src/number.h

   1 #ifdef _WIN32
   2 // min y max entran en conflicto con la windows.h, son rebautizadas en Windows
   3 #define min _cpp_min
   4 #define max _cpp_max
   5 #endif
   6
   7 #ifdef DEBUG
   8 #include <iostream>
   9 #endif
  10
  11 #include <deque>
  12 #include <utility>
  13 #include <algorithm>
  14 #include <iomanip>
  15 #include <cassert>
  16
  17 #ifdef _WIN32
  18 // VC++ no tiene la stdint.h, se agrega a mano
  19 #include "stdint.h"
  20 #else
  21 #include <stdint.h>
  22 #endif
  23
  24 enum sign_type { positive, negative };
  25
  26
  27 /* sizeof(E) tiene que ser 2*sizeof(N); y son los tipos nativos con los cuales
  28  * se haran las operaciones mas basicas. */
  29
  30 template < typename N, typename E >
  31 struct number;
  32
  33 template < typename N, typename E >
  34 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n);
  35
  36 template < typename N = uint32_t, typename E = uint64_t >
  37 struct number
  38 {
  39
  40         // Tipos
  41         typedef N native_type;
  42         typedef E extended_type;
  43         typedef typename std::deque< native_type > chunk_type;
  44         typedef typename chunk_type::size_type size_type;
  45         typedef typename chunk_type::iterator iterator;
  46         typedef typename chunk_type::const_iterator const_iterator;
  47         typedef typename chunk_type::reverse_iterator reverse_iterator;
  48         typedef typename chunk_type::const_reverse_iterator const_reverse_iterator;
  49
  50         // Constructores (después de construído, el chunk siempre tiene al
  51         // menos un elemento).
  52         // Constructor default (1 'átomo con valor 0)
  53         number(): chunk(1, 0) {
  54                 sign = positive;
  55         }
  56
  57         // Constructor a partir de buffer (de 'átomos') y tamaño
  58         // Copia cada elemento del buffer como un 'átomo' del chunk
  59         // (el átomo menos significativo es el chunk[0] == buf[0])
  60         number(native_type* buf, size_type len, sign_type s = positive):
  61                 chunk(buf, buf + len)
  62         {
  63                 sign = s;
  64                 fix_empty();
  65         }
  66
  67         // Constructor a partir de un 'átomo' (lo asigna como único elemento
  68         // del chunk). Copia una vez N en el vector.
  69         number(native_type n, sign_type s = positive):
  70                 chunk(1, n)
  71         {
  72                 sign = s;
  73         }
  74
  75         number(const std::string& str);
  76
  77         // Operadores
  78         number& operator++ ()
  79         {
  80                 carry(0);
  81                 return *this;
  82         }
  83
  84         number& operator+= (const number& n);
  85         number& operator*= (const number& n);
  86         number& operator<<= (const size_type n);
  87         number& operator-= (const number& n);
  88         bool    operator< (const number& n);
  89         bool    operator==(const number& n) const;
  90
  91         // Devuelve referencia a 'átomo' i del chunk (no debería ser necesario
  92         // si la multiplicación es un método de este objeto).
  93         native_type& operator[] (size_type i)
  94         {
  95                 return chunk[i];
  96         }
  97
  98         // Iteradores (no deberían ser necesarios)
  99         iterator begin() { return chunk.begin(); }
 100         iterator end() { return chunk.end(); }
 101         const_iterator begin() const { return chunk.begin(); }
 102         const_iterator end() const { return chunk.end(); }
 103         reverse_iterator rbegin() { return chunk.rbegin(); }
 104         reverse_iterator rend() { return chunk.rend(); }
 105         const_reverse_iterator rbegin() const { return chunk.rbegin(); }
 106         const_reverse_iterator rend() const { return chunk.rend(); }
 107
 108         // Friends
 109         template < typename NN, typename EE >
 110         friend std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< NN, EE>& n);
 111
 112         // Atributos
 113         //private:
 114         chunk_type chunk;
 115         sign_type sign;
 116
 117         // Helpers
 118         // parte un número en dos mitades de misma longitud, devuelve un par de
 119         // números con (low, high)
 120         std::pair< number, number > split() const;
 121         // Pone un chunk en 0 para que sea un invariante de representación que
 122         // el chunk no sea vacío (siempre tenga la menos un elemento).
