Bugfix en normalize_length() (usaba una potencia más de la necesaria).

[z.facultad/75.29/dale.git] / src / number.h

diff --git a/src/number.h b/src/number.h
index 4a520291b233cd9532a541d77f2a1dee7c0c0783..71705cc9512a61b0430d7fb69b43a48094d438ff 100644 (file)
--- a/src/number.h
+++ b/src/number.h
@@ -4,14 +4,35 @@
 #define max _cpp_max
 #endif
 
 #define max _cpp_max
 #endif
 

+#ifdef DEBUG
+#include <iostream>
+#endif
+

 #include <deque>
 #include <utility>
 #include <algorithm>
 #include <deque>
 #include <utility>
 #include <algorithm>

-#include <iterator>
+#include <iomanip>
+#include <cassert>
+
+#ifdef _WIN32
+// VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
+#include "stdint.h"
+#else
+#include <stdint.h>
+#endif
+
+enum sign_type { positive, negative };
+

 
 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  * se haran las operaciones mas basicas. */
 
 
 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  * se haran las operaciones mas basicas. */
 

+template < typename N, typename E >
+struct number;
+
+template < typename N, typename E >
+std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
+

 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
 struct number
 {
 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
 struct number
 {


@@ -19,7 +40,6 @@ struct number
        // Tipos
        typedef N native_type;
        typedef E extended_type;
        // Tipos
        typedef N native_type;
        typedef E extended_type;

-       enum sign_type { positive, negative };

        typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
        typedef typename chunk_type::size_type size_type;
        typedef typename chunk_type::iterator iterator;
        typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
        typedef typename chunk_type::size_type size_type;
        typedef typename chunk_type::iterator iterator;


@@ -30,23 +50,23 @@ struct number
        // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
        // menos un elemento).
        // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
        // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
        // menos un elemento).
        // Constructor default (1 'átomo con valor 0)

-       number(): chunk(1, 0) {}
+       number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}

 
        // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
        // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
        // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
 
        // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
        // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
        // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])

-       number(native_type* buf, size_type len, sign_type sign = positive):
-               chunk(buf, buf + len), sign(sign)
+       number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
+               chunk(buf, buf + len), sign(s)

        {
                fix_empty();
        }
 
        // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
        // del chunk). Copia una vez N en el vector.
        {
                fix_empty();
        }
 
        // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
        // del chunk). Copia una vez N en el vector.

-       number(native_type n, sign_type sign = positive):
-               chunk(1, n), sign(sign) {}
+       number(native_type n, sign_type s = positive):
+               chunk(1, n), sign(s) {}

 
 

-       // TODO constructor a partir de string.
+       number(const std::string& str);

 
        // Operadores
        number& operator++ ()
 
        // Operadores
        number& operator++ ()


@@ -58,10 +78,14 @@ struct number
        number& operator+= (const number& n);
        number& operator*= (const number& n);
        number& operator<<= (const size_type n);
        number& operator+= (const number& n);
        number& operator*= (const number& n);
        number& operator<<= (const size_type n);

+       number& operator-= (const number& n);
+       bool    operator< (const number& n);
+       bool    operator==(const number& n) const;

 
        // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
        // si la multiplicación es un método de este objeto).
 
        // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
        // si la multiplicación es un método de este objeto).

-       native_type& operator[] (size_type i) {
+       native_type& operator[] (size_type i)
+       {

                return chunk[i];
        }
 
                return chunk[i];
        }
 


@@ -75,15 +99,16 @@ struct number
        const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
        const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 
        const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
        const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 

-       private:
+       // Friends
+       template < typename NN, typename EE >
+       friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
+

        // Atributos
        // Atributos

+       //private:

        chunk_type chunk;
        sign_type sign;
 
        // Helpers
        chunk_type chunk;
        sign_type sign;
 
        // Helpers

-       // Normaliza las longitudes de 2 numbers, completando con 0s a la izquierda
-       // al más pequeño. Sirve para División y Conquista
-       number& normalize_length(const number& n);

        // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
        // números con (low, high)
        std::pair< number, number > split() const;
        // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
        // números con (low, high)
        std::pair< number, number > split() const;


@@ -103,12 +128,97 @@ struct number
                else
                        chunk.push_back(1);
        }
                else
                        chunk.push_back(1);
        }

