Acomodar ambas multiplicaciones.

[z.facultad/75.29/dale.git] / src / number.h

diff --git a/src/number.h b/src/number.h
index 57fb1b82eff9ba76065fb468fa18859d3a1a9df9..6980c1fb2f9aea7a069ccb705057399c2d99c648 100644 (file)
--- a/src/number.h
+++ b/src/number.h
@@ -4,11 +4,22 @@
 #define max _cpp_max
 #endif
 
 #define max _cpp_max
 #endif
 

+#ifdef DEBUG
+#include <iostream>
+#endif
+

 #include <deque>
 #include <utility>
 #include <algorithm>
 #include <iomanip>
 #include <deque>
 #include <utility>
 #include <algorithm>
 #include <iomanip>

+#include <cassert>
+
+#ifdef _WIN32
+// VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
+#include "stdint.h"
+#else

 #include <stdint.h>
 #include <stdint.h>

+#endif

 
 enum sign_type { positive, negative };
 
 
 enum sign_type { positive, negative };
 


@@ -39,23 +50,23 @@ struct number
        // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
        // menos un elemento).
        // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
        // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
        // menos un elemento).
        // Constructor default (1 'átomo con valor 0)

-       number(): chunk(1, 0) {}
+       number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}

 
        // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
        // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
        // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
 
        // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
        // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
        // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])

-       number(native_type* buf, size_type len, sign_type sign = positive):
-               chunk(buf, buf + len), sign(sign)
+       number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
+               chunk(buf, buf + len), sign(s)

        {
                fix_empty();
        }
 
        // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
        // del chunk). Copia una vez N en el vector.
        {
                fix_empty();
        }
 
        // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
        // del chunk). Copia una vez N en el vector.

-       number(native_type n, sign_type sign = positive):
-               chunk(1, n), sign(sign) {}
+       number(native_type n, sign_type s = positive):
+               chunk(1, n), sign(s) {}

 
 

-       // TODO constructor a partir de string.
+       number(const std::string& str);

 
        // Operadores
        number& operator++ ()
 
        // Operadores
        number& operator++ ()


@@ -64,9 +75,12 @@ struct number
                return *this;
        }
 
                return *this;
        }
 

-       number& operator+= (const number& n);
-       number& operator*= (const number& n);
+       number& operator+=  (const number& n);
+       number& operator*=  (const number& n);

        number& operator<<= (const size_type n);
        number& operator<<= (const size_type n);

+       number& operator-=  (const number& n);
+       bool    operator<   (const number& n) const;
+       bool    operator==  (const number& n) const;

 
        // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
        // si la multiplicación es un método de este objeto).
 
        // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
        // si la multiplicación es un método de este objeto).


@@ -91,13 +105,10 @@ struct number
 
        // Atributos
        //private:
 
        // Atributos
        //private:

-       chunk_type chunk;
+       mutable chunk_type chunk;

        sign_type sign;
 
        // Helpers
        sign_type sign;
 
        // Helpers

-       // Normaliza las longitudes de 2 numbers, completando con 0s a la izquierda
-       // al más pequeño. Sirve para División y Conquista
-       number& normalize_length(const number& n);

        // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
        // números con (low, high)
        std::pair< number, number > split() const;
        // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
        // números con (low, high)
        std::pair< number, number > split() const;


@@ -117,12 +128,96 @@ struct number
                else
                        chunk.push_back(1);
        }
                else
                        chunk.push_back(1);
        }

+       // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
+       // borrow)
+       void borrow(size_type i)
+       {
+               // para poder pedir prestado debo tener uno a la izquierda
+               assert (chunk.size() >= i);
+               
+               if (chunk[i] == 0)
+               {
+                       borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
+                       chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
+               }
+               else
+               {
+                       --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
+               }
+       }
+       // Verifica si es un número par
+       bool es_impar() const
+       {
+               return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
+       }
+       // Divide por 2.
+       number dividido_dos() const
+       {
+               number n = *this;
+               bool lsb = 0; // bit menos significativo
+               bool msb = 0; // bit más significativo
+               for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+                               i != n.chunk.rend(); ++i)
+               {
+                       lsb = *i & 1; // bit menos significativo
+                       *i >>= 1;     // shift
+                       // seteo bit más significativo de ser necesario
+                       if (msb)
+                               *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
+                       msb = lsb;
+               }
+               return n;
+       }

 
 };
 
 
 };
 

+template < typename N, typename E >
+number< N, E >::number(const std::string& origen)
+{
+       const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
+       E increment = 0;
+       E acum = 0;
+
+       unsigned length = origen.length();
+       unsigned number_offset = 0;
+
+       while (number_offset<length)
+       {
+               // si encuentro un signo + ó - corto
+               if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
+                       break;
+
+               increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
+               if ((acum + increment) > MAX_N)
+               {
+                       chunk.push_back(acum);
+               }
+
+       }
+
+
+}
+

