#define max _cpp_max
#endif
+#ifdef DEBUG
+#include <iostream>
+#endif
+
#include <deque>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
+#include <string>
+#include <sstream>
+#include <cassert>
+
+#ifdef _WIN32
+// VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
+#include "stdint.h"
+#else
#include <stdint.h>
+#endif
enum sign_type { positive, negative };
// Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
// menos un elemento).
// Constructor default (1 'átomo con valor 0)
- number(): chunk(1, 0) {}
+ number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
// Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
// Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
// (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
- number(native_type* buf, size_type len, sign_type sign = positive):
- chunk(buf, buf + len), sign(sign)
+ number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
+ chunk(buf, buf + len), sign(s)
{
fix_empty();
}
// Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
// del chunk). Copia una vez N en el vector.
- number(native_type n, sign_type sign = positive):
- chunk(1, n), sign(sign) {}
+ number(native_type n, sign_type s = positive):
+ chunk(1, n), sign(s) {}
- // TODO constructor a partir de string.
+ number(std::string str);
// Operadores
number& operator++ ()
return *this;
}
- number& operator+= (const number& n);
- number& operator*= (const number& n);
+ number& operator+= (const number& n);
+ number& operator*= (const number& n);
number& operator<<= (const size_type n);
+ number& operator-= (const number& n);
+ bool operator== (const number& n) const;
+ bool operator< (const number& n) const;
+
+ // Compara si es menor en módulo.
+ bool menorEnModuloQue(const number& n) const;
// Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
// si la multiplicación es un método de este objeto).
- native_type& operator[] (size_type i) {
+ native_type& operator[] (size_type i)
+ {
return chunk[i];
}
template < typename NN, typename EE >
friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
- private:
// Atributos
- chunk_type chunk;
+ //private:
+ mutable chunk_type chunk;
sign_type sign;
// Helpers
- // Normaliza las longitudes de 2 numbers, completando con 0s a la izquierda
- // al más pequeño. Sirve para División y Conquista
- number& normalize_length(const number& n);
// parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
// números con (low, high)
std::pair< number, number > split() const;
else
chunk.push_back(1);
}
+ // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i
+ // propagando borrow)
+ void borrow(size_type i)
+ {
+ // para poder pedir prestado debo tener uno a la izquierda
+ assert (chunk.size() >= i);
+
+ if (chunk[i] == 0)
+ {
+ borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
+ chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
+ }
+ else
+ {
+ --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
+ }
+ }
+ // Verifica si es un número par
+ bool es_impar() const
+ {
+ return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
+ }
+ // Divide por 2.
+ number dividido_dos() const
+ {
+ number n = *this;
+ bool lsb = 0; // bit menos significativo
+ bool msb = 0; // bit más significativo
+ for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+ i != n.chunk.rend(); ++i)
+ {
+ lsb = *i & 1; // bit menos significativo
+ *i >>= 1; // shift
+ // seteo bit más significativo de ser necesario
+ if (msb)
+ *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
+ msb = lsb;
+ }
+ return n;
+ }
};
+inline unsigned ascii2uint(char c)
+{
+ return c & 0xF;
+}
+
+// Convierte pasando el string a forma polinómica y evalúa el polinómio
+// utilizando la regla de Horner:
+// Polinomio: str[0] * 10^0 ... str[size-1] * 10^(size-1)
+// Paso inicial: *this = str[0]; z = 10; i = n-1
+// Paso iterativo: *this = *this * z + str[i-1]; i--
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >::number(std::string str):
+ chunk(1, 0), sign(positive)
+{
+ if (!str.size())
+ return; // Si está vacío, no hace nada
+
+ number< N, E > diez = 10u;
+ std::string::size_type i = 0;
+ std::string::size_type fin = str.size() - 1;
+ if (str[0] == '-') // Si es negativo, salteo el primer caracter
+ ++i;
+ chunk[0] = ascii2uint(str[i]);
+ while (i < fin)
+ {
+ *this = *this * diez + number< N, E >(ascii2uint(str[i+1]));
+ ++i;
+ }
+ if (str[0] == '-') // Si es negativo, le pongo el signo
+ sign = negative;
+}
+
template < typename N, typename E >
number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
{
+ // Si tienen distinto signo, restamos...
