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\layout Title

Análisis Numérico I
\newline 
Trabajo Práctico N° 1
\layout Author

Leandro Lucarella (77.891)
\layout Date

$Date$ ($Rev$)
\layout Standard

Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella.
\layout Standard

Tiene permiso para copiar, distribuir y/o modificar este documento bajo
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\begin_inset LatexCommand \url{http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt}

\end_inset 

 o en español (sin validez legal) en 
\begin_inset LatexCommand \url{http://www.geocities.com/larteaga/gnu/gfdl.html}

\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \tableofcontents{}

\end_inset 


\layout Chapter

Introducción.
\layout Section

Objetivo.
\layout Standard

El objetivo de este trabajo práctico es adquirir experiencia en el uso de
 métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
 ralos resultantes de la discretización mediante diferencias finitas de
 ecuaciones diferenciales.
 Mediante experimentación numérica se optimiza la velocidad de convergencia
 del proceso iterativo en función de la discretización empleada.
 Los resultados de la optimización numérica se comparan con resultados teóricos.
 Finalmente se efectúa una aplicación práctica.
\layout Section

Generalidades.
\layout Standard

La solución aproximada 
\begin_inset Formula \( f_{i} \)
\end_inset 

 de la ecuación de Laplace 
\begin_inset Formula \( \nabla ^{2}\phi =0 \)
\end_inset 

 en un dominio bidimensional cuadrado discretizado usando una grilla uniforme
 
\begin_inset Formula \( (x_{i}=x_{0}+ih\; ;\; y_{j}=y_{0}+jh) \)
\end_inset 

 puede obtenerse resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que surge
 de aplicar el siguiente operador a cada uno de los nodos de la grilla:
\begin_inset Formula \[
4f_{i,j}-f_{i-1,j}-f_{i+1,j}-f_{i,j-1}-f_{i,j+1}=0\]

\end_inset 

 La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales resultante
 es rala (a lo sumo 5 elementos por fila son distintos de cero) y presenta
 una estructura tri-diagonal en bloques.
 La resolución de este sistema de ecuaciones fue ampliamente estudiada en
 forma teórica durante la época del auge del método de las diferencias finitas
 (aproximadamente a mediados del siglo XX).
 Estos resultados muestran que el método de Gauss-Seidel converge cuando
 se aplican condiciones de borde de tipo Dirichlet pero que la velocidad
 de convergencia disminuye a medida que se mejora la discretización (reducción
 de h).
 Esta situación es revertida utilizando sobre-relajación con un valor óptimo
 que también se estableció en forma teórica para dominios cuadrados y rectangula
res.
 Entre las aplicaciones más importantes efectuadas en ese momento con esta
 técnica se encuentra el desarrollo de reactores nucleares.
\layout Section

Planteo del Trabajo Práctico.
\layout Standard

El trabajo práctico se divide en dos partes: en la primera se analiza la
 optimización del proceso iterativo y en la segunda se efectúa una aplicación
 practica consistente en determinar la distribución de temperaturas sobre
 una región del 
\emph on 
\lang english
motherboard
\emph default 
\lang spanish
 de una computadora.
\layout Chapter

Primera Parte.
\layout Section

Introducción.
\layout Standard

En la figura 
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:grilla}

\end_inset 

Discretización de un dominio cuadrado (N=4).
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 216 216
file grilla.eps
subcaption Grilla
flags 11

\end_inset 


\end_float 

\begin_inset LatexCommand \vref{fig:grilla}

\end_inset 

 se muestra la discretización de un dominio cuadrado cuyos lados se dividieron
 en N = 4 partes iguales.
 Sobre los contornos el valor de se encuentra impuesto (condición de tipo
 Dirichlet).
 La solución aproximada 
\begin_inset Formula \( f_{i} \)
\end_inset 

 en los 
\begin_inset Formula \( (N-1)\cdot (N-1) \)
\end_inset 

 nodos interiores se obtienen como solución de un sistema de ecuaciones
 lineales cuya matriz de coeficientes, para N = 4, es de la forma:
\begin_inset Formula \[
A=\left[ \begin{array}{ccc}
T & -I & 0\\
-I & T & -I\\
0 & -I & T
\end{array}\right] \, con\, T=\left[ \begin{array}{ccc}
4 & -1 & 0\\
-1 & 4 & -1\\
0 & -1 & 4
\end{array}\right] \]

\end_inset 


\layout Standard

donde 
\begin_inset Formula \( I \)
\end_inset 

 es la matriz identidad de dimensión N - 1.
 Si se aplica el método de Gauss-Seidel a este sistema de ecuaciones el
 radio espectral de la matriz de iteración resulta 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{GS}\right) }=\cos \left( \frac{\pi }{N}\right)  \)
\end_inset 

.
 Observar que si bien el método converge para todo N > 0, la convergencia
 es muy lenta para valores grandes de N pues 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{GS}\right) } \)
\end_inset 

 tiende a 1.
 En cambio, el método SOR optimizado presenta un 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{\omega }\right) _{optimo}}=\omega _{optimo}-1 \)
\end_inset 

 donde el factor de relajación óptimo es:
\layout Standard


\begin_inset Formula \[
\omega _{optimo}=\frac{2}{1+\sqrt{\rho _{\left( T_{GS}\right) }}}=\frac{2}{1+\sin \left( \frac{\pi }{N}\right) }\]

\end_inset 

Dado que las propiedades de convergencia no dependen del valor de arranque
 ni del valor sobre los contornos, en la primera parte de este trabajo se
 asume, por simplicidad, que en los contornos 
\begin_inset Formula \( \phi =1 \)
\end_inset 

 y se toma 
\begin_inset Formula \( f_{i}=0 \)
\end_inset 

 como valor de arranque.
 Además se indica utilizar el siguiente criterio de convergencia:
\begin_inset Formula \[
R\leq R_{TOL}\, donde\, R=\frac{\left\Vert f^{k+1}-f^{k}\right\Vert _{2}}{\left\Vert f^{k+1}\right\Vert _{2}}\]

\end_inset 

 
\begin_inset LatexCommand \label{sec:s}

\end_inset 

Para estimar el radio espectral de la matriz de iteración, 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{\omega }\right) } \)
\end_inset 

, se usará la expresión:
\begin_inset Formula \[
S=\frac{\left\Vert f^{k+1}-f^{k}\right\Vert _{2}}{\left\Vert f^{k}-f^{k-1}\right\Vert _{2}}\]

\end_inset 


\layout Section

Construcción del programa principal.
\layout Standard

Para comenzar se describirá brevemente el proceso de construcción del programa
 principal que resuelve este particular problema por el método de SOR (o
 Gauss-Seidel si 
\begin_inset Formula \( \omega =1 \)
\end_inset 

).
\layout Standard

Primero se identificaron los tipos de nodos presentes, dividiéndolos en
 tres grandes grupos:
\layout Description

Nodos\SpecialChar ~
de\SpecialChar ~
los\SpecialChar ~
vértices Tienen dos condiciones de borde.
\layout Description

