X-Git-Url: https://git.llucax.com/z.facultad/75.29/dale.git/blobdiff_plain/6cb00da5c8566acb26c92805c4670da062eabe6f..29c49f145f1cf92be3acd3ff3d2707f6e254edbc:/src/number.h

diff --git a/src/number.h b/src/number.h
index 4706d09..71705cc 100644
--- a/src/number.h
+++ b/src/number.h
@@ -1,61 +1,117 @@
-#include <vector>
+#ifdef _WIN32
+// min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
+#define min _cpp_min
+#define max _cpp_max
+#endif
+
+#ifdef DEBUG
+#include <iostream>
+#endif
+
+#include <deque>
+#include <utility>
 #include <algorithm>
-#include <iterator>
+#include <iomanip>
+#include <cassert>
+
+#ifdef _WIN32
+// VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
+#include "stdint.h"
+#else
+#include <stdint.h>
+#endif
+
+enum sign_type { positive, negative };
+
+
+/* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
+ * se haran las operaciones mas basicas. */
+
+template < typename N, typename E >
+struct number;
 
-//XXX Pensado para andar con unsigned's (si anda con otra cosa es casualidad =)
+template < typename N, typename E >
+std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
 
-template < typename T >
+template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
 struct number
 {
 
 	// Tipos
-	typedef T atomic_type;
-	enum sign_type { positive, negative };
-	typedef typename std::vector< T > chunk_type;
+	typedef N native_type;
+	typedef E extended_type;
+	typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
 	typedef typename chunk_type::size_type size_type;
 	typedef typename chunk_type::iterator iterator;
 	typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
+	typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
+	typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
 
-	// Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al menos
-	// un elemento).
+	// Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
+	// menos un elemento).
 	// Constructor default (1 'átomo con valor 0)
-	number(): chunk(1, 0) {}
+	number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
+
 	// Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
 	// Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
 	// (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
-	number(atomic_type* buf, size_type len, sign_type sign = positive):
-		chunk(buf, buf + len), sign(sign)
-		{ fix_empty(); }
-	// Constructor a partir de un buffer (de 'átomos') terminado en 0
-	// FIXME (en realidad está 'roto' este contructor porque no puedo
-	// inicializar números con un átomo == 0 en el medio)
-	number(atomic_type* buf, sign_type sign = positive): sign(sign)
-		{ while (*buf) chunk.push_back(*(buf++)); fix_empty(); }
-	// Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento del
-	// chunk)
-	number(atomic_type n, sign_type sign = positive):
-		chunk(1, n), sign(sign) {} // copia una vez n en el vector
-	// TODO constructor a partir de string.
+	number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
+		chunk(buf, buf + len), sign(s)
+	{
+		fix_empty();
+	}
+
+	// Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
+	// del chunk). Copia una vez N en el vector.
+	number(native_type n, sign_type s = positive):
+		chunk(1, n), sign(s) {}
+
+	number(const std::string& str);
 
 	// Operadores
-	number& operator++ () { carry(0); return *this; }
+	number& operator++ ()
+	{
+		carry(0);
+		return *this;
+	}
+
 	number& operator+= (const number& n);
+	number& operator*= (const number& n);
+	number& operator<<= (const size_type n);
+	number& operator-= (const number& n);
+	bool	operator< (const number& n);
+	bool    operator==(const number& n) const;
+
 	// Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
 	// si la multiplicación es un método de este objeto).
-	atomic_type& operator[] (size_type i) { return chunk[i]; }
+	native_type& operator[] (size_type i)
+	{
+		return chunk[i];
+	}
 
 	// Iteradores (no deberían ser necesarios)
 	iterator begin() { return chunk.begin(); }
 	iterator end() { return chunk.end(); }
 	const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
 	const_iterator end() const { return chunk.end(); }
+	reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
+	reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
+	const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
+	const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
+
+	// Friends
+	template < typename NN, typename EE >
+	friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 
-	private:
 	// Atributos
+	//private:
 	chunk_type chunk;
 	sign_type sign;
 