+ if (sign != n.sign)
+ {
+ if (sign == positive) // n es negativo
+ {
+ number< N, E > tmp = n;
+ tmp.sign = positive;
+ *this -= tmp;
+ }
+ else // n es positivo, yo negativo
+ {
+ sign = positive;
+ *this = n - *this;
+ }
+ return *this;
+ }
+
native_type c = 0;
size_type ini = 0;
size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
{
chunk[i] += n.chunk[i] + c;
if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
+ ( c && ((n.chunk[i] + c) == 0)) || \
( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
c = 1; // Overflow
else
return tmp;
}
-// efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
+{
+ // minuendo - substraendo
+ number< N, E > minuend;
+ number< N, E > subtrahend;
+
+ // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
+ if (menorEnModuloQue(n))
+ {
+ minuend = n;
+ subtrahend = *this;
+ //minuendo < sustraendo => resultado negativo
+ minuend.sign = negative;
+ }
+ else
+ {
+ minuend = *this;
+ subtrahend = n;
+ //minuendo > sustraendo => resultado positivo
+ minuend.sign = positive;
+ }
+
+ size_type ini = 0;
+ size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
+ size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+ //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el
+ //size del menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que
+ //esté lleno de 0's pero no puede ser realmente mayor como cifra
+ for (i = ini; i < fin; ++i)
+ {
+ // si no alcanza para restar pido prestado
+ if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
+ {
+ // no puedo pedir si soy el más significativo ...
+ assert (i != fin);
+
+ // le pido uno al que me sigue
+ minuend.borrow(i+1);
+ }
+
+ // es como hacer 24-5: el 4 pide prestado al 2 (borrow(i+1)) y
+ // después se hace 4 + (9-5) + 1
+
+ minuend.chunk[i] += (~((N)0) - subtrahend.chunk[i]) + 1;
+ }
+
+ //retorno el minuendo ya restado
+ *this = minuend;
+ return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+ number< N, E > tmp = n1;
+ tmp -= n2;
+ return tmp;
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n) const
+{
+ if (sign != n.sign)
+ {
+ if (sign == positive) // yo positivo, n negativo
+ return false; // yo soy más grande
+ else // yo negagivo, n positivo
+ return true; // n es más grande
+ }
+
+ if (sign == negative) // Si comparamos 2 negativos, usamos
+ return !menorEnModuloQue(n); // "lógica inversa"
+ else
+ return menorEnModuloQue(n);
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::menorEnModuloQue(const number< N, E >& n) const
+{
+ size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+ if (chunk.size() > n.chunk.size()) // yo tengo más elementos
+ {
+ // Recorro los bytes más significativos (que tengo sólo yo)
+ for (i = n.chunk.size(); i < chunk.size(); ++i)
+ {
+ if (chunk[i] != 0) // Si tengo algo distinto a 0
+ {
+ return false; // Entonces soy más grande
+ }
+ }
+ }
+ else if (chunk.size() < n.chunk.size()) // n tiene más elementos
+ {
+ // Recorro los bytes más significativos (que tiene sólo n)
+ for (i = chunk.size(); i < n.chunk.size(); ++i)
+ {
+ if (chunk[i] != 0) // Si n tiene algo distinto a 0
+ {
+ return true; // Entonces soy más chico
+ }
+ }
+ }
+ // sigo con la intersección de ambos
+ size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+ i = fin;
+ while (i != 0) {
+ --i;
+
+ if (chunk[i] < n.chunk[i]) // Si es menor
+ {
+ return true;
+ }
+ else if (chunk[i] > n.chunk[i]) // Si es mayor
+ {
+ return false;
+ }
+ // Si es igual tengo que seguir viendo
+ }
+
+ return false; // Son iguales
+}
+
+
+// efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros
+// menos significativos
template < typename N, typename E >
number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
{
return tmp;
}
-template < typename N, typename E >
-std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
+// Este es un 'workarround' HORRIBLE, de lo peor que hicimos en nuestras vidas,
+// pero realmente no encontramos manera alguna de convertir un número a un
+// string decimal que no requiera de divisiones sucesivas. Para no cambiar la
+// semántica del programa, decidimos convertir externamente nuestra salida en
+// hexadecimal a decimal utilizando un programa externo (en este caso Python
+// porque sabemos que está disponible en el laboratorio B).
+//
+// Estamos realmente avergonzados de haber tenido que llegar a esto, pero no nos
+// imaginamos que iba a sernos tan compleja esta conversión. Y nuevamente
+// pedimos disculpas.
