Import inicial después del "/var incident". :(
authorLeandro Lucarella <llucax@gmail.com>
Sun, 23 Mar 2003 07:10:16 +0000 (07:10 +0000)
committerLeandro Lucarella <llucax@gmail.com>
Sun, 23 Mar 2003 07:10:16 +0000 (07:10 +0000)
32 files changed:
77891.cpp [new file with mode: 0644]
GFDL [new file with mode: 0644]
GPL [new file with mode: 0644]
Makefile [new file with mode: 0644]
README [new file with mode: 0644]
c1e.gnuplot [new file with mode: 0755]
c1n.gnuplot [new file with mode: 0755]
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informe.lyx [new file with mode: 0644]
periodo.gnuplot [new file with mode: 0755]

diff --git a/77891.cpp b/77891.cpp
new file mode 100644 (file)
index 0000000..3338e5a
--- /dev/null
+++ b/77891.cpp
@@ -0,0 +1,352 @@
+// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+//
+// Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
+// resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
+// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+// 
+// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+// 
+// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+// particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+// detalles.
+// 
+// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+// Boston, MA  02111-1307, USA.
+//
+// $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/77891.cpp $
+// $Date: 2002-11-24 02:48:38 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+// $Rev: 27 $
+// $Author: luca $
+//
+
+#include <iostream.h>
+#include <stdlib.h>
+#include <math.h>
+
+// Tipos de datos.
+typedef unsigned int Indice;
+typedef float Numero;
+struct Datos;
+typedef Numero (*Friccion)( Datos&, Numero, Numero );
+typedef Numero (*Funcion)( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+typedef void (*Metodo)( Datos& );
+struct Datos {
+    Numero   to; // Tiempo inicial
+    Numero   tf; // Tiempo final
+    Numero   k;  // Paso
+    Numero   xo; // X inicial = X(to) = Z(to)
+    Numero   yo; // Y inicial = Y(to) = X'(to) = Z'(to)
+    Numero   D;  // Diametro del tubo
+    Numero   n;  // Viscosidad cinemática del líquido
+    Numero   g;  // Aceleración de la gravedad
+    Numero   f;  // Factor de fricción
+    Numero   L;  // Longitud del tubo
+    Numero   Le; // Factor de pérdida de carga
+    Numero   G;  // Factor geométrico
+    Funcion  fx; // Función asociada a la derivada de x
+    Funcion  fy; // Función asociada a la derivada de y
+    Friccion fi; // Factor asociado a pérdidas por fricción
+};
+
+// Factor de fricción nulo.
+Numero friccionNula( Datos&, Numero, Numero );
+
+// Factor de fricción laminar.
+Numero friccionLaminar( Datos&, Numero, Numero );
+
+// Factor de fricción turbulenta.
+Numero friccionTurbulenta( Datos&, Numero, Numero );
+
+// Factor de fricción turbulenta (con depósitos).
+Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos&, Numero, Numero );
+
+// Función asociada a la primera derivada (x'=z').
+Numero funcionX( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+
+// Función asociada a la segunda derivada (y'=x''=z'').
+Numero funcionY( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Euler.
+void euler( Datos& );
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta de órden 4.
+void rk4( Datos& );
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Nystrom.
+void nystrom( Datos& );
+
+// Constantes.
+const Numero   DEFAULT_N  = 1000,        // Cantidad de pasos por defecto
+               DEFAULT_to = 0.0,
+               DEFAULT_tf = 440.0,
+               DEFAULT_xo = 2.9866369,
+               DEFAULT_yo = 0.0,
+               DEFAULT_D  = 0.5,
+               DEFAULT_n  = 1e-6,
+               DEFAULT_g  = 9.8,
+               DEFAULT_f  = 0.03,
+               DEFAULT_L  = 892.0,
+               DEFAULT_Le = 1070.4,
+               DEFAULT_G  = 2.0;
+const Funcion  DEFAULT_fx = &funcionX,
+               DEFAULT_fy = &funcionY;
+const Friccion DEFAULT_fi = &friccionNula;
+
+int main( int argc, char* argv[] ) {
+
+    // Se fija que tenga los argumentos necesarios para correr.
+    if ( argc < 2 ) {
+        cerr << "Faltan argumentos. Modo de uso:" << endl;
+        cerr << "\t" << argv[0] << " método fi G tf N to xo yo D n g f L Le" << endl;
+        cerr << "Desde fi en adelante son opcionales. Los valores por defecto son:" << endl;
+        cerr << "\tfi  = n" << endl;
+        cerr << "\tG   = " << DEFAULT_G  << endl;
+        cerr << "\ttf  = " << DEFAULT_tf << endl;
+        cerr << "\tN   = " << DEFAULT_N  << endl;
+        cerr << "\tto  = " << DEFAULT_to << endl;
+        cerr << "\txo  = " << DEFAULT_xo << endl;
+        cerr << "\tyo  = " << DEFAULT_yo << endl;
+        cerr << "\tD   = " << DEFAULT_D  << endl;
+        cerr << "\tn   = " << DEFAULT_n  << endl;
+        cerr << "\tg   = " << DEFAULT_g  << endl;
+        cerr << "\tf   = " << DEFAULT_f  << endl;
+        cerr << "\tL   = " << DEFAULT_L  << endl;
+        cerr << "\tLe  = " << DEFAULT_Le << endl;
+        return EXIT_FAILURE;
+    }
+
+    // Selecciona el método deseado.
+    Metodo metodo = NULL;
+    switch ( char( argv[1][0] ) ) {
+        case 'e':
+            metodo = &euler;
+            break;
+        case 'r':
+            metodo = &rk4;
+            break;
+        case 'n':
+            metodo = &nystrom;
+            break;
+        default:
+            cerr << "Debe especificar un método válido:" << endl;
+            cerr << "\te: Euler" << endl;
+            cerr << "\tr: Runge-Kutta 4" << endl;
+            cerr << "\tn: Nystrom" << endl;
+            return EXIT_FAILURE;
+    }
+
+    // Se inicializan los datos.
+    Numero N = DEFAULT_N;
+    Datos D;
+    D.to = DEFAULT_to;
+    D.tf = DEFAULT_tf;
+    D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
+    D.xo = DEFAULT_xo;
+    D.yo = DEFAULT_yo;
+    D.D  = DEFAULT_D;
+    D.n  = DEFAULT_n;
+    D.g  = DEFAULT_g;
+    D.f  = DEFAULT_f;
+    D.L  = DEFAULT_L;
+    D.Le = DEFAULT_Le;
+    D.G  = DEFAULT_G;
+    D.fx = DEFAULT_fx;
+    D.fy = DEFAULT_fy;
+    D.fi = DEFAULT_fi;
+
+    // Si se pasaron datos como argumento, se los va agregando.
+    switch ( argc ) {
+        case 15: D.Le = Numero( atof( argv[14] ) );
+        case 14: D.L  = Numero( atof( argv[13] ) );
+        case 13: D.f  = Numero( atof( argv[12] ) );
+        case 12: D.g  = Numero( atof( argv[11] ) );
+        case 11: D.n  = Numero( atof( argv[10] ) );
+        case 10: D.D  = Numero( atof( argv[9] ) );
+        case 9:  D.yo = Numero( atof( argv[8] ) );
+        case 8:  D.xo = Numero( atof( argv[7] ) );
+        case 7:  D.to = Numero( atof( argv[6] ) );
+        case 6:  N    = Numero( atof( argv[5] ) );
+        case 5:  D.tf = Numero( atof( argv[4] ) );
+                 // Se recalcula el paso (k) si se cambio to, N o tf.
+                 D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
+        case 4:  D.G  = Numero( atof( argv[3] ) );
+        case 3:  switch ( char( argv[2][0] ) ) { // Tipo de fricción
+                    case 'n':
+                        D.fi = &friccionNula;
+                        break;
+                    case 'l':
+                        D.fi = &friccionLaminar;
+                        break;
+                    case 't':
+                        D.fi = &friccionTurbulenta;
+                        break;
+                    case 'd':
+                        D.fi = &friccionTurbulentaConDepositos;
+                        break;
+                    default:
+                        cerr << "Debe especificar un tipo de fricción válido:" << endl;
+                        cerr << "\tn: Nula" << endl;
+                        cerr << "\tl: Laminar" << endl;
+                        cerr << "\tt: Turbulenta" << endl;
+                        cerr << "\td: Turbulenta (con depósitos)" << endl;
+                        return EXIT_FAILURE;
+                 }
+    }
+
+    // Imprime el paso utilizado.
+    cerr << "Paso k = " << D.k << endl;
+
+    // Ejecuta el método correspondiente con los datos correspondientes.
+    metodo( D );
+
+    return EXIT_SUCCESS;
+
+}
+
+Numero friccionNula( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+
+    return 0.0;
+
+}
+
+Numero friccionLaminar( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+
+    return 32 * D.n / ( D.D * D.D );
+
+}
+
+Numero friccionTurbulenta( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+
+    return D.f * fabs( y ) / ( 2 * D.D );
+
+}
+
+Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+
+    return D.f * fabs( y ) * D.Le / ( 2 * D.D * D.L);
+
+}
+
+Numero funcionX( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
+
+    return y;
+
+}
+
+Numero funcionY( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
+
+    return - D.fi( D, x, y ) * y - D.g * D.G * x / D.L;
+
+}
+
+void euler( Datos& D ) {
+
+    Numero  xo = D.xo,
+            yo = D.yo,
+            x  = 0.0,
+            y  = 0.0,
+            t  = D.to;
+
+    while ( t < D.tf ) {
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+        x = xo + D.k * D.fx( D, t, xo, yo );
+        y = yo + D.k * D.fy( D, t, xo, yo );
+
+        // Imprimo resultados.
+        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+
+        // Reemplazo valores iniciales.