 	// Helpers
+	// parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
+	// números con (low, high)
+	std::pair< number, number > split() const;
 	// Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 	// el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 	void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
@@ -66,18 +122,108 @@ struct number
 		if (chunk.size() > i)
 		{
 			++chunk[i];
-			if (!chunk[i]) carry(i+1); // Overflow
+			if (chunk[i] == 0)
+				carry(i+1); // Overflow
+		}
+		else
+			chunk.push_back(1);
+	}
+	// Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
+	// borrow)
+	void borrow(size_type i)
+	{
+		if (chunk.size() >= i)
+		{
+			if (chunk[i] == 0)
+			{
+				borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
+				chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
+			}
+			else
+			{
+				--chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
+			}
+		}
+		//else ERROR, están haciendo a-b con a>b
+	}
+	// Verifica si es un número par
+	bool es_impar() const
+	{
+		return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
+	}
+	// Divide por 2.
+	number dividido_dos() const
+	{
+		number n = *this;
+		bool lsb = 0; // bit menos significativo
+		bool msb = 0; // bit más significativo
+		for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+				i != n.chunk.rend(); ++i)
+		{
+			lsb = *i & 1; // bit menos significativo
+			*i >>= 1;     // shift
+			// seteo bit más significativo de ser necesario
+			if (msb)
+				*i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
+			msb = lsb;
 		}
-		else chunk.push_back(1);
+		return n;
 	}
+
 };
 
-template < typename T >
-number< T >& number< T >::operator+= (const number< T >& n)
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >::number(const std::string& origen)
+{
+	const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
+	E increment = 0;
+	E acum = 0;
+
+	unsigned length = origen.length();
+	unsigned number_offset = 0;
+
+	while (number_offset<length)
+	{
+		// si encuentro un signo + ó - corto
+		if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
+			break;
+
+		increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
+		if ((acum + increment) > MAX_N)
+		{
+			chunk.push_back(acum);
+		}
+
+	}
+
+
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 {
-	atomic_type c = 0;
+	// Si tienen distinto signo, restamos...
+	if (sign != n.sign)
+	{
+		if (sign == positive) // n es negativo
+		{
+			number< N, E > tmp = n;
+			tmp.sign = positive;
+			*this -= tmp;
+		}
+		else // n es positivo, yo negativo
+		{
+			sign = positive;
+			*this = n - *this;
+		}
+		return *this;
+	}
+
+	native_type c = 0;
 	size_type ini = 0;
 	size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+	size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
 	// "intersección" entre ambos chunks
 	// +-----+-----+------+------+
 	// |     |     |      |      | <--- mio
@@ -85,22 +231,28 @@ number< T >& number< T >::operator+= (const number< T >& n)
 	// +-----+-----+------+
 	// |     |     |      |        <--- chunk de n
 	// +-----+-----+------+
-	// 
+	//
 	// |------------------|
 	// Esto se procesa en este for
-	for (size_type i = ini; i < fin; ++i)
+	for (i = ini; i < fin; ++i)
 	{
 		chunk[i] += n.chunk[i] + c;
-		if (chunk[i] || (!n.chunk[i] && !c)) c = 0; // OK
-		else                                 c = 1; // Overflow
+		if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
+				( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
+			c = 1; // Overflow
+		else
+			c = 0; // OK
 	}
+
 	// si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 	// propagar el carry
 	if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 	{
-		if (c) carry(fin); // Propago carry
+		if (c)
+			carry(fin); // Propago carry
 		return *this;
 	}
+
 	// Hay más
 	// +-----+-----+------+
 	// |     |     |      |         <--- mío
@@ -108,37 +260,489 @@ number< T >& number< T >::operator+= (const number< T >& n)
 	// +-----+-----+------+------+
 	// |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 	// +-----+-----+------+------+
-	// 
+	//
 	//                    |------|
 	//            Esto se procesa en este for
 	// (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 	ini = fin;
 	fin = n.chunk.size();
-	for (size_type i = ini; i < fin; ++i)
+	for (i = ini; i < fin; ++i)
 	{
 		chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
-		if (chunk[i] || !c) c = 0; // OK
-		else                c = 1; // Overflow
+		if (chunk[i] != 0 || !c)
+			c = 0; // OK
+		else
+			c = 1; // Overflow
 	}
+
 	// Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 	// más al chunk.
-	if (c) chunk.push_back(1); // Último carry
+	if (c)
+		chunk.push_back(1); // Último carry
+
 	return *this;
 }
 
-template < typename T >
-number< T > operator+ (const number< T >& n1, const number< T >& n2)
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 {
-	number< T > tmp = n1;
+	number< N, E > tmp = n1;
 	tmp += n2;
 	return tmp;
 }
 
