src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0), sign(positive) {}
  54
  55         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  56         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  57         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  58         number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
  59                 chunk(buf, buf + len), sign(s)
  60         {
  61                 fix_empty();
  62         }
  63
  64         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  65         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  66         number(native_type n, sign_type s = positive):
  67                 chunk(1, n), sign(s) {}
  68
  69         number(const std::string& str);
  70
  71         // Operadores
  72         number& operator++ ()
  73         {
  74                 carry(0);
  75                 return *this;
  76         }
  77
  78         number& operator+=  (const number& n);
  79         number& operator*=  (const number& n);
  80         number& operator<<= (const size_type n);
  81         number& operator-=  (const number& n);
  82         bool    operator<   (const number& n) const;
  83         bool    operator==  (const number& n) const;
  84
  85         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  86         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  87         native_type& operator[] (size_type i)
  88         {
  89                 return chunk[i];
  90         }
  91
  92         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  93         iterator begin() { return chunk.begin(); }
  94         iterator end() { return chunk.end(); }
  95         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
  96         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
  97         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
  98         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
  99         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 100         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 101
 102         // Friends
 103         template < typename NN, typename EE >
 104         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 105
 106         // Atributos
 107         //private:
 108         mutable chunk_type chunk;
 109         sign_type sign;
 110
 111         // Helpers
 112         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 113         // números con (low, high)
 114         std::pair< number, number > split() const;
 115         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 116         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 117         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 118         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 119         // carry)
 120         void carry(size_type i)
 121         {
 122                 if (chunk.size() > i)
 123                 {
 124                         ++chunk[i];
 125                         if (chunk[i] == 0)
 126                                 carry(i+1); // Overflow
 127                 }
 128                 else
 129                         chunk.push_back(1);
 130         }
 131         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i
 132         // propagando borrow)
 133         void borrow(size_type i)
 134         {
 135                 // para poder pedir prestado debo tener uno a la izquierda
 136                 assert (chunk.size() >= i);
 137
 138                 if (chunk[i] == 0)
 139                 {
 140                         borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 141                         chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 142                 }
 143                 else
 144                 {
 145                         --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 146                 }
 147         }
 148         // Verifica si es un número par
 149         bool es_impar() const
 150         {
 151                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 152         }
 153         // Divide por 2.
 154         number dividido_dos() const
 155         {
 156                 number n = *this;
 157                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 158                 bool msb = 0; // bit más significativo
 159                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 160                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 161                 {
 162                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 163                         *i >>= 1;     // shift
 164                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 165                         if (msb)
 166                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 167                         msb = lsb;
 168                 }
 169                 return n;
 170         }
 171
 172 };
 173
 174 template < typename N, typename E >
 175 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 176 {
 177         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 178         E increment = 0;
 179         E acum = 0;
 180
 181         unsigned length = origen.length();
 182         unsigned number_offset = 0;
 183
 184         while (number_offset<length)
 185         {
 186                 // si encuentro un signo + ó - corto
 187                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 188                         break;
 189
 190                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 191                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 192                 {
 193                         chunk.push_back(acum);
 194                 }
 195
 196         }
 197
 198
 199 }
 200
 201 template < typename N, typename E >
 202 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 203 {
 204         // Si tienen distinto signo, restamos...
 205         if (sign != n.sign)
 206         {
 207                 if (sign == positive) // n es negativo
 208                 {
 209                         number< N, E > tmp = n;
 210                         tmp.sign = positive;
 211                         *this -= tmp;
 212                 }
 213                 else // n es positivo, yo negativo
 214                 {
 215                         sign = positive;
 216                         *this = n - *this;
 217                 }
 218                 return *this;
 219         }
 220
 221         native_type c = 0;
 222         size_type ini = 0;
 223         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 224         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 225
 226         // "intersección" entre ambos chunks
 227         // +-----+-----+------+------+
 228         // |     |     |      |      | <--- mio
 229         // +-----+-----+------+------+
 230         // +-----+-----+------+
 231         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 232         // +-----+-----+------+
 233         //
 234         // |------------------|
 235         // Esto se procesa en este for
 236         for (i = ini; i < fin; ++i)
 237         {
 238                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 239                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 240                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 241                         c = 1; // Overflow
 242                 else
 243                         c = 0; // OK
 244         }
 245
 246         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 247         // propagar el carry
 248         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 249         {
 250                 if (c)
 251                         carry(fin); // Propago carry
 252                 return *this;
 253         }
 254
 255         // Hay más
 256         // +-----+-----+------+
 257         // |     |     |      |         <--- mío
 258         // +-----+-----+------+
 259         // +-----+-----+------+------+
 260         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 261         // +-----+-----+------+------+
 262         //
 263         //                    |------|
 264         //            Esto se procesa en este for
 265         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 266         ini = fin;
 267         fin = n.chunk.size();
 268         for (i = ini; i < fin; ++i)
 269         {
 270                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 271                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 272                         c = 0; // OK
 273                 else
 274                         c = 1; // Overflow
 275         }
 276
 277         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 278         // más al chunk.