Nodos\SpecialChar ~
de\SpecialChar ~
los\SpecialChar ~
bordes Tienen una condición de borde.
\layout Description

Nodos\SpecialChar ~
centrales No tienen condiciones de borde.
\layout Standard

A su vez, cada grupo (exceptuando los nodos centrales) se divide en cuatro
 subgrupos, según la ubicación de los bordes, tomando como nomenclatura
 a los puntos cardinales como se ve en la figura
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:regiones}

\end_inset 

Regiones según tipo de nodo.
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 216 216
file regiones.eps
subcaption Regiones
flags 11

\end_inset 


\end_float 
 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:regiones}

\end_inset 

.
 De esta forma, podeNordestemos distinguir N nodos en los vértices (en orden
 ascendente según el número de nodo):
\layout Itemize

Sudoeste (SO).
\layout Itemize

Noroeste (NO).
\layout Itemize

Sudeste (SE).
\layout Itemize

Nordeste (NE).
\layout Standard

De la misma manera se distinguen cuatro subgrupos de los nodos de los bordes
 (con N - 3 nodos cada uno):
\layout Itemize

Oeste (O).
\layout Itemize

Norte (N).
\layout Itemize

Sur (S).
\layout Itemize

Este (E).
\layout Standard

Podemos observar entonces que se tiene 9 tipos distintos de nodos, contenidos
 en 3 grandes grupos.
\layout Standard

El problema siguiente es la identificación de cada nodo.
 Probando con distintos N podemos hallar las siguientes condiciones para
 que un nodo sea de un tipo particular, a saber:
\layout Description

SO Si es el primer nodo.
\layout Description

NO Si es el nodo número N - 1.
\layout Description

SE Si es el nodo número 
\begin_inset Formula \( \left( N-1\right) \cdot \left( N-2\right) +1=N^{2}-3\cdot N+3 \)
\end_inset 

.
\layout Description

NE Si es el nodo número 
\begin_inset Formula \( \left( N-1\right) ^{2}=N^{2}-2\cdot N+1 \)
\end_inset 

.
\layout Description

O Si el número de nodo pertenece al intervalo 
\begin_inset Formula \( \left[ 2;N-1\right]  \)
\end_inset 

.
\layout Description

N Si el número de nodo es múltiplo de N - 1.
\layout Description

S Si el número de nodo menos 1 es múltiplo de N - 1.
\layout Description

E Si el número de nodo pertenece al intervalo 
\begin_inset Formula \( \left[ N^{2}-3\cdot N+4;N^{2}-2\cdot N\right]  \)
\end_inset 

.
\layout Description

C El resto de los nodos son centrales.
\layout Standard

Finalmente el método SOR para este caso se reduce a:
\begin_inset Formula \[
\phi _{i}^{k+1}=\left( 1-\omega \right) \cdot \phi _{i}^{k}+\frac{\omega }{4}\cdot \left( b_{i}+\phi _{i-N+1}^{k+1}+\phi _{i-1}^{k+1}+\phi _{i+1}^{k}+\phi _{i+N-1}^{k}\right) \]

\end_inset 


\layout Standard

Siendo necesario sumar sólo algunos términos de 
\begin_inset Formula \( \phi  \)
\end_inset 

 según el tipo de nodo.
\layout Section

Puntos a), b) y c).
\layout Standard

En los primeros tres puntos del trabajo se propone hallar la solución para
 N = 4, 8, 16 y 32, primero con 
\begin_inset Formula \( R_{TOL}=0.01 \)
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula \( \omega =1.0 \)
\end_inset 

 y luego con incrementos de 
\begin_inset Formula \( \Delta \omega =0.05 \)
\end_inset 

.
\layout Standard

A continuación se presentan los resultados de las corridas para 
\begin_inset Formula \( \omega =1.0 \)
\end_inset 

, en orden de nodo ascendente de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
\layout Subsection