+        xo = x;
+        yo = y;
+        t += D.k;
+
+    }
+
+}
+
+void rk4( Datos& D ) {
+
+    Numero  x   = D.xo,
+            y   = D.yo,
+            t   = D.to,
+            qx1 = 0.0,
+            qx2 = 0.0,
+            qx3 = 0.0,
+            qx4 = 0.0,
+            qy1 = 0.0,
+            qy2 = 0.0,
+            qy3 = 0.0,
+            qy4 = 0.0,
+            unSexto = 1.0 / 6.0;
+
+    // Imprimo datos iniciales.
+    cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+
+    while ( t < D.tf ) {
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+        qx1 = D.k * D.fx( D, t, x, y );
+        qy1 = D.k * D.fy( D, t, x, y );
+
+        qx2 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
+        qy2 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
+
+        qx3 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
+        qy3 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
+
+        qx4 = D.k * D.fx( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
+        qy4 = D.k * D.fy( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
+
+        x += unSexto * ( qx1 + 2 * qx2 + 2 * qx3 + qx4 );
+        y += unSexto * ( qy1 + 2 * qy2 + 2 * qy3 + qy4 );
+        t += D.k;
+
+        // Imprimo resultados.
+        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+
+    }
+
+}
+
+void nystrom( Datos& D ) {
+
+    Numero  gGk2_L = D.g * D.G * D.k * D.k / D.L,
+            xo  = D.xo,
+            x1  = ( 1 - gGk2_L * 0.5 ) * D.xo,
+            x2  = 0.0,
+            y   = 0.0,
+            fi  = 0.0,
+            t   = D.to;
+
+    // Imprimo valores iniciales.
+    cout << t << " " << xo << " " << y << endl;
+    y = ( x1 - xo ) / D.k;
+    cout << t << " " << x1 << " " << y << endl;
+
+    while ( t < D.tf ) {
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+        fi  = D.fi( D, x1, y );
+        x2 = ( ( fi - 1 ) * xo + ( 2 - gGk2_L ) * x1 ) / ( fi + 1 );
+
+        // Prepara para próxima iteración
+        t += D.k;
+        xo = x1;
+        x1 = x2;
+        y  = ( x1 - xo ) / D.k;
+
+        // Imprimo resultados.
+        cout << t << " " << x2 << " " << y << endl;
+
+    }
+
+}
diff --git a/GFDL b/GFDL
new file mode 100644 (file)
index 0000000..b42936b
--- /dev/null
+++ b/GFDL
@@ -0,0 +1,355 @@
+               GNU Free Documentation License
+                  Version 1.1, March 2000
+
+ Copyright (C) 2000  Free Software Foundation, Inc.
+     59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
+ Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
+ of this license document, but changing it is not allowed.
+
+
+0. PREAMBLE
+
+The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other
+written document "free" in the sense of freedom: to assure everyone
+the effective freedom to copy and redistribute it, with or without
+modifying it, either commercially or noncommercially.  Secondarily,
+this License preserves for the author and publisher a way to get
+credit for their work, while not being considered responsible for
+modifications made by others.
+
+This License is a kind of "copyleft", which means that derivative
+works of the document must themselves be free in the same sense.  It
+complements the GNU General Public License, which is a copyleft
+license designed for free software.
+
+We have designed this License in order to use it for manuals for free
+software, because free software needs free documentation: a free
+program should come with manuals providing the same freedoms that the
+software does.  But this License is not limited to software manuals;
+it can be used for any textual work, regardless of subject matter or
+whether it is published as a printed book.  We recommend this License
+principally for works whose purpose is instruction or reference.
+
+
+1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS
+
+This License applies to any manual or other work that contains a
+notice placed by the copyright holder saying it can be distributed
+under the terms of this License.  The "Document", below, refers to any
+such manual or work.  Any member of the public is a licensee, and is
+addressed as "you".
+
+A "Modified Version" of the Document means any work containing the
+Document or a portion of it, either copied verbatim, or with
+modifications and/or translated into another language.
+
+A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of
+the Document that deals exclusively with the relationship of the
+publishers or authors of the Document to the Document's overall subject
+(or to related matters) and contains nothing that could fall directly
+within that overall subject.  (For example, if the Document is in part a
+textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any
+mathematics.)  The relationship could be a matter of historical
+connection with the subject or with related matters, or of legal,
+commercial, philosophical, ethical or political position regarding
+them.
+
+The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles
+are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice
+that says that the Document is released under this License.
+
+The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed,
+as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that
+the Document is released under this License.
+
+A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy,
+represented in a format whose specification is available to the
+general public, whose contents can be viewed and edited directly and
+straightforwardly with generic text editors or (for images composed of
+pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available
+drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or
+for automatic translation to a variety of formats suitable for input
+to text formatters.  A copy made in an otherwise Transparent file
+format whose markup has been designed to thwart or discourage
+subsequent modification by readers is not Transparent.  A copy that is
+not "Transparent" is called "Opaque".
+
+Examples of suitable formats for Transparent copies include plain
+ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML
+or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple
+HTML designed for human modification.  Opaque formats include
+PostScript, PDF, proprietary formats that can be read and edited only
+by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or
+processing tools are not generally available, and the
+machine-generated HTML produced by some word processors for output
+purposes only.
+
+The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself,
+plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material
+this License requires to appear in the title page.  For works in
+formats which do not have any title page as such, "Title Page" means
+the text near the most prominent appearance of the work's title,
+preceding the beginning of the body of the text.
+
+
+2. VERBATIM COPYING
+
+You may copy and distribute the Document in any medium, either
+commercially or noncommercially, provided that this License, the
+copyright notices, and the license notice saying this License applies
+to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other
+conditions whatsoever to those of this License.  You may not use
+technical measures to obstruct or control the reading or further
+copying of the copies you make or distribute.  However, you may accept
+compensation in exchange for copies.  If you distribute a large enough
+number of copies you must also follow the conditions in section 3.
+
+You may also lend copies, under the same conditions stated above, and
+you may publicly display copies.
+
+
+3. COPYING IN QUANTITY
+
+If you publish printed copies of the Document numbering more than 100,
+and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose
+the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover
+Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on
+the back cover.  Both covers must also clearly and legibly identify
+you as the publisher of these copies.  The front cover must present
+the full title with all words of the title equally prominent and
+visible.  You may add other material on the covers in addition.
+Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve
+the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated
+as verbatim copying in other respects.
+
+If the required texts for either cover are too voluminous to fit
+legibly, you should put the first ones listed (as many as fit
+reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent
+pages.
+
+If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering
+more than 100, you must either include a machine-readable Transparent
+copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy
+a publicly-accessible computer-network location containing a complete
+Transparent copy of the Document, free of added material, which the
+general network-using public has access to download anonymously at no
+charge using public-standard network protocols.  If you use the latter
+option, you must take reasonably prudent steps, when you begin
+distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this
+Transparent copy will remain thus accessible at the stated location
+until at least one year after the last time you distribute an Opaque
+copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to
+the public.
+
+It is requested, but not required, that you contact the authors of the
+Document well before redistributing any large number of copies, to give
+them a chance to provide you with an updated version of the Document.
+
+
+4. MODIFICATIONS
+
+You may copy and distribute a Modified Version of the Document under
+the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release
+the Modified Version under precisely this License, with the Modified
+Version filling the role of the Document, thus licensing distribution
+and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy
+of it.  In addition, you must do these things in the Modified Version:
+
+A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct
+   from that of the Document, and from those of previous versions
+   (which should, if there were any, be listed in the History section
+   of the Document).  You may use the same title as a previous version
+   if the original publisher of that version gives permission.
+B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities
+   responsible for authorship of the modifications in the Modified
+   Version, together with at least five of the principal authors of the
+   Document (all of its principal authors, if it has less than five).
+C. State on the Title page the name of the publisher of the
+   Modified Version, as the publisher.
+D. Preserve all the copyright notices of the Document.
+E. Add an appropriate copyright notice for your modifications
+   adjacent to the other copyright notices.
+F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice
+   giving the public permission to use the Modified Version under the
+   terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
+G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections
+   and required Cover Texts given in the Document's license notice.
+H. Include an unaltered copy of this License.
+I. Preserve the section entitled "History", and its title, and add to
+   it an item stating at least the title, year, new authors, and
+   publisher of the Modified Version as given on the Title Page.  If
+   there is no section entitled "History" in the Document, create one
+   stating the title, year, authors, and publisher of the Document as
+   given on its Title Page, then add an item describing the Modified
+   Version as stated in the previous sentence.
+J. Preserve the network location, if any, given in the Document for
+   public access to a Transparent copy of the Document, and likewise
+   the network locations given in the Document for previous versions
+   it was based on.  These may be placed in the "History" section.
+   You may omit a network location for a work that was published at
+   least four years before the Document itself, or if the original
+   publisher of the version it refers to gives permission.
+K. In any section entitled "Acknowledgements" or "Dedications",
+   preserve the section's title, and preserve in the section all the
+   substance and tone of each of the contributor acknowledgements
+   and/or dedications given therein.
+L. Preserve all the Invariant Sections of the Document,
+   unaltered in their text and in their titles.  Section numbers
+   or the equivalent are not considered part of the section titles.
+M. Delete any section entitled "Endorsements".  Such a section
+   may not be included in the Modified Version.
+N. Do not retitle any existing section as "Endorsements"
+   or to conflict in title with any Invariant Section.
+
+If the Modified Version includes new front-matter sections or
+appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material
+copied from the Document, you may at your option designate some or all
+of these sections as invariant.  To do this, add their titles to the
+list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice.
+These titles must be distinct from any other section titles.
+
+You may add a section entitled "Endorsements", provided it contains
+nothing but endorsements of your Modified Version by various
+parties--for example, statements of peer review or that the text has
+been approved by an organization as the authoritative definition of a
+standard.
+
+You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a
+passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list
+of Cover Texts in the Modified Version.  Only one passage of
+Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or
+through arrangements made by) any one entity.  If the Document already
+includes a cover text for the same cover, previously added by you or
+by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of,
+you may not add another; but you may replace the old one, on explicit
+permission from the previous publisher that added the old one.