+       // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
+       // borrow)
+       void borrow(size_type i)
+       {
+               if (chunk.size() >= i)
+               {
+                       if (chunk[i] == 0)
+                       {
+                               borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
+                               chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
+                       }
+                       else
+                       {
+                               --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
+                       }
+               }
+               //else ERROR, están haciendo a-b con a>b
+       }
+       // Verifica si es un número par
+       bool es_impar() const
+       {
+               return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
+       }
+       // Divide por 2.
+       number dividido_dos() const
+       {
+               number n = *this;
+               bool lsb = 0; // bit menos significativo
+               bool msb = 0; // bit más significativo
+               for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+                               i != n.chunk.rend(); ++i)
+               {
+                       lsb = *i & 1; // bit menos significativo
+                       *i >>= 1;     // shift
+                       // seteo bit más significativo de ser necesario
+                       if (msb)
+                               *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
+                       msb = lsb;
+               }
+               return n;
+       }

 
 };
 
 
 };
 

+template < typename N, typename E >
+number< N, E >::number(const std::string& origen)
+{
+       const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
+       E increment = 0;
+       E acum = 0;
+
+       unsigned length = origen.length();
+       unsigned number_offset = 0;
+
+       while (number_offset<length)
+       {
+               // si encuentro un signo + ó - corto
+               if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
+                       break;
+
+               increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
+               if ((acum + increment) > MAX_N)
+               {
+                       chunk.push_back(acum);
+               }
+
+       }
+
+
+}
+

 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 {
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 {

+       // Si tienen distinto signo, restamos...
+       if (sign != n.sign)
+       {
+               if (sign == positive) // n es negativo
+               {
+                       number< N, E > tmp = n;
+                       tmp.sign = positive;
+                       *this -= tmp;
+               }
+               else // n es positivo, yo negativo
+               {
+                       sign = positive;
+                       *this = n - *this;
+               }
+               return *this;
+       }
+

        native_type c = 0;
        size_type ini = 0;
        size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
        native_type c = 0;
        size_type ini = 0;
        size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());


@@ -181,6 +291,92 @@ number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
        return tmp;
 }
 
        return tmp;
 }
 

+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
+{
+       // minuendo - substraendo
+       number< N, E > minuend;
+       number< N, E > subtrahend;
+
+       // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
+       if (*this < n)
+       {
+               minuend = n;
+               subtrahend = *this;
+               //minuendo < sustraendo => resultado negativo
+               minuend.sign = negative;
+       }
+       else
+       {
+               minuend = *this;
+               subtrahend = n;
+               //minuendo > sustraendo => resultado positivo
+               minuend.sign = positive;
+       }
+
+       size_type ini = 0;
+       size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
+       size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+       //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
+       //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
+       //no puede ser realmente mayor como cifra
+       for (i = ini; i < fin; ++i)
+       {
+               // si no alcanza para restar pido prestado
+               if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
+               {
+                       minuend.borrow(i);
+               }
+               
+               // resto el chunk i-ésimo
+               minuend.chunk[i] -= subtrahend.chunk[i];
+       }
+
+       //retorno el minuendo ya restado
+       *this = minuend;
+       return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+       number< N, E > tmp = n1;
+       tmp -= n2;
+       return tmp;
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
+{
+       number< N, E > n1 = *this;
+       number< N, E > n2 = n;
+
+       // igualo los largos
+       normalize_length(n1, n2);
+
+       // obtengo el largo
+       size_type length = n1.chunk.size();
+       size_type i = length - 1;
+
+       // me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
+       // sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
+       while (i > 0)
+       {
+               if (n1[i]<n2[i])
+                       return true;
+               if (n1[i]>n2[i])
+                       return false;
+
+               i--;
+       }
+
+       // si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
+       return false;
+
+}
+

 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)


@@ -205,44 +401,87 @@ template < typename N, typename E >
 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 {
        // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 {
        // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)

-       std::copy(n.begin(), n.end(), std::ostream_iterator< N >(os, " "));
+       if (n.sign == positive)
+               os << "+ ";
+       else
+               os << "- ";
+       for (typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+                       i != n.chunk.rend(); ++i)
+               os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
+                       << *i << " ";

        return os;
 }
 
 template < typename N, typename E >
        return os;
 }
 
 template < typename N, typename E >

-number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
+bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const