\begin_inset LatexCommand \label{sec:resultadosN}

\end_inset 

Resultados para distintos N.
\layout Subsubsection

N = 4.
\layout LyX-Code

Iteraciones: 8
\layout LyX-Code

Radio espectral experimental: 0.50
\layout LyX-Code

0.99  0.99  1.00  0.99  0.99  1.00  1.00  1.00 
\layout Subsubsection

N = 8.
\layout LyX-Code

Iteraciones: 19
\layout LyX-Code

Radio espectral experimental: 0.86
\layout LyX-Code

0.98  0.97  0.96  0.96  0.97  0.98  0.99  0.97  0.94 
\layout LyX-Code

0.93  0.93  0.94  0.96  0.98  0.96  0.93  0.92  0.92 
\layout LyX-Code

0.93  0.95  0.97  0.96  0.93  0.92  0.92  0.93  0.95 
\layout LyX-Code

0.97  0.97  0.94  0.93  0.93  0.94  0.96  0.98  0.98 
\layout LyX-Code

0.96  0.95  0.95  0.96  0.97  0.98  0.99  0.98  0.97 
\layout LyX-Code

0.97  0.98  0.98 
\layout Subsubsection

N = 16.
\layout LyX-Code

Iteraciones: 37
\layout LyX-Code

Radio espectral experimental: 0.96
\layout LyX-Code

0.98  0.97  0.95  0.94  0.93  0.92  0.92  0.92  0.92 
\layout LyX-Code

0.92  0.93  0.94  0.96  0.97  0.99  0.97  0.93  0.91 
\layout LyX-Code

0.88  0.86  0.85  0.84  0.84  0.84  0.85  0.87  0.89 
\layout LyX-Code

0.92  0.94  0.97  0.95  0.91  0.86  0.83  0.80  0.78 
\layout LyX-Code

0.77  0.77  0.78  0.79  0.81  0.84  0.88  0.92  0.96 
\layout LyX-Code

0.94  0.88  0.83  0.79  0.75  0.73  0.71  0.71  0.72 
\layout LyX-Code

0.74  0.77  0.80  0.85  0.90  0.95  0.93  0.86  0.80 
\layout LyX-Code

0.75  0.71  0.68  0.67  0.66  0.67  0.70  0.73  0.77 
\layout LyX-Code

0.82  0.88  0.94  0.92  0.85  0.78  0.73  0.68  0.65 
\layout LyX-Code

0.63  0.63  0.64  0.67  0.70  0.75  0.81  0.87  0.93 
\layout LyX-Code

0.92  0.84  0.77  0.71  0.67  0.63  0.62  0.61  0.62 
\layout LyX-Code

0.65  0.69  0.74  0.80  0.86  0.93  0.92  0.84  0.77 
\layout LyX-Code

0.71  0.66  0.63  0.61  0.61  0.62  0.65  0.69  0.74 
\layout LyX-Code

0.80  0.86  0.93  0.92  0.84  0.78  0.72  0.67  0.64 
\layout LyX-Code

0.62  0.62  0.63  0.66  0.70  0.75  0.80  0.87  0.93 
\layout LyX-Code

0.92  0.85  0.79  0.74  0.70  0.67  0.65  0.65  0.66 
\layout LyX-Code

0.68  0.72  0.76  0.82  0.88  0.94  0.93  0.87  0.81 
\layout LyX-Code

0.77  0.73  0.70  0.69  0.69  0.70  0.72  0.75  0.79 
\layout LyX-Code

0.84  0.89  0.95  0.94  0.89  0.84  0.80  0.77  0.75 
\layout LyX-Code

0.74  0.74  0.75  0.76  0.79  0.82  0.86  0.91  0.95 
\layout LyX-Code

0.96  0.92  0.88  0.85  0.82  0.81  0.80  0.80  0.80 
\layout LyX-Code

0.82  0.84  0.86  0.90  0.93  0.96  0.97  0.94  0.92 
\layout LyX-Code

0.90  0.88  0.87  0.86  0.86  0.87  0.88  0.89  0.91 
\layout LyX-Code

0.93  0.95  0.98  0.99  0.97  0.96  0.95  0.94  0.93 
\layout LyX-Code

0.93  0.93  0.93  0.94  0.95  0.95  0.96  0.98 
\layout Subsubsection

N = 32.
\layout LyX-Code

Iteraciones: 44
\layout LyX-Code

Radio espectral experimental: 0.98
\layout LyX-Code

0.98  0.97  0.96  0.94  0.93  0.92  0.91  0.91  0.90 
\layout LyX-Code

0.90  0.89  0.89  0.89  0.88  0.88  0.88  0.88  0.88 
\layout LyX-Code

0.88  0.89  0.89  0.89  0.90  0.90  0.91  0.92  0.93 
\layout LyX-Code

0.94  0.96  0.97  0.99  0.97  0.94  0.91  0.89  0.87 
\layout LyX-Code

0.85  0.83  0.82  0.80  0.80  0.79  0.78  0.78  0.77 
\layout LyX-Code

0.77  0.77  0.77  0.77  0.77  0.78  0.78  0.79  0.80 
\layout LyX-Code

0.81  0.83  0.85  0.87  0.89  0.92  0.94  0.97  0.96 
\layout LyX-Code

0.91  0.87  0.84  0.81  0.78  0.75  0.73  0.71  0.70 
\layout LyX-Code

0.69  0.68  0.67  0.67  0.67  0.66  0.66  0.66  0.67 
\layout LyX-Code

0.67  0.68  0.69  0.71  0.73  0.75  0.77  0.81  0.84 
\layout LyX-Code

0.88  0.92  0.96  0.94  0.89  0.84  0.79  0.75  0.71 
\layout LyX-Code

0.68  0.65  0.63  0.61  0.60  0.59  0.58  0.57  0.57 
\layout LyX-Code

0.57  0.57  0.57  0.57  0.58  0.59  0.60  0.62  0.65 
\layout LyX-Code

0.67  0.71  0.75  0.79  0.84  0.89  0.95  0.93  0.87 
\layout LyX-Code

0.81  0.75  0.70  0.65  0.62  0.58  0.56  0.53  0.52 
\layout LyX-Code

0.50  0.49  0.48  0.48  0.48  0.48  0.48  0.48  0.49 
\layout LyX-Code

0.50  0.52  0.54  0.57  0.61  0.65  0.70  0.75  0.81 
\layout LyX-Code

0.87  0.94  0.92  0.85  0.78  0.71  0.65  0.60  0.56 
\layout LyX-Code

0.52  0.49  0.46  0.44  0.43  0.42  0.41  0.40  0.40 
\layout LyX-Code

0.40  0.40  0.40  0.41  0.43  0.45  0.47  0.51  0.55 
\layout LyX-Code

0.60  0.65  0.71  0.78  0.85  0.93  0.91  0.83  0.75 
\layout LyX-Code

0.68  0.62  0.56  0.51  0.47  0.43  0.40  0.38  0.36 
\layout LyX-Code

0.35  0.34  0.33  0.33  0.33  0.33  0.34  0.35  0.36 
\layout LyX-Code

0.39  0.41  0.45  0.50  0.55  0.61  0.68  0.76  0.84 
\layout LyX-Code

0.92  0.91  0.82  0.73  0.65  0.58  0.52  0.47  0.42 
\layout LyX-Code

0.38  0.35  0.33  0.31  0.29  0.28  0.27  0.27  0.27 
\layout LyX-Code

0.27  0.28  0.29  0.31  0.33  0.36  0.40  0.45  0.51 
\layout LyX-Code

0.58  0.65  0.74  0.82  0.91  0.90  0.80  0.71  0.63 
\layout LyX-Code

0.56  0.49  0.43  0.38  0.34  0.31  0.28  0.26  0.24 
\layout LyX-Code

0.23  0.22  0.22  0.22  0.22  0.23  0.24  0.26  0.29 
\layout LyX-Code

0.32  0.36  0.42  0.48  0.55  0.63  0.72  0.81  0.90 
\layout LyX-Code

0.90  0.80  0.70  0.61  0.53  0.46  0.40  0.35  0.31 
\layout LyX-Code

0.27  0.24  0.22  0.20  0.19  0.18  0.18  0.18  0.18 
\layout LyX-Code

0.19  0.20  0.22  0.25  0.28  0.33  0.39  0.45  0.53 
\layout LyX-Code

0.61  0.70  0.80  0.90  0.89  0.79  0.69  0.60  0.52 
\layout LyX-Code

0.44  0.38  0.33  0.28  0.24  0.21  0.19  0.17  0.16 
\layout LyX-Code

0.15  0.14  0.14  0.15  0.15  0.17  0.19  0.22  0.26 
\layout LyX-Code

0.30  0.36  0.43  0.51  0.60  0.69  0.79  0.90  0.89 
\layout LyX-Code

