672
 673
 674 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 675  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 676  */
 677 template < typename N, typename E >
 678 number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 679 {
 680         assert(v.sign == positive);
 681         number< N, E > res, i;
 682
 683         res = u;
 684         res.sign = u.sign;
 685
 686         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 687                 res *= u;
 688         }
 689
 690         return res;
 691 }
 692
 693 /* Potenciacion usando división y conquista.
 694  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 695  *
 696  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 697  * pot(x, y):
 698  *      if y == 1:
 699  *              return x
 700  *      res = pot(x, y/2)
 701  *      res = res * res
 702  *      if y es impar:
 703  *              res = res * x
 704  *      return res
 705  *
 706  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 707  *
 708  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 709  *
 710  *                      1 3
 711  *                   _/  |  \_
 712  *                 _/    |    \_
 713  *                /      |      \
 714  *               6       1       6
 715  *             /   \           /   \
 716  *            /     \         /     \
 717  *           3       3       3       3
 718  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 719  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 720  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 721  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 722  *
 723  */
 724 template < typename N, typename E >
 725 number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 726 {
 727         assert(y.sign == positive);
 728         //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 729         if (y == number< N, E >(1))
 730         {
 731                 std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 732                 return x;
 733         }
 734         number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
 735         //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
 736         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 737         res *= res;
 738         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 739         if (y.es_impar())
 740         {
 741                 //std::cout << y << " es IMPAR => ";
 742                 res *= x; // Multiplico por el x que falta
 743                 //std::cout << "res = " << res << "\n";
 744         }
 745         //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
 746         return res;
 747 }
 748