+
+The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License
+give permission to use their names for publicity for or to assert or
+imply endorsement of any Modified Version.
+
+
+5. COMBINING DOCUMENTS
+
+You may combine the Document with other documents released under this
+License, under the terms defined in section 4 above for modified
+versions, provided that you include in the combination all of the
+Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and
+list them all as Invariant Sections of your combined work in its
+license notice.
+
+The combined work need only contain one copy of this License, and
+multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single
+copy.  If there are multiple Invariant Sections with the same name but
+different contents, make the title of each such section unique by
+adding at the end of it, in parentheses, the name of the original
+author or publisher of that section if known, or else a unique number.
+Make the same adjustment to the section titles in the list of
+Invariant Sections in the license notice of the combined work.
+
+In the combination, you must combine any sections entitled "History"
+in the various original documents, forming one section entitled
+"History"; likewise combine any sections entitled "Acknowledgements",
+and any sections entitled "Dedications".  You must delete all sections
+entitled "Endorsements."
+
+
+6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS
+
+You may make a collection consisting of the Document and other documents
+released under this License, and replace the individual copies of this
+License in the various documents with a single copy that is included in
+the collection, provided that you follow the rules of this License for
+verbatim copying of each of the documents in all other respects.
+
+You may extract a single document from such a collection, and distribute
+it individually under this License, provided you insert a copy of this
+License into the extracted document, and follow this License in all
+other respects regarding verbatim copying of that document.
+
+
+7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS
+
+A compilation of the Document or its derivatives with other separate
+and independent documents or works, in or on a volume of a storage or
+distribution medium, does not as a whole count as a Modified Version
+of the Document, provided no compilation copyright is claimed for the
+compilation.  Such a compilation is called an "aggregate", and this
+License does not apply to the other self-contained works thus compiled
+with the Document, on account of their being thus compiled, if they
+are not themselves derivative works of the Document.
+
+If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these
+copies of the Document, then if the Document is less than one quarter
+of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on
+covers that surround only the Document within the aggregate.
+Otherwise they must appear on covers around the whole aggregate.
+
+
+8. TRANSLATION
+
+Translation is considered a kind of modification, so you may
+distribute translations of the Document under the terms of section 4.
+Replacing Invariant Sections with translations requires special
+permission from their copyright holders, but you may include
+translations of some or all Invariant Sections in addition to the
+original versions of these Invariant Sections.  You may include a
+translation of this License provided that you also include the
+original English version of this License.  In case of a disagreement
+between the translation and the original English version of this
+License, the original English version will prevail.
+
+
+9. TERMINATION
+
+You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except
+as expressly provided for under this License.  Any other attempt to
+copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will
+automatically terminate your rights under this License.  However,
+parties who have received copies, or rights, from you under this
+License will not have their licenses terminated so long as such
+parties remain in full compliance.
+
+
+10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
+
+The Free Software Foundation may publish new, revised versions
+of the GNU Free Documentation License from time to time.  Such new
+versions will be similar in spirit to the present version, but may
+differ in detail to address new problems or concerns.  See
+http://www.gnu.org/copyleft/.
+
+Each version of the License is given a distinguishing version number.
+If the Document specifies that a particular numbered version of this
+License "or any later version" applies to it, you have the option of
+following the terms and conditions either of that specified version or
+of any later version that has been published (not as a draft) by the
+Free Software Foundation.  If the Document does not specify a version
+number of this License, you may choose any version ever published (not
+as a draft) by the Free Software Foundation.
+
+
+ADDENDUM: How to use this License for your documents
+
+To use this License in a document you have written, include a copy of
+the License in the document and put the following copyright and
+license notices just after the title page:
+
+      Copyright (c)  YEAR  YOUR NAME.
+      Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
+      under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.1
+      or any later version published by the Free Software Foundation;
+      with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
+      Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
+      A copy of the license is included in the section entitled "GNU
+      Free Documentation License".
+
+If you have no Invariant Sections, write "with no Invariant Sections"
+instead of saying which ones are invariant.  If you have no
+Front-Cover Texts, write "no Front-Cover Texts" instead of
+"Front-Cover Texts being LIST"; likewise for Back-Cover Texts.
+
+If your document contains nontrivial examples of program code, we
+recommend releasing these examples in parallel under your choice of
+free software license, such as the GNU General Public License,
+to permit their use in free software.
diff --git a/GPL b/GPL
new file mode 100644 (file)
index 0000000..d60c31a
--- /dev/null
+++ b/GPL
@@ -0,0 +1,340 @@
+                   GNU GENERAL PUBLIC LICENSE
+                      Version 2, June 1991
+
+ Copyright (C) 1989, 1991 Free Software Foundation, Inc.
+     59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
+ Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
+ of this license document, but changing it is not allowed.
+
+                           Preamble
+
+  The licenses for most software are designed to take away your
+freedom to share and change it.  By contrast, the GNU General Public
+License is intended to guarantee your freedom to share and change free
+software--to make sure the software is free for all its users.  This
+General Public License applies to most of the Free Software
+Foundation's software and to any other program whose authors commit to
+using it.  (Some other Free Software Foundation software is covered by
+the GNU Library General Public License instead.)  You can apply it to
+your programs, too.
+
+  When we speak of free software, we are referring to freedom, not
+price.  Our General Public Licenses are designed to make sure that you
+have the freedom to distribute copies of free software (and charge for
+this service if you wish), that you receive source code or can get it
+if you want it, that you can change the software or use pieces of it
+in new free programs; and that you know you can do these things.
+
+  To protect your rights, we need to make restrictions that forbid
+anyone to deny you these rights or to ask you to surrender the rights.
+These restrictions translate to certain responsibilities for you if you
+distribute copies of the software, or if you modify it.
+
+  For example, if you distribute copies of such a program, whether
+gratis or for a fee, you must give the recipients all the rights that
+you have.  You must make sure that they, too, receive or can get the
+source code.  And you must show them these terms so they know their
+rights.
+
+  We protect your rights with two steps: (1) copyright the software, and
+(2) offer you this license which gives you legal permission to copy,
+distribute and/or modify the software.
+
+  Also, for each author's protection and ours, we want to make certain
+that everyone understands that there is no warranty for this free
+software.  If the software is modified by someone else and passed on, we
+want its recipients to know that what they have is not the original, so
+that any problems introduced by others will not reflect on the original
+authors' reputations.
+
+  Finally, any free program is threatened constantly by software
+patents.  We wish to avoid the danger that redistributors of a free
+program will individually obtain patent licenses, in effect making the
+program proprietary.  To prevent this, we have made it clear that any
+patent must be licensed for everyone's free use or not licensed at all.
+
+  The precise terms and conditions for copying, distribution and
+modification follow.
+\f
+                   GNU GENERAL PUBLIC LICENSE
+   TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION
+
+  0. This License applies to any program or other work which contains
+a notice placed by the copyright holder saying it may be distributed
+under the terms of this General Public License.  The "Program", below,
+refers to any such program or work, and a "work based on the Program"
+means either the Program or any derivative work under copyright law:
+that is to say, a work containing the Program or a portion of it,
+either verbatim or with modifications and/or translated into another
+language.  (Hereinafter, translation is included without limitation in
+the term "modification".)  Each licensee is addressed as "you".
+
+Activities other than copying, distribution and modification are not
+covered by this License; they are outside its scope.  The act of
+running the Program is not restricted, and the output from the Program
+is covered only if its contents constitute a work based on the
+Program (independent of having been made by running the Program).
+Whether that is true depends on what the Program does.
+
+  1. You may copy and distribute verbatim copies of the Program's
+source code as you receive it, in any medium, provided that you
+conspicuously and appropriately publish on each copy an appropriate
+copyright notice and disclaimer of warranty; keep intact all the
+notices that refer to this License and to the absence of any warranty;
+and give any other recipients of the Program a copy of this License
+along with the Program.
+
+You may charge a fee for the physical act of transferring a copy, and
+you may at your option offer warranty protection in exchange for a fee.
+
+  2. You may modify your copy or copies of the Program or any portion
+of it, thus forming a work based on the Program, and copy and
+distribute such modifications or work under the terms of Section 1
+above, provided that you also meet all of these conditions:
+
+    a) You must cause the modified files to carry prominent notices
+    stating that you changed the files and the date of any change.
+
+    b) You must cause any work that you distribute or publish, that in
+    whole or in part contains or is derived from the Program or any
+    part thereof, to be licensed as a whole at no charge to all third
+    parties under the terms of this License.
+
+    c) If the modified program normally reads commands interactively
+    when run, you must cause it, when started running for such
+    interactive use in the most ordinary way, to print or display an
+    announcement including an appropriate copyright notice and a
+    notice that there is no warranty (or else, saying that you provide
+    a warranty) and that users may redistribute the program under
+    these conditions, and telling the user how to view a copy of this
+    License.  (Exception: if the Program itself is interactive but
+    does not normally print such an announcement, your work based on
+    the Program is not required to print an announcement.)
+\f
+These requirements apply to the modified work as a whole.  If
+identifiable sections of that work are not derived from the Program,
+and can be reasonably considered independent and separate works in
+themselves, then this License, and its terms, do not apply to those
+sections when you distribute them as separate works.  But when you
+distribute the same sections as part of a whole which is a work based
+on the Program, the distribution of the whole must be on the terms of
+this License, whose permissions for other licensees extend to the
+entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it.
+
+Thus, it is not the intent of this section to claim rights or contest
+your rights to work written entirely by you; rather, the intent is to
+exercise the right to control the distribution of derivative or
+collective works based on the Program.
+
+In addition, mere aggregation of another work not based on the Program
+with the Program (or with a work based on the Program) on a volume of
+a storage or distribution medium does not bring the other work under
+the scope of this License.