0.78  0.68  0.59  0.50  0.43  0.36  0.31  0.26  0.22 
\layout LyX-Code

0.19  0.17  0.15  0.13  0.12  0.12  0.12  0.12  0.13 
\layout LyX-Code

0.14  0.16  0.19  0.23  0.28  0.34  0.41  0.49  0.58 
\layout LyX-Code

0.68  0.78  0.89  0.89  0.78  0.67  0.58  0.49  0.42 
\layout LyX-Code

0.35  0.29  0.24  0.20  0.17  0.15  0.13  0.11  0.10 
\layout LyX-Code

0.10  0.10  0.10  0.11  0.12  0.14  0.17  0.21  0.26 
\layout LyX-Code

0.33  0.40  0.48  0.57  0.67  0.78  0.89  0.88  0.77 
\layout LyX-Code

0.67  0.57  0.48  0.41  0.34  0.28  0.23  0.19  0.16 
\layout LyX-Code

0.13  0.11  0.10  0.09  0.08  0.08  0.08  0.09  0.11 
\layout LyX-Code

0.13  0.16  0.20  0.25  0.31  0.39  0.47  0.57  0.67 
\layout LyX-Code

0.78  0.89  0.88  0.77  0.67  0.57  0.48  0.40  0.33 
\layout LyX-Code

0.27  0.22  0.18  0.15  0.12  0.10  0.09  0.08  0.07 
\layout LyX-Code

0.07  0.07  0.08  0.10  0.12  0.15  0.19  0.24  0.31 
\layout LyX-Code

0.38  0.47  0.56  0.66  0.77  0.89  0.88  0.77  0.66 
\layout LyX-Code

0.57  0.48  0.40  0.33  0.27  0.22  0.18  0.14  0.12 
\layout LyX-Code

0.10  0.08  0.07  0.07  0.06  0.07  0.08  0.09  0.11 
\layout LyX-Code

0.15  0.19  0.24  0.30  0.38  0.46  0.56  0.66  0.77 
\layout LyX-Code

0.89  0.88  0.77  0.66  0.57  0.48  0.40  0.33  0.27 
\layout LyX-Code

0.22  0.18  0.14  0.12  0.10  0.08  0.07  0.06  0.06 
\layout LyX-Code

0.07  0.08  0.09  0.11  0.14  0.19  0.24  0.30  0.38 
\layout LyX-Code

0.46  0.56  0.66  0.77  0.89  0.88  0.77  0.66  0.57 
\layout LyX-Code

0.48  0.40  0.33  0.27  0.22  0.18  0.15  0.12  0.10 
\layout LyX-Code

0.08  0.07  0.07  0.07  0.07  0.08  0.09  0.12  0.15 
\layout LyX-Code

0.19  0.24  0.30  0.38  0.46  0.56  0.66  0.77  0.89 
\layout LyX-Code

0.88  0.77  0.67  0.57  0.48  0.40  0.34  0.28  0.23 
\layout LyX-Code

0.19  0.15  0.13  0.11  0.09  0.08  0.08  0.08  0.08 
\layout LyX-Code

0.09  0.10  0.12  0.16  0.20  0.25  0.31  0.39  0.47 
\layout LyX-Code

0.56  0.67  0.78  0.89  0.89  0.78  0.67  0.58  0.49 
\layout LyX-Code

0.41  0.35  0.29  0.24  0.20  0.17  0.14  0.12  0.11 
\layout LyX-Code

0.10  0.09  0.09  0.09  0.10  0.12  0.14  0.17  0.21 
\layout LyX-Code

0.26  0.32  0.40  0.48  0.57  0.67  0.78  0.89  0.89 
\layout LyX-Code

0.78  0.68  0.59  0.50  0.43  0.36  0.31  0.26  0.22 
\layout LyX-Code

0.19  0.16  0.14  0.13  0.12  0.11  0.11  0.12  0.12 
\layout LyX-Code

0.14  0.16  0.19  0.23  0.28  0.34  0.41  0.49  0.58 
\layout LyX-Code

0.68  0.79  0.89  0.89  0.79  0.69  0.60  0.52  0.45 
\layout LyX-Code

0.39  0.33  0.29  0.25  0.22  0.19  0.17  0.16  0.15 
\layout LyX-Code

0.15  0.14  0.15  0.16  0.17  0.19  0.22  0.26  0.31 
\layout LyX-Code

0.37  0.43  0.51  0.60  0.69  0.79  0.90  0.90  0.80 
\layout LyX-Code

0.71  0.62  0.54  0.47  0.41  0.36  0.32  0.28  0.26 
\layout LyX-Code

0.23  0.21  0.20  0.19  0.19  0.19  0.19  0.20  0.21 
\layout LyX-Code

0.23  0.26  0.30  0.34  0.40  0.46  0.54  0.62  0.71 
\layout LyX-Code

0.81  0.90  0.90  0.81  0.73  0.65  0.57  0.51  0.45 
\layout LyX-Code

0.40  0.36  0.33  0.30  0.28  0.26  0.25  0.24  0.24 
\layout LyX-Code

0.24  0.24  0.25  0.26  0.28  0.31  0.34  0.39  0.44 
\layout LyX-Code

0.50  0.57  0.65  0.73  0.82  0.91  0.91  0.83  0.75 
\layout LyX-Code

0.67  0.61  0.55  0.50  0.45  0.42  0.39  0.36  0.34 
\layout LyX-Code

0.33  0.31  0.31  0.30  0.30  0.30  0.31  0.32  0.34 
\layout LyX-Code

0.37  0.40  0.44  0.49  0.54  0.61  0.68  0.75  0.83 
\layout LyX-Code

0.92  0.92  0.85  0.77  0.71  0.65  0.60  0.55  0.51 
\layout LyX-Code

0.48  0.45  0.43  0.41  0.40  0.39  0.38  0.38  0.38 
\layout LyX-Code

0.38  0.39  0.40  0.41  0.43  0.46  0.50  0.54  0.59 
\layout LyX-Code

0.65  0.71  0.78  0.85  0.93  0.93  0.87  0.81  0.75 
\layout LyX-Code

0.70  0.65  0.61  0.58  0.55  0.53  0.51  0.49  0.48 
\layout LyX-Code

0.47  0.47  0.46  0.46  0.46  0.47  0.48  0.49  0.51 
\layout LyX-Code

0.54  0.57  0.61  0.65  0.70  0.75  0.81  0.87  0.94 
\layout LyX-Code

0.94  0.89  0.84  0.79  0.75  0.71  0.68  0.65  0.63 
\layout LyX-Code

0.61  0.60  0.58  0.57  0.57  0.56  0.56  0.56  0.56 
\layout LyX-Code

0.56  0.57  0.58  0.60  0.62  0.65  0.68  0.71  0.75 
\layout LyX-Code

0.80  0.85  0.90  0.95  0.96  0.92  0.88  0.84  0.81 
\layout LyX-Code

0.78  0.76  0.74  0.72  0.70  0.69  0.68  0.67  0.67 
\layout LyX-Code

0.66  0.66  0.66  0.66  0.67  0.67  0.68  0.69  0.71 
\layout LyX-Code

0.73  0.75  0.78  0.81  0.85  0.88  0.92  0.96  0.97 
\layout LyX-Code

0.94  0.92  0.89  0.87  0.85  0.84  0.82  0.81  0.80 
\layout LyX-Code

0.79  0.78  0.78  0.78  0.77  0.77  0.77  0.77  0.78 
\layout LyX-Code

0.78  0.79  0.79  0.81  0.82  0.83  0.85  0.87  0.90 
\layout LyX-Code

0.92  0.95  0.97  0.99  0.97  0.96  0.95  0.94  0.93 
\layout LyX-Code

0.92  0.91  0.90  0.90  0.90  0.89  0.89  0.89  0.89 
\layout LyX-Code

0.89  0.89  0.89  0.89  0.89  0.89  0.90  0.90  0.91 
\layout LyX-Code

0.92  0.93  0.94  0.95  0.96  0.97 
\layout Subsection

Gráficos.
\layout Standard


\begin_inset LatexCommand \label{sec:graficos}

\end_inset 

En el punto c) se pide realizar gráficos con la evolución de las iteraciones
 en función de 
\begin_inset Formula \( \omega  \)
\end_inset 

 con 
\begin_inset Formula \( \Delta \omega =0.05 \)
\end_inset 

 o menor.
 Para realizar estos gráficos se tomo un 
\begin_inset Formula \( \Delta \omega =0.01 \)
\end_inset 

 y se grafica también el radio espectral 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{\omega }\right) } \)
\end_inset 

 estimado por S (ver sección 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:s}