 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 {
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 {

+       // Si tienen distinto signo, restamos...
+       if (sign != n.sign)
+       {
+               if (sign == positive) // n es negativo
+               {
+                       number< N, E > tmp = n;
+                       tmp.sign = positive;
+                       *this -= tmp;
+               }
+               else // n es positivo, yo negativo
+               {
+                       sign = positive;
+                       *this = n - *this;
+               }
+               return *this;
+       }
+

        native_type c = 0;
        size_type ini = 0;
        size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
        native_type c = 0;
        size_type ini = 0;
        size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());


@@ -195,6 +290,123 @@ number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
        return tmp;
 }
 
        return tmp;
 }
 

+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
+{
+       // minuendo - substraendo
+       number< N, E > minuend;
+       number< N, E > subtrahend;
+
+       // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
+       if (*this < n)
+       {
+               minuend = n;
+               subtrahend = *this;
+               //minuendo < sustraendo => resultado negativo
+               minuend.sign = negative;
+       }
+       else
+       {
+               minuend = *this;
+               subtrahend = n;
+               //minuendo > sustraendo => resultado positivo
+               minuend.sign = positive;
+       }
+
+       size_type ini = 0;
+       size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
+       size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+       //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
+       //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
+       //no puede ser realmente mayor como cifra
+       for (i = ini; i < fin; ++i)
+       {
+               // si no alcanza para restar pido prestado
+               if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
+               {
+                       // no puedo pedir si soy el más significativo ...
+                       assert (i != fin);
+
+                       // le pido uno al que me sigue
+                       minuend.borrow(i+1);
+               }
+               
+               // es como hacer 24-5: el 4 pide prestado al 2 (borrow(i+1)) y después
+               // se hace 4 + (9-5) + 1
+
+               minuend.chunk[i] += (~((N)0) - subtrahend.chunk[i]) + 1; 
+       }
+
+       //retorno el minuendo ya restado
+       *this = minuend;
+       return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+       number< N, E > tmp = n1;
+       tmp -= n2;
+       return tmp;
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n) const
+{
+       if (sign != n.sign)
+       {
+               if (sign == positive) // yo positivo, n negativo
+                       return false; // yo soy más grande
+               else // yo negagivo, n positivo
+                       return true; // n es más grande
+       }
+
+       size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+       if (chunk.size() > n.chunk.size()) // yo tengo más elementos
+       {
+               // Recorro los bytes más significativos (que tengo sólo yo)
+               for (i = n.chunk.size(); i < chunk.size(); ++i)
+               {
+                       if (chunk[i] != 0) // Si tengo algo distinto a 0
+                       {
+                               return false; // Entonces soy más grande
+                       }
+               }
+       }
+       else if (chunk.size() < n.chunk.size()) // n tiene más elementos
+       {
+               // Recorro los bytes más significativos (que tiene sólo n)
+               for (i = chunk.size(); i < n.chunk.size(); ++i)
+               {
+                       if (chunk[i] != 0) // Si n tiene algo distinto a 0
+                       {
+                               return true; // Entonces soy más chico
+                       }
+               }
+       }
+       // sigo con la intersección de ambos
+       size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+       i = fin;
+       while (i != 0) {
+               --i;
+
+               if (chunk[i] < n.chunk[i]) // Si es menor
+               {
+                       return true;
+               }
+               else if (chunk[i] > n.chunk[i]) // Si es mayor
+               {
+                       return false;
+               }
+               // Si es igual tengo que seguir viendo
+       }
+
+       return false; // Son iguales
+}
+

 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)


@@ -215,23 +427,81 @@ number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::siz
        return tmp;
 }
 
        return tmp;
 }
 

-template < typename N, typename E >
-std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
+template < typename NN, typename EE >
+std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE >& n)

 {
        // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 {
        // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)

-       for (typename number< N, E >::const_iterator i = n.chunk.begin();
-                       i != n.chunk.end(); ++i)
-               os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
+       if (n.sign == positive)
+               os << "+ ";
+       else
+               os << "- ";
+       typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+       typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator end = n.chunk.rend();
+       for (; i != end; ++i)
+               os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(NN) * 2) << std::hex