+
+  3. You may copy and distribute the Program (or a work based on it,
+under Section 2) in object code or executable form under the terms of
+Sections 1 and 2 above provided that you also do one of the following:
+
+    a) Accompany it with the complete corresponding machine-readable
+    source code, which must be distributed under the terms of Sections
+    1 and 2 above on a medium customarily used for software interchange; or,
+
+    b) Accompany it with a written offer, valid for at least three
+    years, to give any third party, for a charge no more than your
+    cost of physically performing source distribution, a complete
+    machine-readable copy of the corresponding source code, to be
+    distributed under the terms of Sections 1 and 2 above on a medium
+    customarily used for software interchange; or,
+
+    c) Accompany it with the information you received as to the offer
+    to distribute corresponding source code.  (This alternative is
+    allowed only for noncommercial distribution and only if you
+    received the program in object code or executable form with such
+    an offer, in accord with Subsection b above.)
+
+The source code for a work means the preferred form of the work for
+making modifications to it.  For an executable work, complete source
+code means all the source code for all modules it contains, plus any
+associated interface definition files, plus the scripts used to
+control compilation and installation of the executable.  However, as a
+special exception, the source code distributed need not include
+anything that is normally distributed (in either source or binary
+form) with the major components (compiler, kernel, and so on) of the
+operating system on which the executable runs, unless that component
+itself accompanies the executable.
+
+If distribution of executable or object code is made by offering
+access to copy from a designated place, then offering equivalent
+access to copy the source code from the same place counts as
+distribution of the source code, even though third parties are not
+compelled to copy the source along with the object code.
+\f
+  4. You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Program
+except as expressly provided under this License.  Any attempt
+otherwise to copy, modify, sublicense or distribute the Program is
+void, and will automatically terminate your rights under this License.
+However, parties who have received copies, or rights, from you under
+this License will not have their licenses terminated so long as such
+parties remain in full compliance.
+
+  5. You are not required to accept this License, since you have not
+signed it.  However, nothing else grants you permission to modify or
+distribute the Program or its derivative works.  These actions are
+prohibited by law if you do not accept this License.  Therefore, by
+modifying or distributing the Program (or any work based on the
+Program), you indicate your acceptance of this License to do so, and
+all its terms and conditions for copying, distributing or modifying
+the Program or works based on it.
+
+  6. Each time you redistribute the Program (or any work based on the
+Program), the recipient automatically receives a license from the
+original licensor to copy, distribute or modify the Program subject to
+these terms and conditions.  You may not impose any further
+restrictions on the recipients' exercise of the rights granted herein.
+You are not responsible for enforcing compliance by third parties to
+this License.
+
+  7. If, as a consequence of a court judgment or allegation of patent
+infringement or for any other reason (not limited to patent issues),
+conditions are imposed on you (whether by court order, agreement or
+otherwise) that contradict the conditions of this License, they do not
+excuse you from the conditions of this License.  If you cannot
+distribute so as to satisfy simultaneously your obligations under this
+License and any other pertinent obligations, then as a consequence you
+may not distribute the Program at all.  For example, if a patent
+license would not permit royalty-free redistribution of the Program by
+all those who receive copies directly or indirectly through you, then
+the only way you could satisfy both it and this License would be to
+refrain entirely from distribution of the Program.
+
+If any portion of this section is held invalid or unenforceable under
+any particular circumstance, the balance of the section is intended to
+apply and the section as a whole is intended to apply in other
+circumstances.
+
+It is not the purpose of this section to induce you to infringe any
+patents or other property right claims or to contest validity of any
+such claims; this section has the sole purpose of protecting the
+integrity of the free software distribution system, which is
+implemented by public license practices.  Many people have made
+generous contributions to the wide range of software distributed
+through that system in reliance on consistent application of that
+system; it is up to the author/donor to decide if he or she is willing
+to distribute software through any other system and a licensee cannot
+impose that choice.
+
+This section is intended to make thoroughly clear what is believed to
+be a consequence of the rest of this License.
+\f
+  8. If the distribution and/or use of the Program is restricted in
+certain countries either by patents or by copyrighted interfaces, the
+original copyright holder who places the Program under this License
+may add an explicit geographical distribution limitation excluding
+those countries, so that distribution is permitted only in or among
+countries not thus excluded.  In such case, this License incorporates
+the limitation as if written in the body of this License.
+
+  9. The Free Software Foundation may publish revised and/or new versions
+of the General Public License from time to time.  Such new versions will
+be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to
+address new problems or concerns.
+
+Each version is given a distinguishing version number.  If the Program
+specifies a version number of this License which applies to it and "any
+later version", you have the option of following the terms and conditions
+either of that version or of any later version published by the Free
+Software Foundation.  If the Program does not specify a version number of
+this License, you may choose any version ever published by the Free Software
+Foundation.
+
+  10. If you wish to incorporate parts of the Program into other free
+programs whose distribution conditions are different, write to the author
+to ask for permission.  For software which is copyrighted by the Free
+Software Foundation, write to the Free Software Foundation; we sometimes
+make exceptions for this.  Our decision will be guided by the two goals
+of preserving the free status of all derivatives of our free software and
+of promoting the sharing and reuse of software generally.
+
+                           NO WARRANTY
+
+  11. BECAUSE THE PROGRAM IS LICENSED FREE OF CHARGE, THERE IS NO WARRANTY
+FOR THE PROGRAM, TO THE EXTENT PERMITTED BY APPLICABLE LAW.  EXCEPT WHEN
+OTHERWISE STATED IN WRITING THE COPYRIGHT HOLDERS AND/OR OTHER PARTIES
+PROVIDE THE PROGRAM "AS IS" WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EITHER EXPRESSED
+OR IMPLIED, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF
+MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  THE ENTIRE RISK AS
+TO THE QUALITY AND PERFORMANCE OF THE PROGRAM IS WITH YOU.  SHOULD THE
+PROGRAM PROVE DEFECTIVE, YOU ASSUME THE COST OF ALL NECESSARY SERVICING,
+REPAIR OR CORRECTION.
+
+  12. IN NO EVENT UNLESS REQUIRED BY APPLICABLE LAW OR AGREED TO IN WRITING
+WILL ANY COPYRIGHT HOLDER, OR ANY OTHER PARTY WHO MAY MODIFY AND/OR
+REDISTRIBUTE THE PROGRAM AS PERMITTED ABOVE, BE LIABLE TO YOU FOR DAMAGES,
+INCLUDING ANY GENERAL, SPECIAL, INCIDENTAL OR CONSEQUENTIAL DAMAGES ARISING
+OUT OF THE USE OR INABILITY TO USE THE PROGRAM (INCLUDING BUT NOT LIMITED
+TO LOSS OF DATA OR DATA BEING RENDERED INACCURATE OR LOSSES SUSTAINED BY
+YOU OR THIRD PARTIES OR A FAILURE OF THE PROGRAM TO OPERATE WITH ANY OTHER
+PROGRAMS), EVEN IF SUCH HOLDER OR OTHER PARTY HAS BEEN ADVISED OF THE
+POSSIBILITY OF SUCH DAMAGES.
+
+                    END OF TERMS AND CONDITIONS
+\f
+           How to Apply These Terms to Your New Programs
+
+  If you develop a new program, and you want it to be of the greatest
+possible use to the public, the best way to achieve this is to make it
+free software which everyone can redistribute and change under these terms.
+
+  To do so, attach the following notices to the program.  It is safest
+to attach them to the start of each source file to most effectively
+convey the exclusion of warranty; and each file should have at least
+the "copyright" line and a pointer to where the full notice is found.
+
+    <one line to give the program's name and a brief idea of what it does.>
+    Copyright (C) <year>  <name of author>
+
+    This program is free software; you can redistribute it and/or modify
+    it under the terms of the GNU General Public License as published by
+    the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
+    (at your option) any later version.
+
+    This program is distributed in the hope that it will be useful,
+    but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
+    MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
+    GNU General Public License for more details.
+
+    You should have received a copy of the GNU General Public License
+    along with this program; if not, write to the Free Software
+    Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA  02111-1307  USA
+
+
+Also add information on how to contact you by electronic and paper mail.
+
+If the program is interactive, make it output a short notice like this
+when it starts in an interactive mode:
+
+    Gnomovision version 69, Copyright (C) year  name of author
+    Gnomovision comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type `show w'.
+    This is free software, and you are welcome to redistribute it
+    under certain conditions; type `show c' for details.
+
+The hypothetical commands `show w' and `show c' should show the appropriate
+parts of the General Public License.  Of course, the commands you use may
+be called something other than `show w' and `show c'; they could even be
+mouse-clicks or menu items--whatever suits your program.
+
+You should also get your employer (if you work as a programmer) or your
+school, if any, to sign a "copyright disclaimer" for the program, if
+necessary.  Here is a sample; alter the names:
+
+  Yoyodyne, Inc., hereby disclaims all copyright interest in the program
+  `Gnomovision' (which makes passes at compilers) written by James Hacker.