 123         void fix_empty() { if (!chunk.size()) chunk.push_back(0); }
 124         // Propaga carry a partir del 'átomo' i (suma 1 al 'átomo' i propagando
 125         // carry)
 126         void carry(size_type i)
 127         {
 128                 if (chunk.size() > i)
 129                 {
 130                         ++chunk[i];
 131                         if (chunk[i] == 0)
 132                                 carry(i+1); // Overflow
 133                 }
 134                 else
 135                         chunk.push_back(1);
 136         }
 137         // Propaga borrow a partir del 'átomo' i (resta 1 al 'átomo' i propagando
 138         // borrow)
 139         void borrow(size_type i)
 140         {
 141                 if (chunk.size() >= i)
 142                 {
 143                         if (chunk[i] == 0)
 144                         {
 145                                 borrow(i+1); // Overflow, pido prestado
 146                                 chunk[i] = ~((N)0); //quedo con el valor máximo
 147                         }
 148                         else
 149                         {
 150                                 --chunk[i]; //tengo para dar, pero pierdo uno yo
 151                         }
 152                 }
 153                 //else ERROR, están haciendo a-b con a>b
 154         }
 155         // Verifica si es un número par
 156         bool es_impar() const
 157         {
 158                 return chunk[0] & 1; // Bit menos significativo
 159         }
 160         // Divide por 2.
 161         number dividido_dos() const
 162         {
 163                 number n = *this;
 164                 bool lsb = 0; // bit menos significativo
 165                 bool msb = 0; // bit más significativo
 166                 for (typename chunk_type::reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 167                                 i != n.chunk.rend(); ++i)
 168                 {
 169                         lsb = *i & 1; // bit menos significativo
 170                         *i >>= 1;     // shift
 171                         // seteo bit más significativo de ser necesario
 172                         if (msb)
 173                                 *i |= 1 << (sizeof(native_type) * 8 - 1);
 174                         msb = lsb;
 175                 }
 176                 return n;
 177         }
 178
 179 };
 180
 181 template < typename N, typename E >
 182 number< N, E >::number(const std::string& origen)
 183 {
 184         const N MAX_N = (~( (N)0 ) );
 185         E increment = 0;
 186         E acum = 0;
 187
 188         unsigned length = origen.length();
 189         unsigned number_offset = 0;
 190
 191         while (number_offset<length)
 192         {
 193                 // si encuentro un signo + ó - corto
 194                 if (!isdigit(origen[length-number_offset-1]))
 195                         break;
 196
 197                 increment = (10*number_offset)*(origen[length-number_offset-1]-'0');
 198                 if ((acum + increment) > MAX_N)
 199                 {
 200                         chunk.push_back(acum);
 201                 }
 202
 203         }
 204
 205
 206 }
 207
 208 template < typename N, typename E >
 209 number< N, E >& number< N, E >::operator+= (const number< N, E >& n)
 210 {
 211         // Si tienen distinto signo, restamos...
 212         if (sign != n.sign)
 213         {
 214                 if (sign == positive) // n es negativo
 215                 {
 216                         number< N, E > tmp = n;
 217                         tmp.sign = positive;
 218                         *this -= tmp;
 219                 }
 220                 else // n es positivo, yo negativo
 221                 {
 222                         sign = positive;
 223                         *this = n - *this;
 224                 }
 225                 return *this;
 226         }
 227
 228         native_type c = 0;
 229         size_type ini = 0;
 230         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 231         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 232
 233         // "intersección" entre ambos chunks
 234         // +-----+-----+------+------+
 235         // |     |     |      |      | <--- mio
 236         // +-----+-----+------+------+
 237         // +-----+-----+------+
 238         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 239         // +-----+-----+------+
 240         //
 241         // |------------------|
 242         // Esto se procesa en este for
 243         for (i = ini; i < fin; ++i)
 244         {
 245                 chunk[i] += n.chunk[i] + c;
 246                 if ((chunk[i] < n.chunk[i]) || \
 247                                 ( (n.chunk[i] == 0) && c && (chunk[i] == 0) ))
 248                         c = 1; // Overflow
 249                 else
 250                         c = 0; // OK
 251         }
 252
 253         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 254         // propagar el carry
 255         if (chunk.size() >= n.chunk.size())
 256         {
 257                 if (c)
 258                         carry(fin); // Propago carry
 259                 return *this;
 260         }
 261
 262         // Hay más
 263         // +-----+-----+------+
 264         // |     |     |      |         <--- mío
 265         // +-----+-----+------+
 266         // +-----+-----+------+------+
 267         // |     |     |      |      |  <--- chunk de n
 268         // +-----+-----+------+------+
 269         //
 270         //                    |------|
 271         //            Esto se procesa en este for
 272         // (suma los chunks de n propagando algún carry si lo había)
 273         ini = fin;
 274         fin = n.chunk.size();
 275         for (i = ini; i < fin; ++i)
 276         {
 277                 chunk.push_back(n.chunk[i] + c); // Agrego nuevo átomo
 278                 if (chunk[i] != 0 || !c)
 279                         c = 0; // OK
 280                 else
 281                         c = 1; // Overflow
 282         }
 283
 284         // Si me queda algún carry colgado, hay que agregar un "átomo"
 285         // más al chunk.