 {
 {

-       number < N, E > r_op = n;
-       normalize_length(n);
-       n.normalize_length(*this);
-       *this = divide_n_conquer(*this, n);
-       return *this;
+       if (sign != n.sign)
+       {
+               return false;
+       }
+
+       size_type ini = 0;
+       size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+       size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+       // "intersección" entre ambos chunks
+       // +-----+-----+------+------+
+       // |     |     |      |      | <--- mio
+       // +-----+-----+------+------+
+       // +-----+-----+------+
+       // |     |     |      |        <--- chunk de n
+       // +-----+-----+------+
+       //
+       // |------------------|
+       // Esto se procesa en este for
+       for (i = ini; i < fin; ++i)
+       {
+               if (chunk[i] != n.chunk[i])
+               {
+                       return false;
+               }
+       }
+
+       // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
+       // ver si el resto es cero.
+       chunk_type const *chunk_grande = 0;
+       if (chunk.size() > n.chunk.size())
+       {
+               chunk_grande = &chunk;
+               fin = chunk.size() - n.chunk.size();
+       }
+       else if (chunk.size() < n.chunk.size())
+       {
+               chunk_grande = &n.chunk;
+               fin = n.chunk.size() - chunk.size();
+       }
+       if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
+       {
+               for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
+               {
+                       if ((*chunk_grande)[i] != 0)
+                       {
+                               return false;
+                       }
+               }
+       }
+       return true; // Son iguales

 }
 
 template < typename N, typename E >
 }
 
 template < typename N, typename E >

-number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)

 {
 {

-       number< N, E > tmp = n1;
-       tmp *= n2;
-       return tmp;
+       //number < N, E > r_op = n;
+       //normalize_length(n);
+       //n.normalize_length(*this);
+       *this = naif(*this, n);
+       return *this;

 }
 
 template < typename N, typename E >
 }
 
 template < typename N, typename E >

-number< N, E >& number< N, E >::normalize_length(const number< N, E >& n)
+number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)

 {
 {

-       // si son de distinto tamaño tengo que agregar ceros a la izquierda al
-       // menor para división y conquista
-       while (chunk.size() < n.chunk.size())
-       {
-               chunk.push_back(0);
-       }
-
-       // si no tiene cantidad par de números le agrego un atomic_type 0 a la
-       // izquierda para no tener que contemplar splits de chunks impares
-       if ((chunk.size() % 2) != 0)
-       {
-               chunk.push_back(0);
-       }
+       return naif(n1, n2);

 }
 
 template < typename N, typename E >
 }
 
 template < typename N, typename E >


@@ -257,35 +496,157 @@ std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
        std::pair< num_type, num_type > par;
 
        // la primera mitad va al pedazo inferior
        std::pair< num_type, num_type > par;
 
        // la primera mitad va al pedazo inferior

-       for (i = 0; i < halves_size; i++)
+       par.first.chunk[0] = chunk[0];
+       for (i = 1; i < halves_size; i++)

        {
                par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
        }
 
        // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
        // mitad) va al pedazo superior
        {
                par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
        }
 
        // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
        // mitad) va al pedazo superior

-       for ( ; i < full_size; i++)
+       par.second.chunk[0] = chunk[i];
+       for (i++ ; i < full_size; i++)

        {
                par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
        }
        return par;
 }
 
        {
                par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
        }
        return par;
 }
 

-// es el algoritmo de división y conquista, que se llama recursivamente
+

 template < typename N, typename E >
 template < typename N, typename E >

-number < N, E > divide_n_conquer(number< N, E > u, number< N, E > v)
+void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
+{
+       typedef number< N, E > num_type;
+       typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
+
+       max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
+
+       /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
+        * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
+       t = max;
+       p = 0;
+       while (t != 0) {
+               t = t >> 1;
+               p++;
+       }
+
+       /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
+       pot2 = 1 << p;
+
+       /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
+        * completar sus tamaños. */
+       while (u.chunk.size() < pot2)
+               u.chunk.push_back(0);
+
+       while (v.chunk.size() < pot2)
+               v.chunk.push_back(0);
+
+       return;
+}
+
+
+/* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)

 {
        typedef number< N, E > num_type;
 
        // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
        typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 
 {
        typedef number< N, E > num_type;
 
        // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
        typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 

+       sign_type sign;
+
+       if (u.sign == v.sign) {
+               sign = positive;
+       } else {
+               sign = negative;
+       }
+
+       //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
+

        if (chunk_size == 1)
        {
        if (chunk_size == 1)
        {

-               // condición de corte. Ver que por más que tenga 1 único
-               // elemento puede "rebalsar" la capacidad del atomic_type,
-               // como ser multiplicando 0xff * 0xff usando bytes!!!
-               return u.chunk[0] * v.chunk[0];
+               /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
+                * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
+                * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
+                * de N, ni mas ni menos).
+                * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
+                * buffer. Si, es feo.
+                */
+               E tmp;
+               tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+               num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+               //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
+               //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
+               return tnum;
+       }
+
+       std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
+       std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+
+       //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
+       //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
+
+       /* m11 = u1*v1
+        * m12 = u1*v2
+        * m21 = u2*v1
+        * m22 = u2*v2
+        */
+       num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
+       num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
+       num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
+       num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
+
+       /*
+       printf("csize: %d\n", chunk_size);
+       std::cout << "11 " << m11 << "\n";
+       std::cout << "12 " << m12 << "\n";
+       std::cout << "21 " << m21 << "\n";
+       std::cout << "22 " << m22 << "\n";
+       */
+
+       /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
+        * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
+        *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
+        * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
+        */
+       num_type res;
+       res = m22 << chunk_size;
+       res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
+       res = res + m11;
+       res.sign = sign;
+       /*
+       std::cout << "r: " << res << "\n";
+       std::cout << "\n";
+       */
+       return res;
+}
+
+
+/* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
+ * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
+ * los calculos numericos que se especifican debajo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+       typedef number< N, E > num_type;
+
+       typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+
+       sign_type sign;
+
+       if (u.sign == v.sign) {
+               sign = positive;
+       } else {
+               sign = negative;
+       }
+
+       if (chunk_size == 1) {
+               E tmp;
+               tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+               num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+               return tnum;

        }
 
        std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
        }
 
        std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();


@@ -296,14 +657,92 @@ number < N, E > divide_n_conquer(number< N, E > u, number< N, E > v)
        // m = u1*v1
        // d = u2*v2
        // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
        // m = u1*v1
        // d = u2*v2
        // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2

-       num_type m = divide_n_conquer(u12.first, v12.first);
-       num_type d = divide_n_conquer(u12.second, v12.second);
-       num_type h = divide_n_conquer(u12.first + v12.first,
-                       u12.second + v12.second);
+       num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
+       num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
+       num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
+                       u12.first + v12.first);

 
        // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
        // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
 
        // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
        // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2

-       return (m << chunk_size) + ((h - d - m) << chunk_size / 2) + h;
+       num_type res;
+       res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
+       res.sign = sign;
+       return res;
+}
+
+
+/* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+       assert(v.sign == positive);
+       number< N, E > res, i;

 
 

+       res = u;
+       res.sign = u.sign;
+
+       for (i = 1; i < v; i += 1) {
+               res *= u;
+       }
+
+       return res;
+}
+
+/* Potenciacion usando división y conquista.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ *
+ * El pseudocódigo del algoritmo es:
+ * pot(x, y):
+ *     if y == 1:
+ *             return x
+ *     res = pot(x, y/2)
+ *     res = res * res
+ *     if y es impar:
+ *             res = res * x
+ *     return res
+ *
+ * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
+ *
+ * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
+ *
+ *                      1 3
+ *                   _/  |  \_
+ *                 _/    |    \_
+ *                /      |      \
+ *               6       1       6
+ *             /   \           /   \
+ *            /     \         /     \
+ *           3       3       3       3
+ *          /|\     /|\     /|\     /|\
+ *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
+ *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
+ *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ *
+ */
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
+{
+       assert(y.sign == positive);
+       //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+       if (y == number< N, E >(1))
+       {
+               std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+               return x;
+       }
+       number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
+       //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
+       //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       res *= res;
+       //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       if (y.es_impar())
+       {
+               //std::cout << y << " es IMPAR => ";
+               res *= x; // Multiplico por el x que falta
+               //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       }
+       //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
+       return res;

 }
 
 }