+
+  <signature of Ty Coon>, 1 April 1989
+  Ty Coon, President of Vice
+
+This General Public License does not permit incorporating your program into
+proprietary programs.  If your program is a subroutine library, you may
+consider it more useful to permit linking proprietary applications with the
+library.  If this is what you want to do, use the GNU Library General
+Public License instead of this License.
diff --git a/Makefile b/Makefile
new file mode 100644 (file)
index 0000000..dfa4107
--- /dev/null
+++ b/Makefile
@@ -0,0 +1,328 @@
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
+# resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella
+# 
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+# 
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+# 
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+# 
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/Makefile $
+# $Date: 2002-12-02 18:03:21 -0300 (lun, 02 dic 2002) $
+# $Rev: 35 $
+# $Author: luca $
+# 
+
+#### VARIABLES ####
+CPP_OPTS=-O3 -Wall
+CPP_OPTS_DBG=-g3 -Wall
+LIBS=-lm
+
+
+#### GENERAL ####
+all: tp informe
+tp: c d e f
+clean: clean-c clean-d clean-e clean-f clean-informe clean-77891
+
+
+#### PROGRAMA ####
+77891: 77891.cpp
+       c++ $(CPP_OPTS) $(LIBS) -o 77891 77891.cpp
+77891dbg: 77891.cpp
+       c++ $(CPP_OPTS_DBG) $(LIBS) -o 77891dbg 77891.cpp
+clean-77891:
+       rm -f *.o 77891 77891dbg
+
+
+#### PUNTO C ####
+c: c1 c2 c3
+clean-c: clean-c1 clean-c2 clean-c3
+# C.1
+c1e_k0.44.txt: 77891
+       ./77891 e n 2 440 1000 > c1e_k0.44.txt
+c1e_k0.0044.txt: 77891
+       ./77891 e n 2 440 100000 > c1e_k0.0044.txt
+c1e.eps: c1e_k0.44.txt c1e_k0.0044.txt c1e.gnuplot
+       ./c1e.gnuplot
+c1r.txt: 77891
+       ./77891 r n 2 440 1000 > c1r.txt
+c1r.eps: c1r.txt c1r.gnuplot
+       ./c1r.gnuplot
+c1n.txt: 77891
+       ./77891 n n 2 440 1000 > c1n.txt
+c1n.eps: c1n.txt c1n.gnuplot
+       ./c1n.gnuplot
+c1: c1e.eps c1r.eps c1n.eps
+clean-c1:
+       rm -f c1*.txt c1*.eps
+# C.2
+c2e.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 e n 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > c2e.txt
+c2r.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 r n 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > c2r.txt
+c2n.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 n n 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > c2n.txt
+c2.eps: c2e.txt c2r.txt c2n.txt periodo.gnuplot
+       sed "s/<P>/c/g" periodo.gnuplot | sed "s/<PUNTO_DEP>/sin/g" | \
+       sed "s/<PUNTO_FRIC>/sin/g" | sed "s/<PUNTO_FRIC_TIPO>//g" | \
+       gnuplot
+c2: c2.eps
+clean-c2:
+       rm -f c2*.txt c2.eps
+# C.3
+c3c.eps: c3c.gnuplot
+       ./c3c.gnuplot
+c3o.eps: c3o.gnuplot
+       ./c3o.gnuplot
+c3: c3c.eps c3o.eps
+clean-c3:
+       rm -f c3*.eps
+
+
+#### PUNTO D ####
+d: d1 d2 d3 d4
+clean-d: clean-d1 clean-d2 clean-d3 clean-d4
+# D.1
+d1e.txt: 77891
+       ./77891 e l 2 2500 1000000 > d1e.txt
+d1e.eps: d1e.txt d1e.gnuplot
+       ./d1e.gnuplot
+d1r.txt: 77891
+       ./77891 r l 2 2500 1000 > d1r.txt
+d1r.eps: d1r.txt d1r.gnuplot
+       ./d1r.gnuplot
+d1n_k2.0.txt: 77891
+       ./77891 n l 2 2500 1250 > d1n_k2.0.txt
+d1n_k0.0625.txt: 77891
+       ./77891 n l 2 2500 40000 > d1n_k0.0625.txt
+d1n.eps: d1n_k2.0.txt d1n_k0.0625.txt d1n.gnuplot
+       ./d1n.gnuplot
+d1: d1e.eps d1r.eps d1n.eps
+clean-d1:
+       rm -f d1*.txt d1*.eps
+# D.2
+d2e.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 e l 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > d2e.txt
+d2r.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 r l 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > d2r.txt
+d2n.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 n l 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > d2n.txt
+d2.eps: d2e.txt d2r.txt d2n.txt periodo.gnuplot
+       sed "s/<P>/d/g" periodo.gnuplot | sed "s/<PUNTO_DEP>/sin/g" | \
+       sed "s/<PUNTO_FRIC>/con/g" | sed "s/<PUNTO_FRIC_TIPO>/ laminar/g" | \
+       gnuplot
+d2: d2.eps
+clean-d2:
+       rm -f d2*.txt d2.eps
+# D.3
+d3e.txt: 77891
+       ./77891 e l 2 405 100000 > d3e.txt
+d3e.max.txt: d3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max d3e.txt > d3e.max.txt
+d3e.min.txt: d3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min d3e.txt > d3e.min.txt
+d3r.txt: 77891
+       ./77891 r l 2 405 1000 > d3r.txt
+d3r.max.txt: d3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max d3r.txt > d3r.max.txt
+d3r.min.txt: d3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min d3r.txt > d3r.min.txt
+d3n.txt: 77891
+       ./77891 n l 2 405 190 > d3n.txt
+d3n.max.txt: d3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max d3n.txt > d3n.max.txt
+d3n.min.txt: d3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min d3n.txt > d3n.min.txt
+d3: d3e.max.txt d3e.min.txt d3r.max.txt d3r.min.txt d3n.max.txt d3n.min.txt
+clean-d3:
+       rm -f d3*.txt
+# D.4
+d4e.eps: d3e.max.txt d3e.min.txt d4e.gnuplot
+       ./d4e.gnuplot
+d4r.eps: d3r.max.txt d3r.min.txt d4r.gnuplot
+       ./d4r.gnuplot
+d4n.eps: d3n.max.txt d3n.min.txt d4n.gnuplot
+       ./d4n.gnuplot
+d4: d4e.eps d4r.eps d4n.eps
+clean-d4:
+       rm -f d4*.eps fit.log
+
+
+#### PUNTO E ####
+e: e1 e2 e3 e4
+clean-e: clean-e1 clean-e2 clean-e3 clean-e4
+# E.1
+e1e.txt: 77891
+       ./77891 e t 2 1250 100000 > e1e.txt
+e1e.eps: e1e.txt e1e.gnuplot
+       ./e1e.gnuplot
+e1r.txt: 77891
+       ./77891 r t 2 1250 400 > e1r.txt
+e1r.eps: e1r.txt e1r.gnuplot
+       ./e1r.gnuplot
+e1n.txt: 77891
+       ./77891 n t 2 1250 625 > e1n.txt
+e1n.eps: e1n.txt e1n.gnuplot
+       ./e1n.gnuplot
+e1: e1e.eps e1r.eps e1n.eps
+clean-e1:
+       rm -f e1*.txt e1*.eps
+# E.2
+e2e.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 e t 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > e2e.txt
+e2r.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 r t 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > e2r.txt
+e2n.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 n t 2 5000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > e2n.txt
+e2.eps: e2e.txt e2r.txt e2n.txt periodo.gnuplot
+       sed "s/<P>/e/g" periodo.gnuplot | sed "s/<PUNTO_DEP>/sin/g" | \
+       sed "s/<PUNTO_FRIC>/con/g" | sed "s/<PUNTO_FRIC_TIPO>/ turbulenta/g" | \
+       gnuplot
+e2: e2.eps
+clean-e2:
+       rm -f e2*.txt e2.eps
+# E.3
+e3e.txt: 77891
+       ./77891 e t 2 405 100000 > e3e.txt
+e3e.max.txt: e3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max e3e.txt > e3e.max.txt
+e3e.min.txt: e3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min e3e.txt > e3e.min.txt
+e3r.txt: 77891
+       ./77891 r t 2 405 1000 > e3r.txt
+e3r.max.txt: e3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max e3r.txt > e3r.max.txt
+e3r.min.txt: e3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min e3r.txt > e3r.min.txt
+e3n.txt: 77891
+       ./77891 n t 2 405 190 > e3n.txt
+e3n.max.txt: e3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max e3n.txt > e3n.max.txt
+e3n.min.txt: e3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min e3n.txt > e3n.min.txt
+e3: e3e.max.txt e3e.min.txt e3r.max.txt e3r.min.txt e3n.max.txt e3n.min.txt
+clean-e3:
+       rm -f e3*.txt
+# E.4
+e4r.txt: 77891
+       ./77891 r t 2 50000 100000 > e4r.txt
+e4r.max.txt: e4r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max e4r.txt > e4r.max.txt
+e4r.min.txt: e4r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min e4r.txt > e4r.min.txt
+e4r.eps: e4r.max.txt e4r.min.txt e4r.gnuplot
+       ./e4r.gnuplot
+e4n.txt: 77891
+       ./77891 n t 2 50000 25000 > e4n.txt
+e4n.max.txt: e4n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max e4n.txt > e4n.max.txt
+e4n.min.txt: e4n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min e4n.txt > e4n.min.txt
+e4n.eps: e4n.max.txt e4n.min.txt e4n.gnuplot
+       ./e4n.gnuplot
+e4: e4r.eps e4n.eps
+clean-e4:
+       rm -f e4*.txt e4*.eps
+
+
+#### PUNTO F ####
+f: f1 f2 f3 f4
+clean-f: clean-f1 clean-f2 clean-f3 clean-f4
+# E.1
+f1e.txt: 77891
+       ./77891 e d 0.03 5000 100000 > f1e.txt
+f1e.eps: f1e.txt f1e.gnuplot
+       ./f1e.gnuplot
+f1r.txt: 77891
+       ./77891 r d 0.03 5000 1000 > f1r.txt
+f1r.eps: f1r.txt f1r.gnuplot
+       ./f1r.gnuplot
+f1n.txt: 77891
+       ./77891 n d 0.03 5000 2500 > f1n.txt
+f1n.eps: f1n.txt f1n.gnuplot
+       ./f1n.gnuplot
+f1: f1e.eps f1r.eps f1n.eps
+clean-f1:
+       rm -f f1*.txt f1*.eps
+# E.2
+f2e.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 e d 0.03 40000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > f2e.txt
+f2r.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 r d 0.03 40000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > f2r.txt
+f2n.txt: 77891 calcula_periodo
+       ./77891 n d 0.03 40000 100000 | ./calcula_periodo /dev/stdin > f2n.txt
+f2.eps: f2e.txt f2r.txt f2n.txt periodo.gnuplot
+       sed "s/<P>/f/g" periodo.gnuplot | sed "s/<PUNTO_DEP>/con/g" | \
+       sed "s/<PUNTO_FRIC>/con/g" | sed "s/<PUNTO_FRIC_TIPO>/ turbulenta/g" | \
+       gnuplot
+f2: f2.eps
+clean-f2:
+       rm -f f2*.txt f2.eps
+# E.3
+f3e.txt: 77891
+       ./77891 e d 0.03 3400 340000 > f3e.txt
+f3e.max.txt: f3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max f3e.txt > f3e.max.txt
+f3e.min.txt: f3e.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min f3e.txt > f3e.min.txt
+f3r.txt: 77891
+       ./77891 r d 0.03 3400 3400 > f3r.txt
+f3r.max.txt: f3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max f3r.txt > f3r.max.txt
+f3r.min.txt: f3r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min f3r.txt > f3r.min.txt
+f3n.txt: 77891
+       ./77891 n d 0.03 3400 1700 > f3n.txt
+f3n.max.txt: f3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max f3n.txt > f3n.max.txt
+f3n.min.txt: f3n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min f3n.txt > f3n.min.txt
+f3: f3e.max.txt f3e.min.txt f3r.max.txt f3r.min.txt f3n.max.txt f3n.min.txt