\end_inset 

) para la última iteración.
\layout Standard
\added_space_top 0.3cm \added_space_bottom 0.3cm \align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d4.eps
subcaption d4
flags 11

\end_inset 


\layout Standard
\added_space_top 0.3cm \added_space_bottom 0.3cm \align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d8.eps
subcaption d8
flags 11

\end_inset 


\layout Standard
\added_space_top 0.3cm \added_space_bottom 0.3cm \align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d16.eps
subcaption d16
flags 11

\end_inset 


\layout Standard
\added_space_top 0.3cm \added_space_bottom 0.3cm \align center 

\begin_inset Figure size 360 252
file d32.eps
subcaption d32
flags 11

\end_inset 


\layout Section

Puntos e), f) y g).
\layout Standard

En estos tres puntos se pide graficar la evolución de R, S (radio espectral
 calculado experimentalmente) y 
\begin_inset Formula \( \phi _{113} \)
\end_inset 

 (nodo central) a través del proceso iterativo.
 En el gráfico 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:eg}

\end_inset 

 se presentan los resultados para N = 8 y 
\begin_inset Formula \( \omega =1.35 \)
\end_inset 

 (inferior al 
\begin_inset Formula \( \omega _{optimo} \)
\end_inset 

)
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:eg}

\end_inset 

Evolución de R, S y 
\begin_inset Formula \( \phi _{113} \)
\end_inset 

 para N = 8 y 
\begin_inset Formula \( \omega =1.85 \)
\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset Figure size 360 252
file eg.eps
subcaption eg
flags 11

\end_inset 


\end_float 
, y en el gráfico 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:fg}

\end_inset 

, para N = 8 y 
\begin_inset Formula \( \omega =1.85 \)
\end_inset 

 (superior al 
\begin_inset Formula \( \omega _{optimo} \)
\end_inset 

)
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:fg}

\end_inset 

Evolución de R, S y 
\begin_inset Formula \( \phi _{113} \)
\end_inset 

 para N = 8 y 
\begin_inset Formula \( \omega =1.85 \)
\end_inset 

.
\layout Standard


\begin_inset Figure size 360 252
file fg.eps
subcaption fg
flags 11

\end_inset 


\end_float 
.
\layout Section

Conclusiones.
\layout Standard

En la sección 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:resultadosN}

\end_inset 

 podemos ver que para tener una noción sobre el orden del error relativo
 de truncamiento no siempre podemos observar el 
\begin_inset Formula \( R_{TOL}=0.01 \)
\end_inset 

 y tomarlo como cota.
 Esta aproximación es válida sólo para N = 4 ya que se puede aplicar sólo
 si la norma de la matriz de Gauss-Seidel 
\begin_inset Formula \( \left\Vert T_{GS}\right\Vert \leq \frac{1}{2} \)
\end_inset 

.
 Considerando que en este trabajo se utiliza la norma 2 y la matriz es simétrica
 
\begin_inset Formula \( \left( T_{GS}^{t}=T_{GS}\right)  \)
\end_inset 

 observamos que:
\begin_inset Formula \[
\left\Vert T_{GS}\right\Vert _{2}=\sqrt{\rho _{\left( T^{t}_{GS}\cdot T_{GS}\right) }}=\sqrt{\rho _{\left( T^{2}_{GS}\right) }}=\sqrt{\rho ^{2}_{\left( T_{GS}\right) }}=\left| \rho _{\left( T_{GS}\right) }\right| \]

\end_inset 


\layout Standard

Por lo que la condición para que la aproximación sea válida se transforma
 en: 
\begin_inset Formula \( \left| \rho _{\left( T_{GS}\right) }\right| \leq \frac{1}{2} \)
\end_inset 

 y para el único N que se cumple es para N = 4.
\layout Standard

En los gráficos de la sección 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:graficos}

\end_inset 

 podemos ver como el radio espectral de la matriz para SOR va disminuyendo
 a medida que 
\begin_inset Formula \( \omega  \)
\end_inset 

 se acerca a 
\begin_inset Formula \( \omega _{optimo} \)
\end_inset 

.
 Una vez alcanzado 
\begin_inset Formula \( \omega _{optimo} \)
\end_inset 

, el método para calcular 
\begin_inset Formula \( \rho _{\left( T_{\omega }\right) } \)
\end_inset 

 (ver sección 
\begin_inset LatexCommand \vref{sec:s}

\end_inset 

) deja de ser válido y es por esto que pierde 
\emph on 
estabilidad
\emph default 
 y los resultados no pueden ser tenidos en cuenta.
\layout Standard

Finalmente en la gráfico 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:eg}

\end_inset 

 podemos ver como evoluciona el orden del error de truncamiento a través
 de las iteraciones de forma no sólo monótona sino que prácticamente lineal.
 El radio espectral de la matriz calculado experimentalmente también evoluciona
 de forma monótona, pero creciendo de forma muy acelerada en las primeras
 10 iteraciones y estabilizándose en un valor cercano a 0,9, lo que indicaría
 que en cada iteración esta bajando el error en un 10% aproximadamente (el
 método converge de forma bastante lenta).
 Por último vemos también que el valor del nodo central crece monótonamente
 tendiendo a 1, pero llegando siempre a un valor inferior.
\layout Standard

Este comportamiento monótono de las variables R, S y 
\begin_inset Formula \( \phi _{113} \)
\end_inset 

 se debe a que 
\begin_inset Formula \( \omega \leq \omega _{optimo} \)
\end_inset 

.
\layout Standard

En el gráfico 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:fg}

\end_inset 

, donde 
\begin_inset Formula \( \omega >\omega _{optimo} \)
\end_inset 

 (caso inverso al anterior), se observa un comportamiento mucho más caótico.
 El comportamiento de S ya fue explicado.
 El nodo central 
\begin_inset Formula \( \phi _{113} \)
\end_inset 

 sigue tendiendo a 1 pero superando este valor en varias oportunidades y
 de forma para nada monótona.
 La variable que menos cambios presenta es el orden del error de truncamiento
 que, aunque su comportamiento es mucho menos caótico, tampoco evoluciona
 de forma monótona como en el caso de que 
\begin_inset Formula \( \omega \leq \omega _{optimo} \)
\end_inset 

.
\layout Chapter

Segunda Parte.
\layout Section

Introducción.
\layout Standard

En la figura
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:mother}

\end_inset 

Esquema de placa madre.
\layout Standard
\align center 

\begin_inset Figure size 216 216
file mother.eps
subcaption mother
flags 11

\end_inset 


\end_float 
 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:mother}

\end_inset 

 se representa una región de la plaqueta madre de una computadora, los cuadrados
 indican procesadores que se encuentran operando a distintas temperaturas.
 En el centro falta un procesador y se desea conocer la distribución de
 temperaturas en esa zona.
 Despreciando las perdidas de calor de la plaqueta, las temperaturas en
 cuestión se pueden calcular resolviendo la ecuación de Laplace usando 
\begin_inset Formula \( T_{S} \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( T_{O} \)
\end_inset 