 279         if (c)
 280                 chunk.push_back(1); // Último carry
 281
 282         return *this;
 283 }
 284
 285 template < typename N, typename E >
 286 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 287 {
 288         number< N, E > tmp = n1;
 289         tmp += n2;
 290         return tmp;
 291 }
 292
 293 template < typename N, typename E >
 294 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 295 {
 296         // minuendo - substraendo
 297         number< N, E > minuend;
 298         number< N, E > subtrahend;
 299
 300         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 301         if (*this < n)
 302         {
 303                 minuend = n;
 304                 subtrahend = *this;
 305                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 306                 minuend.sign = negative;
 307         }
 308         else
 309         {
 310                 minuend = *this;
 311                 subtrahend = n;
 312                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 313                 minuend.sign = positive;
 314         }
 315
 316         size_type ini = 0;
 317         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 318         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 319
 320         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el
 321         //size del menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que
 322         //esté lleno de 0's pero no puede ser realmente mayor como cifra
 323         for (i = ini; i < fin; ++i)
 324         {
 325                 // si no alcanza para restar pido prestado
 326                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 327                 {
 328                         // no puedo pedir si soy el más significativo ...
 329                         assert (i != fin);
 330
 331                         // le pido uno al que me sigue
 332                         minuend.borrow(i+1);
 333                 }
 334
 335                 // es como hacer 24-5: el 4 pide prestado al 2 (borrow(i+1)) y
 336                 // después se hace 4 + (9-5) + 1
 337
 338                 minuend.chunk[i] += (~((N)0) - subtrahend.chunk[i]) + 1;
 339         }
 340
 341         //retorno el minuendo ya restado
 342         *this = minuend;
 343         return *this;
 344 }
 345
 346 template < typename N, typename E >
 347 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 348 {
 349         number< N, E > tmp = n1;
 350         tmp -= n2;
 351         return tmp;
 352 }
 353
 354
 355 template < typename N, typename E >
 356 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n) const
 357 {
 358         if (sign != n.sign)
 359         {
 360                 if (sign == positive) // yo positivo, n negativo
 361                         return false; // yo soy más grande
 362                 else // yo negagivo, n positivo
 363                         return true; // n es más grande
 364         }
 365
 366         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 367
 368         if (chunk.size() > n.chunk.size()) // yo tengo más elementos
 369         {
 370                 // Recorro los bytes más significativos (que tengo sólo yo)
 371                 for (i = n.chunk.size(); i < chunk.size(); ++i)
 372                 {
 373                         if (chunk[i] != 0) // Si tengo algo distinto a 0
 374                         {
 375                                 return false; // Entonces soy más grande
 376                         }
 377                 }
 378         }
 379         else if (chunk.size() < n.chunk.size()) // n tiene más elementos
 380         {
 381                 // Recorro los bytes más significativos (que tiene sólo n)
 382                 for (i = chunk.size(); i < n.chunk.size(); ++i)
 383                 {
 384                         if (chunk[i] != 0) // Si n tiene algo distinto a 0
 385                         {
 386                                 return true; // Entonces soy más chico
 387                         }
 388                 }
 389         }
 390         // sigo con la intersección de ambos
 391         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 392         i = fin;
 393         while (i != 0) {
 394                 --i;
 395
 396                 if (chunk[i] < n.chunk[i]) // Si es menor
 397                 {
 398                         return true;
 399                 }
 400                 else if (chunk[i] > n.chunk[i]) // Si es mayor
 401                 {
 402                         return false;
 403                 }
 404                 // Si es igual tengo que seguir viendo
 405         }
 406
 407         return false; // Son iguales
 408 }
 409
 410 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros
 411 // menos significativos
 412 template < typename N, typename E >
 413 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 414 {
 415         size_type i;
 416         for (i = 0; i < n; i++)
 417         {
 418                 chunk.push_front(0);
 419         }
 420         return *this;
 421 }
 422
 423 template < typename N, typename E >
 424 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 425 {
 426         number< N, E > tmp = n;
 427         tmp <<= m;
 428         return tmp;
 429 }
 430
 431 template < typename NN, typename EE >
 432 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE >& n)
 433 {
 434         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 435         if (n.sign == positive)
 436                 os << "+ ";
 437         else
 438                 os << "- ";
 439         typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 440         typename number< NN, EE >::const_reverse_iterator end = n.chunk.rend();
 441         for (; i != end; ++i)
 442                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(NN) * 2) << std::hex
 443                         << *i << " ";
 444         return os;