                        << *i << " ";
        return os;
 }
 
                        << *i << " ";
        return os;
 }
 

+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
+{
+       if (sign != n.sign)
+       {
+               return false;
+       }
+
+       size_type ini = 0;
+       size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+       size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+       // "intersección" entre ambos chunks
+       // +-----+-----+------+------+
+       // |     |     |      |      | <--- mio
+       // +-----+-----+------+------+
+       // +-----+-----+------+
+       // |     |     |      |        <--- chunk de n
+       // +-----+-----+------+
+       //
+       // |------------------|
+       // Esto se procesa en este for
+       for (i = ini; i < fin; ++i)
+       {
+               if (chunk[i] != n.chunk[i])
+               {
+                       return false;
+               }
+       }
+
+       // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
+       // ver si el resto es cero.
+       chunk_type const *chunk_grande = 0;
+       if (chunk.size() > n.chunk.size())
+       {
+               chunk_grande = &chunk;
+               fin = chunk.size() - n.chunk.size();
+       }
+       else if (chunk.size() < n.chunk.size())
+       {
+               chunk_grande = &n.chunk;
+               fin = n.chunk.size() - chunk.size();
+       }
+       if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
+       {
+               for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
+               {
+                       if ((*chunk_grande)[i] != 0)
+                       {
+                               return false;
+                       }
+               }
+       }
+       return true; // Son iguales
+}
+

 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 {
 template < typename N, typename E >
 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 {

-       //number < N, E > r_op = n;
-       //normalize_length(n);
-       //n.normalize_length(*this);

        *this = naif(*this, n);
        return *this;
 }
        *this = naif(*this, n);
        return *this;
 }


@@ -242,24 +512,6 @@ number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
        return naif(n1, n2);
 }
 
        return naif(n1, n2);
 }
 

-template < typename N, typename E >
-number< N, E >& number< N, E >::normalize_length(const number< N, E >& n)
-{
-       // si son de distinto tamaño tengo que agregar ceros a la izquierda al
-       // menor para división y conquista
-       while (chunk.size() < n.chunk.size())
-       {
-               chunk.push_back(0);
-       }
-
-       // si no tiene cantidad par de números le agrego un atomic_type 0 a la
-       // izquierda para no tener que contemplar splits de chunks impares
-       if ((chunk.size() % 2) != 0)
-       {
-               chunk.push_back(0);
-       }
-}
-

 template < typename N, typename E >
 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 {
 template < typename N, typename E >
 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 {


@@ -288,40 +540,36 @@ std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
        return par;
 }
 
        return par;
 }
 

-// es el algoritmo de división y conquista, que se llama recursivamente
+

 template < typename N, typename E >
 template < typename N, typename E >

-number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+void normalize_length(const number< N, E >& u, const number< N, E >& v)

 {
        typedef number< N, E > num_type;
 {
        typedef number< N, E > num_type;

+       typename num_type::size_type max, p, t, pot2;

 
 

-       // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
-       typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+       max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());

 
 

-       if (chunk_size == 1)
-       {
-               // condición de corte. Ver que por más que tenga 1 único
-               // elemento puede "rebalsar" la capacidad del atomic_type,
-               // como ser multiplicando 0xff * 0xff usando bytes!!!
-               return u.chunk[0] * v.chunk[0];
+       /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
+        * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
+       t = max;
+       p = 0;
+       while (t != 0) {
+               t = t >> 1;
+               p++;

        }
 
        }
 

-       std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
-       std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+       /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
+       pot2 = 1 << p;

 
 

-       // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
-       // ocurren algunos mejores!
-       // m = u1*v1
-       // d = u2*v2
-       // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
-       num_type m = karastuba(u12.first, v12.first);
-       num_type d = karastuba(u12.second, v12.second);
-       num_type h = karastuba(u12.first + v12.first,
-                       u12.second + v12.second);
+       /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
+        * completar sus tamaños. */
+       while (u.chunk.size() < pot2)
+               u.chunk.push_back(0);

 
 

-       // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
-       // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
-       return (m << chunk_size) + ((h - d - m) << chunk_size / 2) + h;
+       while (v.chunk.size() < pot2)
+               v.chunk.push_back(0);

 
 

+       return;

 }
 
 
 }
 
 


@@ -331,13 +579,14 @@ number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 {
        typedef number< N, E > num_type;
 
 {
        typedef number< N, E > num_type;
 

-       // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
+       normalize_length(u, v);
+
+       /* como acabo de normalizar los tamaños son iguales */

        typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 
        sign_type sign;
 
        typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 
        sign_type sign;
 

-       if ( (u.sign == positive && v.sign == positive) ||
-                       (u.sign == negative && v.sign == negative) ) {
+       if (u.sign == v.sign) {

                sign = positive;
        } else {
                sign = negative;
                sign = positive;
        } else {
                sign = negative;


@@ -356,7 +605,7 @@ number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
                 */
                E tmp;
                tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
                 */
                E tmp;
                tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);