, 
\begin_inset Formula \( T_{N} \)
\end_inset 

 y 
\begin_inset Formula \( T_{E} \)
\end_inset 

 como condiciones de borde aplicadas en las líneas punteadas.
 Tomar N = 8, 
\begin_inset Formula \( R_{TOL}=0.001 \)
\end_inset 

 y el 
\begin_inset Formula \( \omega _{optimo} \)
\end_inset 

.
\layout Standard

Cada grupo obtendrá los datos de temperatura en °C descomponiendo la parte
 entera del promedio de los N° de padrón de los integrantes del grupo, NPP,
 de la siguiente manera:
\begin_inset Formula \[
NPP=a\cdot 10^{4}+b\cdot 10^{3}+c\cdot 10^{2}+d\cdot 10+e\]

\end_inset 


\layout Standard

En mi caso:
\layout Itemize

a = 7
\layout Itemize

b = 7
\layout Itemize

c = 8
\layout Itemize

d = 9
\layout Itemize

e = 1
\layout Standard

Las temperaturas de los bordes se calculan entonces de la siguiente forma:
\layout Itemize


\begin_inset Formula \( T_{1}=T_{S}=a\cdot 10+e=71^{\circ } \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( T_{2}=T_{O}=a\cdot 10+d=79^{\circ } \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( T_{3}=T_{N}=a\cdot 10+c=78^{\circ } \)
\end_inset 


\layout Itemize


\begin_inset Formula \( T_{4}=T_{E}=a\cdot 10+b=77^{\circ } \)
\end_inset 


\layout Standard

Cada grupo deberá reportar el valor de temperatura en el centro.
 En forma opcional se propone graficar las isolíneas (o isobandas) de temperatur
a calculadas.
 
\layout Section

Resultado.
\layout Standard

Al correr el programa para N = 8, R = 0.001 y 
\begin_inset Formula \( \omega =\omega _{optimo}=1.44647 \)
\end_inset 

 y las condiciones de borde expuestas anteriormente, se obtienen los siguientes
 resultado (mostrados gráficamente con los números de nodos ubicados igual
 que en la figura 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:grilla}

\end_inset 

):
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
78.336  77.999  77.801  77.680  77.606  77.542  77.412
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
78.348  77.858  77.521  77.312  77.201  77.150  77.105
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
78.205  77.565  77.113  76.843  76.732  76.750  76.856
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
77.928  77.089  76.521  76.211  76.131  76.259  76.569
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
77.466  76.359  75.676  75.346  75.319  75.584  76.158 
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
76.646  75.239  74.493  74.183  74.212  74.599  75.477
\layout LyX-Code


\latex no_latex 
74.954  73.507  72.908  72.700  72.754  73.124  74.149
\layout Standard

Donde se ve que el nodo central es 
\begin_inset Formula \( \phi _{25}=76.211^{\circ } \)
\end_inset 

.
 Considerando que el radio espectral de la matriz en la última iteración
 es del órden de 
\begin_inset Formula \( \frac{1}{2}\left( \approx 0.58\right)  \)
\end_inset 

 podemos aproximar el órden de la cota del error relativo con 
\begin_inset Formula \( R_{TOL}=0.001 \)
\end_inset 

.
 El error absoluto es entonces:
\begin_inset Formula \[
\Delta E=R_{TOL}\cdot \phi _{25}\cong 0.001\cdot 76\cong 0.076\cong 0.1\]

\end_inset 


\layout Standard

De esta forma, la temperatura del nodo central sería 
\begin_inset Formula \( \phi _{25}=76.2^{\circ }\pm 0.1^{\circ } \)
\end_inset 

.
\layout Standard

Puede verse también gráficamente
\begin_float fig 
\layout Caption


\begin_inset LatexCommand \label{fig:isolineas}

\end_inset 

Isolíneas de temperatura.
\layout Standard


\begin_inset Figure size 499 355
file isolineas.ps
subcaption isolineas
angle -90
flags 11

\end_inset 


\end_float 
 la distribución de las temperaturas en la figura 
\begin_inset LatexCommand \vref{fig:isolineas}

\end_inset 

.
\layout Chapter

Código Fuente.
\layout Section

Programa Principal (
\family typewriter 
77891.cpp
\family default 
).
\layout LyX-Code

// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones lineales ralo
\layout LyX-Code

// resultante de la discretización mediante diferencias finitas
\layout LyX-Code

// de ecuaciones diferenciales.
\layout LyX-Code

// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
\layout LyX-Code

// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
\layout LyX-Code

// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
\layout LyX-Code

// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
\layout LyX-Code

// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
\layout LyX-Code

// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
\layout LyX-Code

// particular.
 Vea la "GNU General Public License" para más
\layout LyX-Code

// detalles.
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
\layout LyX-Code

// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
\layout LyX-Code

// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
\layout LyX-Code

// Boston, MA 02111-1307, USA.
\layout LyX-Code

//
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

#include <stdio.h>
\layout LyX-Code

#include <stdlib.h>
\layout LyX-Code

#include <math.h>
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Tipos de datos.
\layout LyX-Code

typedef unsigned int Indice;
\layout LyX-Code

typedef float Numero;
\layout LyX-Code

typedef struct {
\layout LyX-Code

  Indice N;
\layout LyX-Code

  Numero w;
\layout LyX-Code

  Numero rtol;
\layout LyX-Code

  Numero TS;
\layout LyX-Code

  Numero TO;
\layout LyX-Code

  Numero TN;
\layout LyX-Code

  Numero TE;
\layout LyX-Code

  Numero* X;
\layout LyX-Code

} Datos;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Constantes.
\layout LyX-Code

const Numero DEFAULT_W    = 1.0,
\layout LyX-Code

             DEFAULT_RTOL = 0.01,
\layout LyX-Code

             DEFAULT_T    = 1.0;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Calcula la iteración para un nodo.
 Numero procesarNodo( Datos&, Indice );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Calcula la iteración para un nodo dependiendo del tipo de nodo.
\layout LyX-Code

Numero procesarNodo( Datos&, Indice, bool, bool, bool, bool, Numero = 0
 );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Calcula la norma 2 de un vector.
\layout LyX-Code

Numero norma2( Numero*, Indice );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Imprime un vector por la salida estándar.
\layout LyX-Code

void imprimirVector( Indice, Numero* );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Imprime un vector por la salida estándar.
\layout LyX-Code

void imprimirVector( Numero*, Indice );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

// Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método S.O.R.
\layout LyX-Code

// (o Gasuss-Seidel si w=1).
\layout LyX-Code

void resolver( Datos& );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

int main( int argc, char* argv[] ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Se fija que tenga los argumentos necesarios para correr.
\layout LyX-Code

  if ( argc < 2 ) {
\layout LyX-Code

    printf( "Faltan argumentos.
 Modo de uso:
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

    printf( "
\backslash 
t%s N w RTOL TS TO TN TE
\backslash 
n", argv[0] );
\layout LyX-Code

    printf( "Desde w en adelante son opcionales.
 Los valores por defecto son:
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

    printf( "
\backslash 
tw = %f
\backslash 
n", DEFAULT_W );
\layout LyX-Code

    printf( "
\backslash 
tRTOL = %f
\backslash 
n", DEFAULT_RTOL );
\layout LyX-Code

    printf( "
\backslash 
tTS = TO = TN = TE = %f
\backslash 
n", DEFAULT_T );
\layout LyX-Code

    return EXIT_FAILURE;
\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Se inicializan los datos.
\layout LyX-Code