+clean-f3:
+       rm -f f3*.txt
+# E.4
+f4r.txt: 77891
+       ./77891 r d 0.03 350000 100000 > f4r.txt
+f4r.max.txt: f4r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max f4r.txt > f4r.max.txt
+f4r.min.txt: f4r.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min f4r.txt > f4r.min.txt
+f4r.eps: f4r.max.txt f4r.min.txt f4r.gnuplot
+       ./f4r.gnuplot
+f4n.txt: 77891
+       ./77891 n d 0.03 350000 175000 > f4n.txt
+f4n.max.txt: f4n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin max f4n.txt > f4n.max.txt
+f4n.min.txt: f4n.txt calcula_maxmin
+       ./calcula_maxmin min f4n.txt > f4n.min.txt
+f4n.eps: f4n.max.txt f4n.min.txt f4n.gnuplot
+       ./f4n.gnuplot
+f4: f4r.eps f4n.eps
+clean-f4:
+       rm -f f4*.txt f4*.eps
+
+
+#### Informe ####
+informe.ps: informe.lyx c1 c2 c3 d1 d2 d4 e1 e2 e4 f1 f2 f4
+       lyx -e ps informe.lyx
+
+informe.pdf: informe.lyx c1 c2 c3 d1 d2 d4 e1 e2 e4 f1 f2 f4
+       lyx -e pdf informe.lyx
+
+informe.tex: informe.lyx c1 c2 c3 d1 d2 d4 e1 e2 e4 f1 f2 f4
+       lyx -e latex informe.lyx
+informe: informe.ps informe.pdf informe.tex
+clean-informe:
+       rm -f informe.ps informe.tex informe.pdf
diff --git a/README b/README
new file mode 100644 (file)
index 0000000..a6859d4
--- /dev/null
+++ b/README
@@ -0,0 +1,32 @@
+vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+
+Trabajo Práctico I de Análisis Numérico II
+
+$URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/README $
+$Date: 2002-12-01 03:16:07 -0300 (dom, 01 dic 2002) $
+$Rev: 34 $
+$Author: luca $
+
+Para generar el Informe del trabajo práctico basta con hacer:
+
+    make all
+
+(ver Makefile para otras opciones)
+
+Para que esto funcione debe tener instalados los siguientes programas:
+* GNU make   - http://www.gnu.org/software/make/ (o compatible)
+* GNU GCC    - http://gcc.gnu.org/ (o compilador de C++ compatible)
+* gnuplot    - http://www.gnuplot.info/
+* LyX        - http://www.lyx.org/
+* OpenOffice - http://www.openoffice.org/
+* PHP4       - http://www.php.net/ (compilado como cgi)
+
+El gnuplot es necesario para generar los gráficos, el LyX es
+necesario para generar el informe (y es probable que necesite otras
+herramientas para generar el informe en distintos formatos).
+El OpenOffice es opcional ya que se incluye en el paquete el gráfico
+resultante en formato Postscript. El PHP4 es necesario para calcular
+los máximos y mínimos y el período.
+
+Todos los programas de este paquete se encuentran bajo licencia GPL y
+los documentos bajo licencia GFDL. Ambas se incluyen en el paquete.
diff --git a/c1e.gnuplot b/c1e.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..63d0bc5
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,60 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/c1e.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-24 19:55:46 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+# $Rev: 29 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "c1e.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por Euler para el caso sin depósitos y sin fricción"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:440]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z) para k = 0.0044"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Eje Y secundario.
+set y2label  "Altura (z) para k = 0.44"
+set y2range [-25:25]
+set y2tics   -25, 5
+set my2tics  5
+
+# Plotea
+plot 'c1e_k0.0044.txt' using 1:2 title "k = 0.0044" with lines linetype 3, \
+     'c1e_k0.44.txt' using 1:2 axes x1y2 title "k = 0.44" with lines linetype 1
diff --git a/c1n.gnuplot b/c1n.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..c258914
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,60 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/c1n.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-24 19:55:46 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+# $Rev: 29 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "c1n.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y sin fricción"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:440]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Eje Y secundario.
+set y2label  "Velocidad (z')"
+set y2range [-0.5:0.5]
+set y2tics   -0.5, 0.1
+set my2tics  5
+
+# Plotea
+plot 'c1n.txt' using 1:2 title "z" with lines linetype 1, \
+     'c1n.txt' using 1:3 axes x1y2 title "z'" with lines linetype 7
diff --git a/c1r.gnuplot b/c1r.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..6fb99bc
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,60 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/c1r.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-24 19:55:46 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+# $Rev: 29 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "c1r.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por RK4 para el caso sin depósitos y sin fricción"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:440]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Eje Y secundario.
+set y2label  "Velocidad (z')"
+set y2range [-0.5:0.5]
+set y2tics   -0.5, 0.1
+set my2tics  5
+
+# Plotea
+plot 'c1r.txt' using 1:2 title "z" with lines linetype 1, \
+     'c1r.txt' using 1:3 axes x1y2 title "z'" with lines linetype 7
diff --git a/c3c.gnuplot b/c3c.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..c0ff391
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,48 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/c3c.gnuplot $
+# $Date: 2002-12-02 18:03:21 -0300 (lun, 02 dic 2002) $
+# $Rev: 35 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "c3c.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Resolución gráfica del análisis de conservación para RK4."
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Paso k"
+set xrange [0:10]
+set mxtics  5
+
+# Plotea
+plot x**4 * .02**2 / 4 - x**8 * .02**4 / 2304 - 2 - x**6 * .02**2 / 48 - \
+     x**2 * .02 + x**4 * .02**2 / 24 + abs( x**8 * .02**4 / 2304 + \
+     x**5 * .02**3 / 32 - x**3 * .02**2 / 6 - 3 * x**2 * .02 / 2 ) notitle
diff --git a/c3o.gnuplot b/c3o.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..05e45e2
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,46 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/c3o.gnuplot $
+# $Date: 2002-12-02 18:03:21 -0300 (lun, 02 dic 2002) $
+# $Rev: 35 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "c3o.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Resolución gráfica del análisis de oscilación para RK4."
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Paso k"
+set xrange [0:51]
+set mxtics  5
+
+# Plotea
+plot x**4 * .02**3 / 576 + x**3 * .02**2 / 8 - x * .04 / 3 - 6 notitle
diff --git a/calcula_maxmin b/calcula_maxmin
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..5686d76
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,75 @@
+#!/usr/bin/php4 -qC
+<?
+// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+//
+// Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
+// resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
+// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+// 
+// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+// 
+// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+// particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+// detalles.
+// 
+// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+// Boston, MA  02111-1307, USA.
+//
+// $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/calcula_maxmin $
+// $Date: 2002-12-01 02:26:18 -0300 (dom, 01 dic 2002) $
+// $Rev: 33 $
+// $Author: luca $
+//
+
+// Muestra ayuda.
+if ( $argc < 3 ) {
+    echo "Modo de uso:\n";
+    echo "$argv[0] modo archivo\n";
+    echo "Donde modo es 'max' para calcular los máximos o 'min' para calcular los mínimos.\n";
+    exit;
+}
+
+// Abre archivos y obtiene datos iniciales.
+$f = fopen( $argv[2], 'r' )
+    or die( "Error al abrir $argv[2] para lectura.\n" );
+$s = fgets( $f, 4096 )
+    or die( "El archivo $argv[2] está vacío.\n" );
+list( $t0, $z0, $dz0 ) = preg_split( '/\s/', $s );
+
+// El primer valor siempre es un máximo.
+if ( $argv[1] == 'max' )
+    echo "$t0 $z0\n";
+
+// Procesa archivo calculando máximos y mínimos.
+while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
+    // Obtiene datos.
+    list( $t, $z, $dz ) = preg_split( '/\s/', $s );
+    // Se fija si la derivada es un "cero decreciente" (si es un máximo).
+    if ( $argv[1] == 'max' and $dz0 > 0 and ( $dz < 0  or $dz == 0 ) )
+        if ( $z0 > $z )
+            echo "$t0 $z0\n";
+        else
+            echo "$t $z\n";
+    // Se fija si la derivada es un "cero creciente" (si es un mínimo).
+    if ( $argv[1] == 'min' and $dz0 < 0 and ( $dz > 0  or $dz == 0 ) )
+        if ( $z0 < $z )
+            echo "$t0 $z0\n";
+        else
+            echo "$t $z\n";
+    // Actualiza valores anteriores.
+    $t0  = $t;
+    $z0  = $z;
+    $dz0 = $dz;
+}
+
+fclose( $f );
+
+?>
diff --git a/calcula_periodo b/calcula_periodo
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..b58e39e
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,88 @@
+#!/usr/bin/php4 -qC
+<?
+// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+//
+// Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
+// resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
+// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+// 
+// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+// 
+// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+// particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+// detalles.
+// 
+// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+// Boston, MA  02111-1307, USA.
+//
+// $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/calcula_periodo $
+// $Date: 2002-12-01 02:26:18 -0300 (dom, 01 dic 2002) $
+// $Rev: 33 $
+// $Author: luca $
+//
+
+// Muestra ayuda.