 286         if (c)
 287                 chunk.push_back(1); // Último carry
 288
 289         return *this;
 290 }
 291
 292 template < typename N, typename E >
 293 number< N, E > operator+ (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 294 {
 295         number< N, E > tmp = n1;
 296         tmp += n2;
 297         return tmp;
 298 }
 299
 300 template < typename N, typename E >
 301 number< N, E >& number< N, E >::operator-= (const number< N, E >& n)
 302 {
 303         // minuendo - substraendo
 304         number< N, E > minuend;
 305         number< N, E > subtrahend;
 306
 307         // voy a hacer siempre el mayor menos el menor
 308         if (*this < n)
 309         {
 310                 minuend = n;
 311                 subtrahend = *this;
 312                 //minuendo < sustraendo => resultado negativo
 313                 minuend.sign = negative;
 314         }
 315         else
 316         {
 317                 minuend = *this;
 318                 subtrahend = n;
 319                 //minuendo > sustraendo => resultado positivo
 320                 minuend.sign = positive;
 321         }
 322
 323         size_type ini = 0;
 324         size_type fin = std::min(minuend.chunk.size(), subtrahend.chunk.size());
 325         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 326
 327         //estoy seguro de que minuend > subtrahend, con lo cual itero hasta el size del
 328         //menor de los dos. Si el otro es más grande, puede ser que esté lleno de 0's pero
 329         //no puede ser realmente mayor como cifra
 330         for (i = ini; i < fin; ++i)
 331         {
 332                 // si no alcanza para restar pido prestado
 333                 if ((minuend.chunk[i] < subtrahend.chunk[i]))
 334                 {
 335                         minuend.borrow(i);
 336                 }
 337
 338                 // resto el chunk i-ésimo
 339                 minuend.chunk[i] -= subtrahend.chunk[i];
 340         }
 341
 342         //retorno el minuendo ya restado
 343         *this = minuend;
 344         return *this;
 345 }
 346
 347 template < typename N, typename E >
 348 number< N, E > operator- (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 349 {
 350         number< N, E > tmp = n1;
 351         tmp -= n2;
 352         return tmp;
 353 }
 354
 355
 356 template < typename N, typename E >
 357 bool number< N, E >::operator< (const number< N, E >& n)
 358 {
 359         number< N, E > n1 = *this;
 360         number< N, E > n2 = n;
 361
 362         // igualo los largos
 363         normalize_length(n1, n2);
 364
 365         // obtengo el largo
 366         size_type length = n1.chunk.size();
 367         size_type i = length - 1;
 368
 369         // me voy fijando desde "la cifra" más significativa si alguno es menor que el otro
 370         // sigo iterando si son iguales hasta recorrer todo el número hasta la parte menos significativa
 371         while (i > 0)
 372         {
 373                 if (n1[i]<n2[i])
 374                         return true;
 375                 if (n1[i]>n2[i])
 376                         return false;
 377
 378                 i--;
 379         }
 380
 381         // si llegué hasta acá es porque son iguales, por lo tanto no es menor estricto
 382         return false;
 383
 384 }
 385
 386 // efectúa un shifteo a izquierda del chunk, agregando 0s en los casilleros menos significativos
 387 template < typename N, typename E >
 388 number< N, E >& number< N, E >::operator<<= (size_type n)
 389 {
 390         size_type i;
 391         for (i = 0; i < n; i++)
 392         {
 393                 chunk.push_front(0);
 394         }
 395         return *this;
 396 }
 397
 398 template < typename N, typename E >
 399 number< N, E > operator<< (const number< N, E >& n, typename number< N, E >::size_type m)
 400 {
 401         number< N, E > tmp = n;
 402         tmp <<= m;
 403         return tmp;
 404 }
 405
 406 template < typename N, typename E >
 407 std::ostream& operator<< (std::ostream& os, const number< N, E >& n)
 408 {
 409         // FIXME sacar una salida bonita en ASCII =)