 445 }
 446
 447 template < typename N, typename E >
 448 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 449 {
 450         if (sign != n.sign)
 451         {
 452                 return false;
 453         }
 454
 455         size_type ini = 0;
 456         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 457         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 458
 459         // "intersección" entre ambos chunks
 460         // +-----+-----+------+------+
 461         // |     |     |      |      | <--- mio
 462         // +-----+-----+------+------+
 463         // +-----+-----+------+
 464         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 465         // +-----+-----+------+
 466         //
 467         // |------------------|
 468         // Esto se procesa en este for
 469         for (i = ini; i < fin; ++i)
 470         {
 471                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 472                 {
 473                         return false;
 474                 }
 475         }
 476
 477         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 478         // ver si el resto es cero.
 479         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 480         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 481         {
 482                 chunk_grande = &chunk;
 483                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 484         }
 485         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 486         {
 487                 chunk_grande = &n.chunk;
 488                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 489         }
 490
 491         // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 492         if (chunk_grande)
 493         {
 494                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 495                 {
 496                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 497                         {
 498                                 return false;
 499                         }
 500                 }
 501         }
 502         return true; // Son iguales
 503 }
 504
 505 template < typename N, typename E >
 506 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 507 {
 508         *this = naif(*this, n);
 509         return *this;
 510 }
 511
 512 template < typename N, typename E >
 513 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 514 {
 515         return naif(n1, n2);
 516 }
 517
 518 template < typename N, typename E >
 519 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 520 {
 521         typedef number< N, E > num_type;
 522         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 523         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 524         typename num_type::size_type i = 0;
 525
 526         // vacío las mitades
 527         std::pair< num_type, num_type > par;
 528
 529         // la primera mitad va al pedazo inferior
 530         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 531         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 532         {
 533                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 534         }
 535
 536         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 537         // mitad) va al pedazo superior
 538         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 539         for (i++ ; i < full_size; i++)
 540         {
 541                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 542         }
 543         return par;
 544 }
 545
 546
 547 // Lleva los tamaños de chunk a la potencia de 2 más cercana, eliminando o
 548 // agregando ceros.
 549 template < typename N, typename E >
 550 void normalize_length(const number< N, E >& u, const number< N, E >& v)
 551 {
 552         typename number< N, E >::size_type max, p, t, pot2, size_u, size_v;
 553
 554         // Busco el primer chunk no nulo de u
 555         for (size_u = u.chunk.size() - 1; size_u != 0; --size_u)
 556                 if (u.chunk[size_u] != 0)
 557                         break;
 558         size_u++;
 559
 560         // Busco el primer chunk no nulo de v
 561         for (size_v = v.chunk.size() - 1; size_v != 0; --size_v)
 562                 if (v.chunk[size_v] != 0)
 563                         break;
 564         size_v++;
 565
 566         max = std::max(size_u, size_v);
 567
 568         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 569          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 570         t = max;
 571         p = 0;
 572         while ((1u << p) < max)
 573                 p++;
 574
 575         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 576         pot2 = 1 << p;
 577
 578         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 579          * completar sus tamaños. */
 580         u.chunk.resize(pot2, 0);
 581         v.chunk.resize(pot2, 0);
 582 }
 583
 584
 585 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 586 template < typename N, typename E >
 587 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 588 {
 589         typedef number< N, E > num_type;
 590
 591         normalize_length(u, v);
 592
 593         /* como acabo de normalizar los tamaños son iguales */
 594         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 595
 596         sign_type sign;
 597
 598         if (u.sign == v.sign) {
 599                 sign = positive;
 600         } else {
 601                 sign = negative;
 602         }
 603
 604         if (chunk_size == 1)
 605         {
 606                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 607                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 608                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 609                  * de N, ni mas ni menos).
 610                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 611                  * buffer. Si, es feo.