+if ( $argc < 2 ) {
+    echo "Modo de uso:\n";
+    echo "$argv[0] archivo\n";
+    exit;
+}
+
+// Abre archivo y obtiene datos iniciales.
+$f = fopen( $argv[1], 'r' );
+$s = fgets( $f, 4096 )
+    or die( "El archivo está vacío o no se pudo abrir.\n" );
+list( $t0, $z0 ) = preg_split( '/\s/', $s );
+
+// Procesa archivo calculando período.
+$t_ant  = 0;
+$c      = 0;
+$t_sum  = 0;
+$t_max  = 0;
+$tt_max = 0;
+$t_min  = 5000;
+$tt_min = 0;
+while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
+    // Obtiene datos.
+    list( $t, $z ) = preg_split( '/\s/', $s );
+    // Se fija si es un "cero decreciente".
+    if ( $z0 > 0 and ( $z < 0  or $z == 0 ) ) {
+        if ( $t_ant ) {
+            $t_actual = $t - $t_ant;
+            if ( $t_actual > $t_max ) {
+                $t_max  = $t_actual;
+                $tt_max = $t;
+            }
+            if ( $t_actual < $t_min ) {
+                $t_min  = $t_actual;
+                $tt_min = $t;
+            }
+            echo "$t_actual\n";
+            $t_sum += $t_actual;
+            $t_ant = $t;
+            $c++;
+        } else {
+            $t_ant = $t;
+        }
+    }
+    // Actualiza valores anteriores.
+    $t0 = $t;
+    $z0 = $z;
+}
+
+fclose( $f );
+
+// Imprime período.
+echo "Períodos promedio: " . $t_sum / $c . " ($c períodos promediados)\n";
+echo "Período máximo: $t_max (en t = $tt_max)\n";
+echo "Período mínimo: $t_min (en t = $tt_min)\n";
+
+?>
diff --git a/d1e.gnuplot b/d1e.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..bfe67f1
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,53 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d1e.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-24 19:55:46 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+# $Rev: 29 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "d1e.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por Euler para el caso sin depósitos y con fricción laminar"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:2500]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Plotea
+plot 'd1e.txt' using 1:2 title "z" with lines linetype 1
diff --git a/d1n.gnuplot b/d1n.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..de02e10
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,54 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d1n.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-30 18:54:58 -0300 (sáb, 30 nov 2002) $
+# $Rev: 32 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "d1n.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción laminar"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:2500]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Plotea
+plot 'd1n_k2.0.txt'    using 1:2 title "k = 2.0"    with lines linetype 1, \
+     'd1n_k0.0625.txt' using 1:2 title "k = 0.0625" with lines linetype 3
diff --git a/d1r.gnuplot b/d1r.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
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--- /dev/null
@@ -0,0 +1,53 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d1r.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-24 19:55:46 -0300 (dom, 24 nov 2002) $
+# $Rev: 29 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "d1r.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por RK4 para el caso sin depósitos y con fricción laminar"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:2500]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Plotea
+plot 'd1r.txt' using 1:2 title "z" with lines linetype 1
diff --git a/d4e.gnuplot b/d4e.gnuplot
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@@ -0,0 +1,68 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d4e.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-25 03:26:50 -0300 (lun, 25 nov 2002) $
+# $Rev: 30 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "d4e.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Estimación del tiempo de reposo para Euler en el caso sin depósitos y con fricción laminar"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
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+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set mytics  5
+
+# Primero aproximo por una recta para hallar valores aproximados de los parámetros.
+M(x) = a - b * x
+m(x) = -c - d * x
+fit M(x) 'd3e.max.txt' using 1:2 via a, b
+fit m(x) 'd3e.min.txt' using 1:2 via c, d
+
+# Ahora ahora la verdadera aproximación con una exponencial.
+M(x) = a * exp( -b * x )
+m(x) = -c * exp( -d * x )
+fit M(x) 'd3e.max.txt' using 1:2 via a, b
+fit m(x) 'd3e.min.txt' using 1:2 via c, d
+
+# Plotea
+plot M(x) title "Función aproximante de máximos" with lines linetype 1, \
+     m(x) title "Función aproximante de mínimos" with lines linetype 8
+
+# Se muestran las funciones aproximantes utilizadas.
+print "Funciones aproximantes:"
+print "M(x) = ", a, " * exp( -", b, " * x )"
+print "m(x) = -", c, " * exp( -", d, " * x )"
diff --git a/d4n.gnuplot b/d4n.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
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--- /dev/null
@@ -0,0 +1,68 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d4n.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-25 03:26:50 -0300 (lun, 25 nov 2002) $
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+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "d4n.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Estimación del tiempo de reposo para Nystrom en el caso sin depósitos y con fricción laminar"
+set key right top
+
+# Eje X.
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+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set mytics  5
+
+# Primero aproximo por una recta para hallar valores aproximados de los parámetros.
+M(x) = a - b * x
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+
+# Ahora ahora la verdadera aproximación con una exponencial.
+M(x) = a * exp( -b * x )
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+fit M(x) 'd3n.max.txt' using 1:2 via a, b
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+
+# Plotea
+plot M(x) title "Función aproximante de máximos" with lines linetype 1, \
+     m(x) title "Función aproximante de mínimos" with lines linetype 8
+
+# Se muestran las funciones aproximantes utilizadas.
+print "Funciones aproximantes:"
+print "M(x) = ", a, " * exp( -", b, " * x )"
+print "m(x) = -", c, " * exp( -", d, " * x )"
diff --git a/d4r.gnuplot b/d4r.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
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@@ -0,0 +1,68 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
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+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/d4r.gnuplot $
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+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
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+# Seteos generales.
+set title "Estimación del tiempo de reposo para RK4 en el caso sin depósitos y con fricción laminar"
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+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
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+
+# Primero aproximo por una recta para hallar valores aproximados de los parámetros.
+M(x) = a - b * x
+m(x) = -c - d * x
+fit M(x) 'd3r.max.txt' using 1:2 via a, b
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+# Ahora ahora la verdadera aproximación con una exponencial.
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+# Plotea
+plot M(x) title "Función aproximante de máximos" with lines linetype 1, \
+     m(x) title "Función aproximante de mínimos" with lines linetype 8
+
+# Se muestran las funciones aproximantes utilizadas.
+print "Funciones aproximantes:"
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diff --git a/diagrama.eps b/diagrama.eps
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+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
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+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/e1e.gnuplot $
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+
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+
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+# Plotea
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+set encoding iso_8859_1
+set output "f1e.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Solución por Euler para el caso con depósitos y con fricción turbulenta"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo (t)"
+set xrange  [0:5000]
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Altura (z)"
+set ytics   nomirror
+set yrange [-3.5:3.5]
+set ytics   -3.5, 0.5
+set mytics  5
+
+# Eje Y secundario.
+set y2label  "Velocidad (z')"
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+
+# Plotea
+plot 'f1e.txt' using 1:2 title "z" with lines linetype 1, \
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+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/f1n.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-30 03:48:32 -0300 (sáb, 30 nov 2002) $
+# $Rev: 31 $
+# $Author: luca $
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+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
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+# Seteos generales.
+set title "Solución por Nystrom para el caso con depósitos y con fricción turbulenta"
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+# Eje X.
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+# Plotea
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+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
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+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
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+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
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+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
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+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
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+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/f1r.gnuplot $
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+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
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+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
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+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/f4n.gnuplot $
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+# Eje X.
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+# Plotea
+plot 'f4n.max.txt' title "Máximos" with lines linetype 1, \
+     'f4n.min.txt' title "Mínimos" with lines linetype 8
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+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
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+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
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+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
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+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
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+Análisis Numérico I
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+ los términos de la GNU Free Documentation License (Licencia de Documentación
+ Libre GNU), Versión 1.1 o cualquier versión posterior publicada por la Free
+ Software Foundation (Fundación de Software Libre); sin Invariant Sections
+ (Secciones Invariantes), sin Front-Cover Texts (Texto de Portada-Delantera),
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+ Puede obtener una copia de la licencia en inglés en 
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+
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+
+
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \listoftables{}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Chapter
+
+Introducción.
+\layout Section
+
+Objetivo.
+\layout Standard
+
+Resolver un problema práctico implementando distintas metodologías de discretiza
+ción de ecuaciones diferenciales ordinarias.
+ Analizar el sistema físico bajo estudio y comparar las técnicas de resolución.
+\layout Section
+
+Introducción: Oscilación de líquidos
+\layout Standard
+
+Se estudiará un transitorio hidráulico, consistente en el movimiento de
+ un fluido luego que es apartado de su condición de equilibrio gravitatorio.
+ Como caso particular se presenta la oscilación entre dos depósitos comunicados
+ como se indica en la figura
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 368 283
+file diagrama.eps
+width 1 13
+height 1 10
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:diagrama}
+
+\end_inset 
+
+Esquema del modelo físico.
+\end_float 
+, donde 
+\begin_inset Formula \( z_{1} \)
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset Formula \( z_{2} \)
+\end_inset 
+
+ son los apartamientos de las superficies de los depósitos respecto de las
+ posiciones de equilibrio, 
+\begin_inset Formula \( A_{1} \)
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset Formula \( A_{2} \)
+\end_inset 
+
+ son las áreas horizontales de los depósitos (supuestas constantes), 
+\begin_inset Formula \( L \)
+\end_inset 
+
+ es la longitud de la tubería de comunicación y 
+\begin_inset Formula \( L \)
+\end_inset 
+
+ su sección (considerada circular).
+\layout Standard
+
+Considerando un fluido incompresible resulta 
+\begin_inset Formula \( z\cdot A=z\cdot A_{1}=z\cdot A_{2} \)
+\end_inset 
+
+, con 
+\begin_inset Formula \( z \)
+\end_inset 
+
+ el desplazamiento de una partícula de fluido dentro de la tubería y respecto
+ de su posición de equilibrio.