 410         if (n.sign == positive)
 411                 os << "+ ";
 412         else
 413                 os << "- ";
 414         for (typename number< N, E >::const_reverse_iterator i = n.chunk.rbegin();
 415                         i != n.chunk.rend(); ++i)
 416                 os << std::setfill('0') << std::setw(sizeof(N) * 2) << std::hex
 417                         << *i << " ";
 418         return os;
 419 }
 420
 421 template < typename N, typename E >
 422 bool number< N, E >::operator==(const number< N, E >& n) const
 423 {
 424         if (sign != n.sign)
 425         {
 426                 return false;
 427         }
 428
 429         size_type ini = 0;
 430         size_type fin = std::min(chunk.size(), n.chunk.size());
 431         size_type i; //problema de VC++, da error de redefinición
 432
 433         // "intersección" entre ambos chunks
 434         // +-----+-----+------+------+
 435         // |     |     |      |      | <--- mio
 436         // +-----+-----+------+------+
 437         // +-----+-----+------+
 438         // |     |     |      |        <--- chunk de n
 439         // +-----+-----+------+
 440         //
 441         // |------------------|
 442         // Esto se procesa en este for
 443         for (i = ini; i < fin; ++i)
 444         {
 445                 if (chunk[i] != n.chunk[i])
 446                 {
 447                         return false;
 448                 }
 449         }
 450
 451         // si mi chunk es más grande que el del otro, sólo me queda
 452         // ver si el resto es cero.
 453         chunk_type const *chunk_grande = 0;
 454         if (chunk.size() > n.chunk.size())
 455         {
 456                 chunk_grande = &chunk;
 457                 fin = chunk.size() - n.chunk.size();
 458         }
 459         else if (chunk.size() < n.chunk.size())
 460         {
 461                 chunk_grande = &n.chunk;
 462                 fin = n.chunk.size() - chunk.size();
 463         }
 464         if (chunk_grande) // Si tienen tamaños distintos, vemos que el resto sea cero.
 465         {
 466                 for (; i < fin; ++i) // Sigo desde el i que había quedado
 467                 {
 468                         if ((*chunk_grande)[i] != 0)
 469                         {
 470                                 return false;
 471                         }
 472                 }
 473         }
 474         return true; // Son iguales
 475 }
 476
 477 template < typename N, typename E >
 478 number< N, E >& number< N, E >::operator*= (const number< N, E >& n)
 479 {
 480         //number < N, E > r_op = n;
 481         //normalize_length(n);
 482         //n.normalize_length(*this);
 483         *this = naif(*this, n);
 484         return *this;
 485 }
 486
 487 template < typename N, typename E >
 488 number< N, E > operator* (const number< N, E >& n1, const number< N, E >& n2)
 489 {
 490         return naif(n1, n2);
 491 }
 492
 493 template < typename N, typename E >
 494 std::pair< number< N, E >, number< N, E > > number< N, E >::split() const
 495 {
 496         typedef number< N, E > num_type;
 497         typename num_type::size_type full_size = chunk.size();
 498         typename num_type::size_type halves_size = full_size / 2;
 499         typename num_type::size_type i = 0;
 500
 501         // vacío las mitades
 502         std::pair< num_type, num_type > par;
 503
 504         // la primera mitad va al pedazo inferior
 505         par.first.chunk[0] = chunk[0];
 506         for (i = 1; i < halves_size; i++)
 507         {
 508                 par.first.chunk.push_back(chunk[i]);
 509         }
 510
 511         // la segunda mitad (si full_size es impar es 1 más que la primera
 512         // mitad) va al pedazo superior
 513         par.second.chunk[0] = chunk[i];
 514         for (i++ ; i < full_size; i++)
 515         {
 516                 par.second.chunk.push_back(chunk[i]);
 517         }
 518         return par;
 519 }
 520
 521
 522 template < typename N, typename E >
 523 void normalize_length(number< N, E >& u, number< N, E >& v)
 524 {
 525         typedef number< N, E > num_type;