 612                  */
 613                 E tmp;
 614                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 615                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 616                 return tnum;
 617         }
 618
 619         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 620         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 621
 622         /* m11 = u1*v1
 623          * m12 = u1*v2
 624          * m21 = u2*v1
 625          * m22 = u2*v2
 626          */
 627         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 628         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 629         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 630         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 631
 632         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 633          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 634          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 635          */
 636         num_type res;
 637         res = m22 << chunk_size;
 638         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 639         res = res + m11;
 640         res.sign = sign;
 641         return res;
 642 }
 643
 644
 645 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 646  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 647  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 648  */
 649 template < typename N, typename E >
 650 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 651 {
 652         typedef number< N, E > num_type;
 653
 654         normalize_length(u, v);
 655
 656         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 657
 658         sign_type sign;
 659
 660         if (u.sign == v.sign) {
 661                 sign = positive;
 662         } else {
 663                 sign = negative;
 664         }
 665
 666         if (chunk_size == 1) {
 667                 E tmp;
 668                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 669                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 670                 return tnum;
 671         }
 672
 673         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 674         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 675
 676         /* Aca esta la gracia de toda la cuestion:
 677          * m = u1*v1
 678          * d = u2*v2
 679          * h = (u1+u2)*(v1+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 680          *
 681          * h - d - m = u1*v2+u2*v1
 682          * u1*v1 << base^N  +  u1*v2+u2*v1 << base^(N/2)  +  u2*v2
 683          * m << base^N  +  (h - d - m) << base^(N/2)  +  d
 684         */
 685         num_type m = karatsuba(u12.first, v12.first);
 686         num_type d = karatsuba(u12.second, v12.second);
 687
 688         num_type sumfst = u12.first + u12.second;
 689         num_type sumsnd = v12.first + v12.second;
 690         num_type h = karatsuba(sumfst, sumsnd);
 691
 692         num_type res, tmp;
 693
 694         /* tmp = h - d - m */
 695         normalize_length(h, d);
 696         tmp = h - d;
 697         normalize_length(tmp, m);
 698         tmp = tmp - m;
 699
 700         /* Resultado final */
 701         res = d << chunk_size;
 702         res += tmp << (chunk_size / 2);
 703         res += m;
 704         res.sign = sign;
 705
 706         return res;
 707 }
 708
 709
 710 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 711  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 712  */
 713 template < typename N, typename E >
 714 number < N, E > pot_ko(number< N, E > &u, number< N, E > &v)
 715 {
 716         assert(v.sign == positive);
 717         number< N, E > res, i;
 718
 719         res = u;
 720         res.sign = u.sign;
 721
 722         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 723                 res = karatsuba(res, u);
 724         }
 725
 726         return res;
 727 }
 728
 729 /* Potenciacion usando división y conquista.
 730  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 731  *
 732  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 733  * pot(x, y):
 734  *      if y == 1:
 735  *              return x
 736  *      res = pot(x, y/2)
 737  *      res = res * res
 738  *      if y es impar:
 739  *              res = res * x
 740  *      return res
 741  *
 742  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 743  *
 744  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 745  *
 746  *                      1 3
 747  *                   _/  |  \_
 748  *                 _/    |    \_
 749  *                /      |      \
 750  *               6       1       6
 751  *             /   \           /   \
 752  *            /     \         /     \
 753  *           3       3       3       3
 754  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 755  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 756  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 757  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 758  *
 759  */
 760 template < typename N, typename E >
 761 number< N, E > pot_dyc_n(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 762 {
 763         assert(y.sign == positive);
 764         if (y == number< N, E >(1))
 765         {
 766                 return x;
 767         }
 768         number< N, E > res = pot_dyc_n(x, y.dividido_dos());
 769         res = naif(res, res);
 770         if (y.es_impar())
 771         {
 772                 res = naif(res, x); // Multiplico por el x que falta
 773         }
 774         return res;
 775 }
 776
 777 /* Idem que pot_dyc_n(), pero usa karatsuba() para las multiplicaciones. */
 778 template < typename N, typename E >
 779 number< N, E > pot_dyc_k(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 780 {
 781         assert(y.sign == positive);
 782         if (y == number< N, E >(1))
 783         {
 784                 return x;
 785         }
 786         number< N, E > res = pot_dyc_k(x, y.dividido_dos());
 787         res = karatsuba(res, res);
 788         if (y.es_impar())
 789         {
 790                 res = karatsuba(res, x);
 791         }
 792         return res;
 793 }
 794