  Datos D;
\layout LyX-Code

  D.N = Indice( atol( argv[1] ) );
\layout LyX-Code

  if   ( D.N < 3 ) {
\layout LyX-Code

    printf( "N Debe ser un entero mayor o igual a 3
\backslash 
n" );
\layout LyX-Code

    return EXIT_FAILURE;
\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

  D.w = DEFAULT_W;
\layout LyX-Code

  D.rtol = DEFAULT_RTOL;
\layout LyX-Code

  D.TS = D.TO = D.TN = D.TE = DEFAULT_T;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Se aloca uno más de lo necesario para usar el rango [1,n]
\layout LyX-Code

  D.X = new Numero[Indice(pow(D.N-1,2))+1]; 
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si se pasaron datos como argumento, se los va agregando.
\layout LyX-Code

  switch ( argc ) {
\layout LyX-Code

    case 8: D.TE = Numero( atof( argv[7] ) );
\layout LyX-Code

    case 7: D.TN = Numero( atof( argv[6] ) );
\layout LyX-Code

    case 6: D.TO = Numero( atof( argv[5] ) );
\layout LyX-Code

    case 5: D.TS = Numero( atof( argv[4] ) );
\layout LyX-Code

    case 4: D.rtol = Numero( atof( argv[3] ) );
\layout LyX-Code

    case 3: D.w = Numero( atof( argv[2] ) );
\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  resolver( D );
\layout LyX-Code

  delete D.X;
\layout LyX-Code

  return EXIT_SUCCESS;
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

Numero procesarNodo( Datos& D, Indice i ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  Indice N = D.N;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si es el primero, es SO.
\layout LyX-Code

  if ( i == 1 )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, false, false, true, true, D.TS + D.TO );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si es N - 1 es NO.
\layout LyX-Code

  if ( i == ( N - 1 ) )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, false, true, false, true, D.TN + D.TO );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si es N² - 3N + 3 es SE.
\layout LyX-Code

  if ( i == ( N*N - 3*N + 3 ) )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, true, false, true, false, D.TS + D.TE );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si es N² - 2N + 1 es NE.
\layout LyX-Code

  if ( i == ( N*N - 2*N + 1 ) )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, true, true, false, false, D.TN + D.TE );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si pertenece al intervalo [2;N-1] es O.
\layout LyX-Code

  if ( ( 1 < i ) && ( i < ( N - 1 ) ) )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, false, true, true, true, D.TO );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si pertenece al intervalo [N² - 3N + 3;N² - 2N + 1] es E.
\layout LyX-Code

  if ( ( ( N*N - 3*N + 3 ) < i ) && ( i < ( N*N - 2*N + 1 ) ) )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, true, true, true, false, D.TE );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si i - 1 es múltiplo de N - 1 (y no es NE, SE, NO, SO) es S.
\layout LyX-Code

  if ( ( ( i - 1 ) % ( N - 1 ) ) == 0 )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, true, false, true, true, D.TS );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Si i es múltiplo de N - 1 (y no es NE, SE, NO, SO) es N.
\layout LyX-Code

  if ( ( i % ( N - 1 ) ) == 0 )
\layout LyX-Code

    return procesarNodo( D, i, true, true, false, true, D.TN );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  return procesarNodo( D, i, true, true, true, true );
\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

Numero procesarNodo( Datos& D, Indice i,
\layout LyX-Code

                     bool i_n1, bool i_1, bool i1, bool in_1,
\layout LyX-Code

                     Numero b ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  Numero x  = 0,
\layout LyX-Code

         Xo = D.X[i];
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Voy sumando los elementos que corresponden.
\layout LyX-Code

  if ( i_n1 )
\layout LyX-Code

    x += D.X[i-D.N+1];
\layout LyX-Code

  if ( i_1 )
\layout LyX-Code

    x += D.X[i-1];
\layout LyX-Code

  if ( i1 )
\layout LyX-Code

    x += D.X[i+1];
\layout LyX-Code

  if ( in_1 )
\layout LyX-Code

    x += D.X[i+D.N-1];
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Calculo el elemento i.
\layout LyX-Code

  D.X[i] = ( 1 - D.w ) * D.X[i] + ( b + x ) * D.w / 4;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Devuelve parte de la sumatoria para calcular la norma 2.
\layout LyX-Code

  return pow( D.X[i] - Xo, 2 );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

Numero norma2( Numero* X, Indice n ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  Numero sum = 0;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  for ( Indice i = 1; i <= n; i++ )
\layout LyX-Code

    sum += pow( X[i], 2 );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  return sqrt( sum );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

void imprimirVector( Indice n, Numero* X ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  for ( Indice i = 1; i <= n; i++ )
\layout LyX-Code

    printf( "%.7e%s", X[i], ( i == n ) ? "
\backslash 
n" : " " );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

}
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

void resolver( Datos& D ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  Indice ite = 0,
\layout LyX-Code

         n   = Indice( pow( D.N - 1, 2) );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  Numero r    = D.rtol + 1,
\layout LyX-Code

         Ek   = 0,
\layout LyX-Code

         Ek_1 = 0;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  // Imprime datos iniciales.
\layout LyX-Code

  // Formato de salida:
\layout LyX-Code

  // iteración R S <vector X>
\layout LyX-Code

  // (si no se puede calcular S, se muestra 0)
\layout LyX-Code

  printf( "%d %.2e 0.00000000 ", ite, r );
\layout LyX-Code

  imprimirVector( n, D.X );
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  while ( r > D.rtol ) {
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

    for ( Indice i = 1; i <= n; i++ )
\layout LyX-Code

      Ek += procesarNodo( D, i );
\layout LyX-Code

    Ek = sqrt( Ek );
\layout LyX-Code

    r = Ek / norma2( D.X, n );
\layout LyX-Code

    printf( "%d %.2e %.8f ", ++ite, r, Ek_1 ? ( Ek / Ek_1 ) : 0 );
\layout LyX-Code

    imprimirVector( n, D.X ); Ek_1 = Ek; Ek = 0;
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

}
\layout Section

Utilidades.
\layout Standard

Todas las utilidades listadas aquí son Software Libre; puede redistribuirlas
 y/o modificarlas bajo los términos de la "GNU General Public License" como
 lo publica la "FSF Free Software Foundation", o (a su elección) de cualquier
 versión posterior.
\layout Subsection