 526         typename num_type::size_type max, p, t, pot2;
 527
 528         max = std::max(u.chunk.size(), v.chunk.size());
 529
 530         /* Buscamos hacer crecer a ambos a la potencia de 2 mas proxima; para
 531          * lo cual la obtenemos y guardamos en p. */
 532         t = max;
 533         p = 0;
 534         while (t != 0) {
 535                 t = t >> 1;
 536                 p++;
 537         }
 538
 539         /* Ahora guardamos en pot2 el tamaño que deben tener. */
 540         pot2 = 1 << p;
 541
 542         /* Y finalmente hacemos crecer los dos numeros agregando 0s hasta
 543          * completar sus tamaños. */
 544         while (u.chunk.size() < pot2)
 545                 u.chunk.push_back(0);
 546
 547         while (v.chunk.size() < pot2)
 548                 v.chunk.push_back(0);
 549
 550         return;
 551 }
 552
 553
 554 /* Algoritmo "naif" (por no decir "cabeza" o "bruto") de multiplicacion. */
 555 template < typename N, typename E >
 556 number < N, E > naif(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 557 {
 558         typedef number< N, E > num_type;
 559
 560         // tomo el chunk size de u (el de v DEBE ser el mismo)
 561         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 562
 563         sign_type sign;
 564
 565         if (u.sign == v.sign) {
 566                 sign = positive;
 567         } else {
 568                 sign = negative;
 569         }
 570
 571         //printf("naif %d %d\n", u.chunk.size(), v.chunk.size() );
 572
 573         if (chunk_size == 1)
 574         {
 575                 /* Si llegamos a multiplicar dos de tamaño 1, lo que hacemos
 576                  * es usar la multiplicacion nativa del tipo N, guardando el
 577                  * resultado en el tipo E (que sabemos es del doble de tamaño
 578                  * de N, ni mas ni menos).
 579                  * Luego, armamos un objeto number usando al resultado como
 580                  * buffer. Si, es feo.
 581                  */
 582                 E tmp;
 583                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 584                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 585                 //std::cout << "T:" << tnum << " " << tmp << "\n";
 586                 //printf("1: %lu %lu %llu\n", u.chunk[0], v.chunk[0], tmp);
 587                 return tnum;
 588         }
 589
 590         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 591         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 592
 593         //std::cout << "u:" << u12.first << " - " << u12.second << "\n";
 594         //std::cout << "v:" << v12.first << " - " << v12.second << "\n";
 595
 596         /* m11 = u1*v1
 597          * m12 = u1*v2
 598          * m21 = u2*v1
 599          * m22 = u2*v2
 600          */
 601         num_type m11 = naif(u12.first, v12.first);
 602         num_type m12 = naif(u12.first, v12.second);
 603         num_type m21 = naif(u12.second, v12.first);
 604         num_type m22 = naif(u12.second, v12.second);
 605
 606         /*
 607         printf("csize: %d\n", chunk_size);
 608         std::cout << "11 " << m11 << "\n";
 609         std::cout << "12 " << m12 << "\n";
 610         std::cout << "21 " << m21 << "\n";
 611         std::cout << "22 " << m22 << "\n";
 612         */
 613
 614         /* u*v = (u1*v1) * 2^n + (u1*v2 + u2*v1) * 2^(n/2) + u2*v2
 615          * PERO! Como los numeros estan "al reves" nos queda:
 616          *     = m22 * 2^n + (m12 + m21) * 2^(n/2) + m11
 617          * FIXME: seria mejor hacer el acomode en la llamada a naif arriba?
 618          */
 619         num_type res;
 620         res = m22 << chunk_size;
 621         res = res + ((m12 + m21) << (chunk_size / 2));
 622         res = res + m11;
 623         res.sign = sign;
 624         /*
 625         std::cout << "r: " << res << "\n";
 626         std::cout << "\n";
 627         */
 628         return res;
 629 }
 630
 631
 632 /* Algoritmo de multiplicacion de Karatsuba-Ofman
 633  * Ver los comentarios del algoritmo naif, es practicamente identico salvo en
 634  * los calculos numericos que se especifican debajo.