-               num_type tnum = num_type(static_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+               num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);

                //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
                //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
                return tnum;
                //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
                //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
                return tnum;


@@ -392,15 +641,178 @@ number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
         */
        num_type res;
        res = m22 << chunk_size;
         */
        num_type res;
        res = m22 << chunk_size;

+       //std::cout << "ra: " << res << "\n";

        res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
        res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));

+       /*
+       std::cout << "rb: " << res << "\n";
+       std::cout << "12+21: " << (m12 + m21) << "\n";
+       std::cout << "cs/2: " << (chunk_size / 2) << "\n";
+       std::cout << "t: " << ((m12 + m21) << (chunk_size / 2)) << "\n";
+       */

        res = res + m11;
        res = res + m11;

+       //std::cout << "rc: " << res << "\n";

        res.sign = sign;
        res.sign = sign;

+       //std::cout << "r: " << res << "\n";
+       //std::cout << "\n";
+       return res;
+}
+
+
+/* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
+ * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
+ * los calculos numericos que se especifican debajo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+       typedef number< N, E > num_type;
+
+       normalize_length(u, v);
+
+       typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+
+       sign_type sign;
+
+       if (u.sign == v.sign) {
+               sign = positive;
+       } else {
+               sign = negative;
+       }
+
+       if (chunk_size == 1) {
+               E tmp;
+               tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+               num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+               return tnum;
+       }
+
+       std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
+       std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+

        /*
        /*

-       std::cout << "r: " << res << "\n";
-       std::cout << "\n";
+       std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
+       std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
+       */
+
+       /* Aca esta la gracia de toda la cuestion:
+        * m = u1*v1
+        * d = u2*v2
+        * h = (u1+u2)*(v1+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
+        *
+        * h - d - m = u1*v2+u2*v1
+        * u1*v1 << base^N  +  u1*v2+u2*v1 << base^(N/2)  +  u2*v2
+        * m << base^N  +  (h - d - m) << base^(N/2)  +  d

        */
        */

+       num_type m = karatsuba(u12.first, v12.first);
+       num_type d = karatsuba(u12.second, v12.second);
+
+       num_type sumfst = u12.first + u12.second;
+       num_type sumsnd = v12.first + v12.second;
+       num_type h = karatsuba(sumfst, sumsnd);
+
+       /*
+       fflush(stdout); fflush(stderr);
+       std::cout << "m: " << m << "\n";
+       std::cout << "d: " << d << "\n";
+       std::cout << "h: " << h << "\n";
+       fflush(stdout); fflush(stderr);
+       */
+
+       num_type res, tmp;
+
+       /* tmp = h - d - m */
+       normalize_length(h, d);
+       tmp = h - d;
+       normalize_length(tmp, m);
+       /*
+       std::cout << "t: " << tmp << "\n";
+       std::cout << "m: " << m << "\n";
+       */
+       tmp = tmp - m;
+       //std::cout << "t: " << tmp << "\n";
+
+       /* Resultado final */
+       res = d << chunk_size;
+       res += tmp << (chunk_size / 2);
+       res += m;
+       res.sign = sign;
+

        return res;
 }
 
 
        return res;
 }
 
 

+/* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > pot_ko(number< N, E > &u, number< N, E > &v)
+{
+       assert(v.sign == positive);
+       number< N, E > res, i;
+
+       res = u;
+       res.sign = u.sign;
+
+       for (i = 1; i < v; i += 1) {
+               res *= u;
+       }
+
+       return res;
+}
+
+/* Potenciacion usando división y conquista.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ *
+ * El pseudocódigo del algoritmo es:
+ * pot(x, y):
+ *     if y == 1:
+ *             return x
+ *     res = pot(x, y/2)
+ *     res = res * res
+ *     if y es impar:
+ *             res = res * x
+ *     return res
+ *
+ * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
+ *
+ * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
+ *
+ *                      1 3
+ *                   _/  |  \_
+ *                 _/    |    \_
+ *                /      |      \
+ *               6       1       6
+ *             /   \           /   \
+ *            /     \         /     \
+ *           3       3       3       3
+ *          /|\     /|\     /|\     /|\
+ *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
+ *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
+ *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ *
+ */
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
+{
+       assert(y.sign == positive);
+       //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+       if (y == number< N, E >(1))
+       {
+               std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+               return x;
+       }
+       number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
+       //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
+       //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       res *= res;
+       //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       if (y.es_impar())
+       {
+               //std::cout << y << " es IMPAR => ";
+               res *= x; // Multiplico por el x que falta
+               //std::cout << "res = " << res << "\n";
+       }
+       //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
+       return res;
+}