\family typewriter 
calc.sh
\layout LyX-Code

#!/bin/sh
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Realiza los cálculos del punto c (y a y b).
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Calculo soluciones del punto a, b y c.
\layout LyX-Code

for (( n=4; n <= 32; n*=2 )); do
\layout LyX-Code

  ./77891 $n | tail -n1 | ./resultado.awk > ca$n.txt
\layout LyX-Code

done
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Calculo iteraciones y S en función de w.
\layout LyX-Code

for (( n=4; n <= 32; n*=2 )); do
\layout LyX-Code

  echo "Procesando N = $n ..."
\layout LyX-Code

  for (( i=0; i < 100; i+=1 )); do
\layout LyX-Code

    w=`printf "1.%02d
\backslash 
n" $i`
\layout LyX-Code

    echo -n "$w "
\layout LyX-Code

    # Iteraciones en función de w.
\layout LyX-Code

    ./77891 $n $w | wc -l | awk '{printf "%-4d", $1-1}'
\layout LyX-Code

    echo -n " "
\layout LyX-Code

    # S en función de w.
\layout LyX-Code

    ./77891 $n $w | tail -n1 | awk '{print $3}'
\layout LyX-Code

  done > cb$n.txt
\layout LyX-Code

done
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Calculo los puntos e-g
\layout LyX-Code

./77891 16 1.35 0.001 | awk '{print $1 " " log($2) " " $3 " " $116}' 
\backslash 

\layout LyX-Code

  > eg.txt
\layout LyX-Code

# Calculo los puntos f-g
\layout LyX-Code

./77891 16 1.85 0.001 | awk '{print $1 " " log($2) " " $3 " " $116}' 
\backslash 

\layout LyX-Code

  > fg.txt
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Calculo la Parte II
\layout LyX-Code

ej2="./77891 8 1.446467 0.001 71 79 78 77"
\layout LyX-Code

$ej2 | tail -n1 | ./isolineas.awk > isolineas.txt
\layout LyX-Code

$ej2 | tail -n1 | awk '{ printf "X25 = %.3f ± 0.001
\backslash 
n", $28 }' 
\backslash 

\layout LyX-Code

  > parte2.txt
\layout Subsection


\family typewriter 
plot.sh
\layout LyX-Code

#!/bin/sh
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
\layout LyX-Code

# GNU Plot.
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Genera todos los gráficos del punto d
\layout LyX-Code

for (( n=4; n <= 32; n*=2 )); do
\layout LyX-Code

  sed "s/<N>/$n/g" d.gnuplot | gnuplot
\layout LyX-Code

done
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Genera gráficos del punto e-g
\layout LyX-Code

sed "s/<A>/e/g" efg.gnuplot | sed "s/<B>/1.35/g" | gnuplot
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Genera gráficos del punto f-g
\layout LyX-Code

sed "s/<A>/f/g" efg.gnuplot | sed "s/<B>/1.85/g" | gnuplot
\layout Subsection


\family typewriter 
d.gnuplot
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/gnuplot
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
\layout LyX-Code

# GNU Plot.
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
\layout LyX-Code

set term postscript eps enhanced color
\layout LyX-Code

set encoding iso_8859_1
\layout LyX-Code

set output "d<N>.eps"
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Seteos generales.
\layout LyX-Code

set title "Variacion de iteraciones y S en funcion de w para N = <N>"
\layout LyX-Code

set key left top
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje X.
\layout LyX-Code

set xlabel "Factor de sobrerelajacion (w)"
\layout LyX-Code

set mxtics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje Y.
\layout LyX-Code

set ylabel "Iteraciones"
\layout LyX-Code

set ytics nomirror
\layout LyX-Code

set mytics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje Y secundario.
\layout LyX-Code

set y2label "Radio espectral (S)"
\layout LyX-Code

set y2range [0:1]
\layout LyX-Code

set y2tics 0, 0.1
\layout LyX-Code

set my2tics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Plotea
\layout LyX-Code

plot 'cb<N>.txt' using 1:2 smooth csplines axes x1y1 
\backslash 

\layout LyX-Code

       title "Iteraciones" with lines linetype 1, 
\backslash 

\layout LyX-Code

     'cb<N>.txt' using 1:3 smooth csplines axes x1y2 
\backslash 

\layout LyX-Code

       title "Radio espectral" with lines linetype 3
\layout Subsection


\family typewriter 
efg.gnuplot
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/gnuplot
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
\layout LyX-Code

# GNU Plot.
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
\layout LyX-Code

set term postscript eps enhanced color
\layout LyX-Code

set encoding iso_8859_1
\layout LyX-Code

set output "<A>g.eps"
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Seteos generales.
\layout LyX-Code

set title "Variacion R y S en funcion de las iteraciones N = 16 y w = <B>"
\layout LyX-Code

set key bottom
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje X.
\layout LyX-Code

set xlabel "Iteraciones"
\layout LyX-Code

set mxtics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje Y.
\layout LyX-Code

set ylabel "R (en escala logaritmica)"
\layout LyX-Code

set ytics nomirror
\layout LyX-Code

set mytics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Eje Y secundario.
\layout LyX-Code

set y2label "Radio espectral (S) / Valor del nodo central (113)"
\layout LyX-Code

set y2range [0:1.2]
\layout LyX-Code

set y2tics 0, 0.1
\layout LyX-Code

set my2tics 5
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

# Plotea
\layout LyX-Code

plot '<A>g.txt' every ::2 using 1:2 smooth csplines axes x1y1 
\backslash 

\layout LyX-Code

       title "ln(R)" with lines linetype 1, 
\backslash 

\layout LyX-Code

     '<A>g.txt' every ::2 using 1:3 smooth csplines axes x1y2 
\backslash 

\layout LyX-Code

       title "S" with lines linetype 3, 
\backslash 

\layout LyX-Code

     '<A>g.txt' every ::2 using 1:4 smooth csplines axes x1y2 
\backslash 

\layout LyX-Code

       title "Nodo central (113)" with lines linetype 4
\layout Subsection


\family typewriter 
resultado.awk
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/awk -f
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Muestra el resultado de una iteración de forma más agradable.
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

{
\layout LyX-Code

  print "Iteraciones: " $1
\layout LyX-Code

  printf "Radio espectral experimental: %.2f
\backslash 
n", $3
\layout LyX-Code

  for ( i = 4; i <= NF; i+=9 ) {
\layout LyX-Code

    for ( j = 0; (j < 9) && (i+j < NF); j++ ) {
\layout LyX-Code

      printf "%5.2f ", $(i+j)
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

    printf "
\backslash 
n"
\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

}
\layout Subsection


\family typewriter 
isolineas.awk
\layout LyX-Code

#!/usr/bin/awk -f
\layout LyX-Code

# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

# Trabajo Práctico I de Análisis Numérico I
\layout LyX-Code

# Muestra el resultado de una iteración de forma más agradable.
\layout LyX-Code

# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
\layout LyX-Code

#
\layout LyX-Code

\layout LyX-Code

{
\layout LyX-Code

  for ( i = 7; i >= 1; i-- ) {
\layout LyX-Code

    for ( j = 0; j < 7; j++ ) {
\layout LyX-Code

      printf "%7.3f ", $(3+i+j*7)
\layout LyX-Code

    }
\layout LyX-Code

    printf "
\backslash 
n"
\layout LyX-Code

  }
\layout LyX-Code

}
\the_end