-template < typename T >
-std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< T >& n)
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
+{
+	// minuendo - substraendo
+	number< N, E > minuend;
+	number< N, E > subtrahend;
+
+	// voy a hacer siempre el mayor menos el menor
+	if (*this < n)
+	{
+		minuend = n;
+		subtrahend = *this;
+		//minuendo < sustraendo => resultado negativo
+		minuend.sign = negative;
+	}
+	else
+	{
+		minuend = *this;
+		subtrahend = n;
+		//minuendo > sustraendo => resultado positivo
+		minuend.sign = positive;
+	}
+
+	size_type ini = 0;
+	size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
+	size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+	//estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
+	//menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
+	//no puede ser realmente mayor como cifra
+	for (i = ini; i < fin; ++i)
+	{
+		// si no alcanza para restar pido prestado
+		if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
+		{
+			minuend.borrow(i);
+		}
+		
+		// resto el chunk i-ésimo
+		minuend.chunk[i] -= subtrahend.chunk[i];
+	}
+
+	//retorno el minuendo ya restado
+	*this = minuend;
+	return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+	number< N, E > tmp = n1;
+	tmp -= n2;
+	return tmp;
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
+{
+	number< N, E > n1 = *this;
+	number< N, E > n2 = n;
+
+	// igualo los largos
+	normalize_length(n1, n2);
+
+	// obtengo el largo
+	size_type length = n1.chunk.size();
+	size_type i = length - 1;
+
+	// me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
+	// sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
+	while (i > 0)
+	{
+		if (n1[i]<n2[i])
+			return true;
+		if (n1[i]>n2[i])
+			return false;
+
+		i--;
+	}
+
+	// si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
+	return false;
+
+}
+
+// efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
+{
+	size_type i;
+	for (i = 0; i < n; i++)
+	{
+		chunk.push_front(0);
+	}
+	return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
+{
+	number< N, E > tmp = n;
+	tmp <<= m;
+	return tmp;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 {
 	// FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
-	std::copy(n.begin(), n.end(), std::ostream_iterator< T >(os, " "));
+	if (n.sign == positive)
+		os << "+ ";
+	else
+		os << "- ";
+	for (typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
+			i != n.chunk.rend(); ++i)
+		os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
+			<< *i << " ";
 	return os;
 }
 