+template < typename NN, typename EE >
+std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE >& n)
{
- // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
- for (typename number< N, E >::const_iterator i = n.chunk.begin();
- i != n.chunk.end(); ++i)
- os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
- << *i << " ";
+ std::string cmd = "python -c 'print ";
+ if (n.sign == negative)
+ cmd += '-';
+ cmd += "0x" + numberToHex(n) + "'";
+
+ char buf[BUFSIZ];
+ FILE *ptr;
+
+ if ((ptr = popen(cmd.c_str(), "r")) != NULL)
+ while (fgets(buf, BUFSIZ, ptr) != NULL)
+ os << buf;
+ pclose(ptr);
return os;
}
template < typename N, typename E >
-number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
+std::string numberToHex(const number< N, E >& n)
{
- number < N, E > r_op = n;
- normalize_length(n);
- n.normalize_length(*this);
- *this = divide_n_conquer(*this, n);
- return *this;
+ std::ostringstream os;
+ typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+ typename number< N, E >::const_reverse_iterator end = n.chunk.rend();
+ // Salteo ceros
+ for (; i != end; ++i)
+ if (*i != 0)
+ break;
+ if (i != end) // Si no llegué al final, imprimo sin 'leading zeros'
+ {
+ os << std::hex << *i;
+ ++i; // y voy al próximo
+ }
+ // imprimo el resto con 'leading zeros'
+ for (; i != end; ++i)
+ os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
+ << *i;
+ return os.str();
}
template < typename N, typename E >
-number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+std::string numberToHexDebug(const number< N, E >& n)
{
- number< N, E > tmp = n1;
- tmp *= n2;
- return tmp;
+ std::ostringstream os;
+ // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
+ if (n.sign == negative)
+ os << "-";
+ typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+ typename number< N, E >::const_reverse_iterator end = n.chunk.rend();
+ for (; i != end; ++i)
+ os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
+ << *i << " ";
+ return os.str();
}
template < typename N, typename E >
-number< N, E >& number< N, E >::normalize_length(const number< N, E >& n)
+bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
{
- // si son de distinto tamaño tengo que agregar ceros a la izquierda al
- // menor para división y conquista
- while (chunk.size() < n.chunk.size())
+ if (sign != n.sign)
+ {
+ return false;
+ }
+
+ size_type ini = 0;
+ size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+ size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+ // "intersección" entre ambos chunks
+ // +-----+-----+------+------+
+ // | | | | | <--- mio
+ // +-----+-----+------+------+
+ // +-----+-----+------+
+ // | | | | <--- chunk de n
+ // +-----+-----+------+
+ //
+ // |------------------|
+ // Esto se procesa en este for
+ for (i = ini; i < fin; ++i)
{
- chunk.push_back(0);
+ if (chunk[i] != n.chunk[i])
+ {
+ return false;
+ }
}
- // si no tiene cantidad par de números le agrego un atomic_type 0 a la
- // izquierda para no tener que contemplar splits de chunks impares
- if ((chunk.size() % 2) != 0)
+ // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
+ // ver si el resto es cero.
+ chunk_type const *chunk_grande = 0;
+ if (chunk.size() > n.chunk.size())
+ {
+ chunk_grande = &chunk;
+ fin = chunk.size() - n.chunk.size();
+ }
+ else if (chunk.size() < n.chunk.size())
{
- chunk.push_back(0);
+ chunk_grande = &n.chunk;
+ fin = n.chunk.size() - chunk.size();
}
+
+ // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
+ if (chunk_grande)
+ {
+ for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
+ {
+ if ((*chunk_grande)[i] != 0)
+ {
+ return false;
+ }
+ }
+ }
+ return true; // Son iguales
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
+{
+ *this = naif(*this, n);
+ return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+ return naif(n1, n2);
}
template < typename N, typename E >
std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
{
+ assert(chunk.size() > 1);
typedef number< N, E > num_type;
typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
return par;
}
-// es el algoritmo de división y conquista, que se llama recursivamente
+
+// Lleva los tamaños de chunk a la potencia de 2 más cercana, eliminando o
+// agregando ceros.
template < typename N, typename E >
-number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+void normalize_length(const number< N, E >& u, const number< N, E >& v)
+{
+ typename number< N, E >::size_type max, p, t, pot2, size_u, size_v;
+
+ // Busco el primer chunk no nulo de u
+ for (size_u = u.chunk.size() - 1; size_u != 0; --size_u)
+ if (u.chunk[size_u] != 0)
+ break;
+ size_u++;
+
+ // Busco el primer chunk no nulo de v
+ for (size_v = v.chunk.size() - 1; size_v != 0; --size_v)
+ if (v.chunk[size_v] != 0)
+ break;
+ size_v++;
+
+ max = std::max(size_u, size_v);
+
+ /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
+ * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
+ t = max;
+ p = 0;
+ while ((1u << p) < max)
+ p++;
+
+ /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
+ pot2 = 1 << p;
+
+ /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
+ * completar sus tamaños. */
+ u.chunk.resize(pot2, 0);
+ v.chunk.resize(pot2, 0);
+}
+
+
+/* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
{
typedef number< N, E > num_type;
- // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
+ normalize_length(u, v);
+
+ /* como acabo de normalizar los tamaños son iguales */
typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+ sign_type sign;
+
+ if (u.sign == v.sign) {
+ sign = positive;
+ } else {
+ sign = negative;
+ }
+
if (chunk_size == 1)
{
- // condición de corte. Ver que por más que tenga 1 único
- // elemento puede "rebalsar" la capacidad del atomic_type,
- // como ser multiplicando 0xff * 0xff usando bytes!!!