 635  */
 636 template < typename N, typename E >
 637 number < N, E > karatsuba(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 638 {
 639         typedef number< N, E > num_type;
 640
 641         typename num_type::size_type chunk_size = u.chunk.size();
 642
 643         sign_type sign;
 644
 645         if (u.sign == v.sign) {
 646                 sign = positive;
 647         } else {
 648                 sign = negative;
 649         }
 650
 651         if (chunk_size == 1) {
 652                 E tmp;
 653                 tmp = static_cast< E >(u.chunk[0]) * static_cast< E >(v.chunk[0]);
 654                 num_type tnum = num_type(reinterpret_cast< N* >(&tmp), 2, sign);
 655                 return tnum;
 656         }
 657
 658         std::pair< num_type, num_type > u12 = u.split();
 659         std::pair< num_type, num_type > v12 = v.split();
 660
 661         // Los nombres M, D y H los puso Rosita en clase, cambiar si se les
 662         // ocurren algunos mejores!
 663         // m = u1*v1
 664         // d = u2*v2
 665         // h = (u1+v1)*(u2+v2) = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2
 666         num_type m = karastuba(u12.second, v12.second);
 667         num_type d = karastuba(u12.first, v12.first);
 668         num_type h = karastuba(u12.second + v12.second,
 669                         u12.first + v12.first);
 670
 671         // H-D-M = u1*u2+u1*v2+u2*v1+u2*v2 - u2*v2 - u1*v1 = u1*v2+u2*v1
 672         // u1*v1 << base^N + u1*v2+u2*v1 << base^N/2 + u2*v2
 673         num_type res;
 674         res = (m << chunk_size) + ((h - d - m) << (chunk_size / 2) ) + h;
 675         res.sign = sign;
 676         return res;
 677 }
 678
 679
 680 /* Potenciacion usando multiplicaciones sucesivas.
 681  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 682  */
 683 template < typename N, typename E >
 684 number < N, E > pot_ko(const number< N, E > &u, const number< N, E > &v)
 685 {
 686         assert(v.sign == positive);
 687         number< N, E > res, i;
 688
 689         res = u;
 690         res.sign = u.sign;
 691
 692         for (i = 1; i < v; i += 1) {
 693                 res *= u;
 694         }
 695
 696         return res;
 697 }
 698
 699 /* Potenciacion usando división y conquista.
 700  * Toma dos parametros u y v, devuelve u^v; asume v positivo.
 701  *
 702  * El pseudocódigo del algoritmo es:
 703  * pot(x, y):
 704  *      if y == 1:
 705  *              return x
 706  *      res = pot(x, y/2)
 707  *      res = res * res
 708  *      if y es impar:
 709  *              res = res * x
 710  *      return res
 711  *
 712  * Es O(n) ya que la ecuación es T(n) = T(n/2) + O(1)
 713  *
 714  * El grafo que lo 'representa' (siendo los nodos el exponente y) algo como:
 715  *
 716  *                      1 3
 717  *                   _/  |  \_
 718  *                 _/    |    \_
 719  *                /      |      \
 720  *               6       1       6
 721  *             /   \           /   \
 722  *            /     \         /     \
 723  *           3       3       3       3
 724  *          /|\     /|\     /|\     /|\
 725  *         2 1 2   2 1 2   2 1 2   2 1 2
 726  *        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
 727  *        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 728  *
 729  */
 730 template < typename N, typename E >
 731 number< N, E > pot_dyc(const number< N, E > &x, const number< N, E > &y)
 732 {
 733         assert(y.sign == positive);
 734         //std::cout << "pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 735         if (y == number< N, E >(1))
 736         {
 737                 std::cout << "y es 1 => FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n";
 738                 return x;
 739         }
 740         number< N, E > res = pot_dyc(x, y.dividido_dos());
 741         //std::cout << "y.dividido_dos() = " << y.dividido_dos() << "\n";
 742         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 743         res *= res;
 744         //std::cout << "res = " << res << "\n";
 745         if (y.es_impar())
 746         {
 747                 //std::cout << y << " es IMPAR => ";
 748                 res *= x; // Multiplico por el x que falta
 749                 //std::cout << "res = " << res << "\n";
 750         }
 751         //std::cout << "FIN pot(" << x << ", " << y << ")\n\n";
 752         return res;
 753 }
 754