+template < typename N, typename E >
+bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
+{
+	if (sign != n.sign)
+	{
+		return false;
+	}
+
+	size_type ini = 0;
+	size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
+	size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
+
+	// "intersección" entre ambos chunks
+	// +-----+-----+------+------+
+	// |     |     |      |      | <--- mio
+	// +-----+-----+------+------+
+	// +-----+-----+------+
+	// |     |     |      |        <--- chunk de n
+	// +-----+-----+------+
+	//
+	// |------------------|
+	// Esto se procesa en este for
+	for (i = ini; i < fin; ++i)
+	{
+		if (chunk[i] != n.chunk[i])
+		{
+			return false;
+		}
+	}
+
+	// si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
+	// ver si el resto es cero.
+	chunk_type const *chunk_grande = 0;
+	if (chunk.size() > n.chunk.size())
+	{
+		chunk_grande = &chunk;
+		fin = chunk.size() - n.chunk.size();
+	}
+	else if (chunk.size() < n.chunk.size())
+	{
+		chunk_grande = &n.chunk;
+		fin = n.chunk.size() - chunk.size();
+	}
+	if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
+	{
+		for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
+		{
+			if ((*chunk_grande)[i] != 0)
+			{
+				return false;
+			}
+		}
+	}
+	return true; // Son iguales
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
+{
+	//number < N, E > r_op = n;
+	//normalize_length(n);
+	//n.normalize_length(*this);
+	*this = naif(*this, n);
+	return *this;
+}
+
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
+{
+	return naif(n1, n2);
+}
+
+template < typename N, typename E >
+std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
+{
+	typedef number< N, E > num_type;
+	typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
+	typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
+	typename num_type::size_type i = 0;
+
+	// vacío las mitades
+	std::pair< num_type, num_type > par;
+
+	// la primera mitad va al pedazo inferior
+	par.first.chunk[0] = chunk[0];
+	for (i = 1; i < halves_size; i++)
+	{
+		par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
+	}
+
+	// la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
+	// mitad) va al pedazo superior
+	par.second.chunk[0] = chunk[i];
+	for (i++ ; i < full_size; i++)
+	{
+		par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
+	}
+	return par;
+}
+
+
+template < typename N, typename E >
+void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
+{
+	typedef number< N, E > num_type;
+	typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
+
+	max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
+
+	/* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
+	 * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
+	t = max;
+	p = 0;
+	while (t != 0) {
+		t = t >> 1;
+		p++;
+	}
+
+	/* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
+	pot2 = 1 << p;
+
+	/* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
+	 * completar sus tamaños. */
+	while (u.chunk.size() < pot2)
+		u.chunk.push_back(0);
+
+	while (v.chunk.size() < pot2)
+		v.chunk.push_back(0);
+
+	return;
+}
+
+
+/* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+	typedef number< N, E > num_type;
+
+	// tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
+	typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+
+	sign_type sign;
+
+	if (u.sign == v.sign) {
+		sign = positive;
+	} else {
+		sign = negative;
+	}
+
+	//printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
+
+	if (chunk_size == 1)
+	{
+		/* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
+		 * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
+		 * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
+		 * de N, ni mas ni menos).
+		 * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
+		 * buffer. Si, es feo.
+		 */
+		E tmp;
+		tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+		num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+		//std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
+		//printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
+		return tnum;
+	}
+
+	std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
+	std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+
+	//std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
+	//std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
+
+	/* m11 = u1*v1
+	 * m12 = u1*v2
+	 * m21 = u2*v1
+	 * m22 = u2*v2
+	 */
+	num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
+	num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
+	num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
+	num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
+
+	/*
+	printf("csize: %d\n", chunk_size);
+	std::cout << "11 " << m11 << "\n";
+	std::cout << "12 " << m12 << "\n";
+	std::cout << "21 " << m21 << "\n";
+	std::cout << "22 " << m22 << "\n";
+	*/
+
+	/* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
+	 * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
+	 *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
+	 * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
+	 */
+	num_type res;
+	res = m22 << chunk_size;
+	res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
+	res = res + m11;
+	res.sign = sign;
+	/*
+	std::cout << "r: " << res << "\n";
+	std::cout << "\n";
+	*/
+	return res;
+}
+
+
+/* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
+ * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
+ * los calculos numericos que se especifican debajo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+	typedef number< N, E > num_type;
+
+	typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
+
+	sign_type sign;
+
+	if (u.sign == v.sign) {
+		sign = positive;
+	} else {
+		sign = negative;
+	}
+
+	if (chunk_size == 1) {
+		E tmp;
+		tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
+		num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
+		return tnum;
+	}
+
+	std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
+	std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
+
+	// Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
+	// ocurren algunos mejores!
+	// m = u1*v1
+	// d = u2*v2
+	// h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
+	num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
+	num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
+	num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
+			u12.first + v12.first);
+
+	// H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
+	// u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
+	num_type res;
+	res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
+	res.sign = sign;
+	return res;
+}
+
+
+/* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ */
+template < typename N, typename E >
+number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
+{
+	assert(v.sign == positive);
+	number< N, E > res, i;
+
+	res = u;
+	res.sign = u.sign;
+
+	for (i = 1; i < v; i += 1) {
+		res *= u;
+	}
+
+	return res;
+}
+
+/* Potenciacion usando división y conquista.
+ * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
+ *
+ * El pseudocódigo del algoritmo es:
+ * pot(x, y):
+ * 	if y == 1:
+ * 		return x
+ * 	res = pot(x, y/2)
+ * 	res = res * res
+ * 	if y es impar:
+ * 		res = res * x
+ * 	return res
+ *
+ * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
+ *
+ * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
+ *
+ *                      1 3
+ *                   _/  |  \_
+ *                 _/    |    \_
+ *                /      |      \
+ *               6       1       6
+ *             /   \           /   \
+ *            /     \         /     \
+ *           3       3       3       3
+ *          /|\     /|\     /|\     /|\
+ *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
+ *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
+ *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ *
+ */
+template < typename N, typename E >
+number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
+{
+	assert(y.sign == positive);
+	//std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+	if (y == number< N, E >(1))
+	{
+		std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
+		return x;
+	}
+	number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
+	//std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
+	//std::cout << "res = " << res << "\n";
+	res *= res;
+	//std::cout << "res = " << res << "\n";
+	if (y.es_impar())
+	{
+		//std::cout << y << " es IMPAR => ";
+		res *= x; // Multiplico por el x que falta
+		//std::cout << "res = " << res << "\n";
+	}
+	//std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
+	return res;
+}
+