- return u.chunk[0] * v.chunk[0];
+ /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
+ * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
+ * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
+ * de N, ni mas ni menos).
+ * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
+ * buffer. Si, es feo.
+ */
+ E tmp;
+ tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+ num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+ return tnum;
+ }
+
+ std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
+ std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+
+ /* m11 = u1*v1
+ * m12 = u1*v2
+ * m21 = u2*v1
+ * m22 = u2*v2
+ */
+ num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
+ num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
+ num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
+ num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
+
+ /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
+ * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
+ * = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
+ */
+ num_type res;
+ res = m22 << chunk_size;
+ res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
+ res = res + m11;
+ res.sign = sign;
+ return res;
+}
+
+
+/* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
+ * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
+ * los calculos numericos que se especifican debajo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+ typedef number< N, E > num_type;
+
+ normalize_length(u, v);
+
+ typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+
+ sign_type sign;
+
+ if (u.sign == v.sign) {
+ sign = positive;
+ } else {
+ sign = negative;
+ }
+
+ if (chunk_size == 1) {
+ E tmp;
+ tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+ num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+ return tnum;
}
std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
- // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
- // ocurren algunos mejores!
- // m = u1*v1
- // d = u2*v2
- // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
- num_type m = karastuba(u12.first, v12.first);
- num_type d = karastuba(u12.second, v12.second);
- num_type h = karastuba(u12.first + v12.first,
- u12.second + v12.second);
+ /* Aca esta la gracia de toda la cuestion:
+ * m = u1*v1
+ * d = u2*v2
+ * h = (u1+u2)*(v1+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
+ *
+ * h - d - m = u1*v2+u2*v1
+ * u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^(N/2) + u2*v2
+ * m << base^N + (h - d - m) << base^(N/2) + d
+ */
+ num_type m = karatsuba(u12.first, v12.first);
+ num_type d = karatsuba(u12.second, v12.second);
+
+ num_type sumfst = u12.first + u12.second;
+ num_type sumsnd = v12.first + v12.second;
+ num_type h = karatsuba(sumfst, sumsnd);
+
+ num_type res, tmp;
+
+ /* tmp = h - d - m */
+ normalize_length(h, d);
+ tmp = h - d;
+ normalize_length(tmp, m);
+ tmp = tmp - m;
+
+ /* Resultado final */
+ res = d << chunk_size;
+ res += tmp << (chunk_size / 2);
+ res += m;
+ res.sign = sign;
+
+ return res;
+}
+
+
+/* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > pot_ko(number< N, E > &u, number< N, E > &v)
+{
+ assert(v.sign == positive);
+ number< N, E > res, i;
+
+ res = u;
+ res.sign = u.sign;
+
+ for (i = 1; i < v; i += 1) {
+ res = karatsuba(res, u);
+ }
+
+ return res;
+}
- // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
- // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
- return (m << chunk_size) + ((h - d - m) << chunk_size / 2) + h;
+/* Potenciacion usando división y conquista.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ *
+ * El pseudocódigo del algoritmo es:
+ * pot(x, y):
+ * if y == 1:
+ * return x
+ * res = pot(x, y/2)
+ * res = res * res
+ * if y es impar:
+ * res = res * x
+ * return res
+ *
+ * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
+ *
+ * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
+ *
+ * 1 3
+ * _/ | \_
+ * _/ | \_
+ * / | \
+ * 6 1 6
+ * / \ / \
+ * / \ / \
+ * 3 3 3 3
+ * /|\ /|\ /|\ /|\
+ * 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
+ * / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
+ * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ *
+ */
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > pot_dyc_n(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
+{
+ assert(y.sign == positive);
+ if (y == number< N, E >(1))
+ {
+ return x;
+ }
+ number< N, E > res = pot_dyc_n(x, y.dividido_dos());
+ res = naif(res, res);
+ if (y.es_impar())
+ {
+ res = naif(res, x); // Multiplico por el x que falta
+ }
+ return res;
+}
+/* Idem que pot_dyc_n(), pero usa karatsuba() para las multiplicaciones. */
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > pot_dyc_k(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
+{
+ assert(y.sign == positive);
+ if (y == number< N, E >(1))
+ {
+ return x;
+ }
+ number< N, E > res = pot_dyc_k(x, y.dividido_dos());
+ res = karatsuba(res, res);
+ if (y.es_impar())
+ {
+ res = karatsuba(res, x);
+ }
+ return res;
}
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