+ Así, la ecuación de movimiento del sistema es:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:ec_dif_fisica}
+\frac{\textrm{d}^{2}z}{dt^{2}}+\phi _{(z)}\cdot \frac{dz}{dt}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot z=0
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+con 
+\begin_inset Formula \( t \)
+\end_inset 
+
+ el tiempo, 
+\begin_inset Formula \( g \)
+\end_inset 
+
+ la aceleración de la gravedad, 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)} \)
+\end_inset 
+
+ un factor asociado a pérdidas por fricción y 
+\begin_inset Formula \( G \)
+\end_inset 
+
+ un factor geométrico.
+ Como condiciones iniciales se considerarán: 
+\begin_inset Formula \( z_{(0)}=\Delta z \)
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula \( \left. \frac{dz}{dt}\right| _{0}=0 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Chapter
+
+Discretización.
+\layout Standard
+
+La ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:ec_dif_fisica}
+
+\end_inset 
+
+ se deberá discretizar utilizando cada uno de los siguientes esquemas:
+\layout Itemize
+
+Euler explícito (E)
+\layout Itemize
+
+Runge-Kutta de orden 4 (RK4)
+\layout Itemize
+
+Nystrom (N)
+\layout Section
+
+Euler y Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+Estos métodos se construyen de forma similar.
+ Primero, al tratarse de una ecuación diferencial de segundo grado, hay
+ que hacer un cambio de variables y plantear un sistema de dos ecuaciones:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:cambio_variables}
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x=z & \Rightarrow  & \frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dt}\\
+y=\frac{dx}{dt}=\frac{dz}{dt} & \Rightarrow  & \frac{dy}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d^{2}z}{dt^{2}}
+\end{array}\right. 
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:sist_ec_dif}
+\Rightarrow \left\{ \begin{array}{lllll}
+\frac{dx}{dt} & = & y & = & f_{x_{(t,x,y)}}\\
+\frac{dy}{dt} & = & -\phi _{\left( x,y_{(x)}\right) }\cdot y-\frac{g\cdot G}{L}\cdot x & = & f_{y_{(t,x,y)}}
+\end{array}\right. 
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+ahora discretizamos le sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado
+ según el método.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:euler}
+\left\{ \begin{array}{lllll}
+x_{n+1} & = & x_{n}+k\cdot f_{x_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }} & = & x_{n}+k\cdot y_{n}\\
+y_{n+1} & = & y_{n}+k\cdot f_{y_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }} & = & y_{n}-k\cdot \left( \phi _{\left( x_{n},y_{n}\right) }\cdot y_{n}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{n}\right) 
+\end{array}\right. 
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:rk4}
+\begin{array}{l}
+\left\{ \begin{array}{lll}
+q_{x_{1}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }}\\
+q_{y_{1}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n},x_{n},y_{n}\right) }}
+\end{array}\right. \\
+\left\{ \begin{array}{lll}
+q_{x_{2}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{1}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{1}}}{2}\right) }}\\
+q_{y_{2}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{1}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{1}}}{2}\right) }}
+\end{array}\right. \\
+\left\{ \begin{array}{lll}
+q_{x_{3}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{2}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{2}}}{2}\right) }}\\
+q_{y_{3}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+\frac{k}{2},x_{n}+\frac{q_{x_{2}}}{2},y_{n}+\frac{q_{y_{2}}}{2}\right) }}
+\end{array}\right. \\
+\left\{ \begin{array}{lll}
+q_{x_{4}} & = & k\cdot f_{x_{\left( t_{n}+k,x_{n}+q_{x_{3}},y_{n}+q_{y_{3}}\right) }}\\
+q_{y_{4}} & = & k\cdot f_{y_{\left( t_{n}+k,x_{n}+q_{x_{3}},y_{n}+q_{y_{3}}\right) }}
+\end{array}\right. \\
+\left\{ \begin{array}{lll}
+x_{n+1} & = & x_{n}+\frac{1}{6}\cdot \left( q_{x_{1}}+2\cdot q_{x_{2}}+2\cdot q_{x_{3}}+q_{x_{4}}\right) \\
+y_{n+1} & = & y_{n}+\frac{1}{6}\cdot \left( q_{y_{1}}+2\cdot q_{y_{2}}+2\cdot q_{y_{3}}+q_{y_{4}}\right) 
+\end{array}\right. 
+\end{array}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Section
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+La construcción del método de Nystrom difiere de las anteriores ya que no
+ es necesario hacer un sistema de ecuaciones.
+ Nystrom parte del operador centrado 
+\begin_inset Formula \( \frac{d^{2}z}{dt^{2}}=f_{\left( t,z,\frac{dz}{dt}\right) } \)
+\end_inset 
+
+, por lo que se obtiene un método de paso múltiple (2 pasos).
+ Resulta entonces
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:operador_centrado}
+\frac{x_{n+1}-2\cdot x_{n}+x_{n-1}}{k^{2}}\approx \left. \frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right| _{n}=f_{\left( t,x,\frac{dx}{dt}\right) }
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+donde 
+\begin_inset Formula \( x \)
+\end_inset 
+
+ es la discretización de 
+\begin_inset Formula \( z \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+Desarrollando la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:ec_dif_fisica}
+
+\end_inset 
+
+ obtenemos 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:nystrom_inicial}
+\frac{x_{n+1}-2\cdot x_{n}+x_{n-1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{n+1}-x_{n-1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{n}=0
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+finalmente, despejando
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:nystrom}
+x_{n+1}=\frac{\left( \phi _{(x)}-1\right) \cdot x_{n-1}+\left( 2-\frac{g\cdot G\cdot k^{2}}{L}\right) \cdot x_{n}}{\phi _{(x)}+1}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsection
+
+Obtención de valores iniciales.
+\layout Standard
+
+Hay que tener en cuenta que como el método de Nystrom necesita 2 valores
+ iniciales para arrancar, necesitamos obtener el dato correspondiente a
+\begin_inset Formula \( x_{1} \)
+\end_inset 
+
+.
+ Este valor es obtenido por medio de una aproximación, considerando a la
+ solución una función par.
+ De esta manera suponemos que 
+\begin_inset Formula \( x_{-1}=x_{1} \)
+\end_inset 
+
+ y evaluamos la función discretizada (ver ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \ref{math:nystrom_inicial}
+
+\end_inset 
+
+) 
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:nystrom_valor_inicial}
+\begin{array}{r}
+\frac{x_{1}-2\cdot x_{0}+x_{-1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{1}-x_{-1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
+\frac{x_{1}-2\cdot x_{0}+x_{1}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{x_{1}-x_{1}}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
+\frac{2\cdot x_{1}-2\cdot x_{0}}{k^{2}}+\phi _{(x)}\frac{0}{2\cdot k}+\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
+\frac{2}{k^{2}}\cdot \left( x_{1}-x_{0}\right) +\frac{g\cdot G}{L}\cdot x_{0}=0\\
+x_{1}-x_{0}+\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\cdot x_{0}=0\\
+x_{1}+\left( \frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-1\right) \cdot x_{0}=0
+\end{array}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+obteniendo un valor aproximado
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:nystrom_val_ini}
+x_{1}=\left( 1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot x_{0}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+siendo 
+\begin_inset Formula \( x_{0} \)
+\end_inset 
+
+ dato del problema.
+\layout Subsection
+
+Aproximación de la derivada primera.
+\layout Standard
+
+Para construir la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}
+
+\end_inset 
+
+ supusimos un problema lineal aunque el coeficiente 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)} \)
+\end_inset 
+
+ no siempre lo es.
+ En los casos donde 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}\propto \left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
+\end_inset 
+
+ hacemos una aproximación simple
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{mat:nystrom_aprox_derivada}
+\left| \frac{dz}{dt}\right| \approx \left| \frac{dx}{dt}\right| \cong \left| \frac{x_{n}-x_{n-1}}{k}\right| 
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+No podemos utilizar un operador centrado para hacer la aproximación quedaría
+ en función de 
+\begin_inset Formula \( x_{n+1} \)
+\end_inset 
+
+ y al tratarse del valor absoluto sería imposible despejarlo para calcular
+ el paso siguiente como en la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Valores iniciales.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:valores_iniciales}
+
+\end_inset 
+
+Se toman los siguientes valores iniciales:
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( D=0.5\, [m] \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( n=10^{-6}\, \left[ \frac{m^{2}}{s}\right]  \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( g=9.8\, \left[ \frac{m^{2}}{s}\right]  \)
+\end_inset 
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( f=0.03\, [-] \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( L=(3\textrm{ últimas cifras del Padrón})+1\, [m]=892\, [m] \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( L_{e}=1.2\, [m] \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( \Delta z=\frac{\sqrt{L}}{10}\, [m]=1070.4\, [m] \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( A_{1}=100A \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Itemize
+
+
+\begin_inset Formula \( A_{2}=50A \)
+\end_inset 
+
+
+\layout Chapter
+
+Caso sin depósitos y sin fricción.
+\layout Standard
+
+Si se desprecian los efectos resistivos y se considera un tubo en U resulta
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula \( G=2 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Gráfico de la solución en el tiempo.
+\layout Standard
+
+Se grafican aproximadamente 10 períodos de la solución.
+ La solución teórica es conservativa por lo que se espera que la solución
+ numérica también lo sea, aunque como se verá, no siempre es así.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c1e.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_c1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Euler para el caso sin depósitos ni fricción.
+\end_float 
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:euler_diverge}
+
+\end_inset 
+
+La solución por este método diverge casi de forma incondicional.
+ En la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_c1}
+
+\end_inset 
+
+podemos ver como al graficar variando el paso 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+, el método es mínimamente estable sólo si 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+ es extremadamente pequeño.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c1r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_c1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por RK4 para el caso sin depósitos ni fricción.
+\end_float 
+Luego de probar algunas variantes para el paso, se grafica la solución para
+ un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=0.44 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Con este paso la solución parece ser bastante precisa y hasta se podría
+ haber tomado un paso considerablemente mayor.
+ Los resultados pueden verse en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_c1}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:rk4_estable}
+
+\end_inset 
+
+A partir de un paso 
+\begin_inset Formula \( k=5 \)
+\end_inset 
+
+ la solución parece ser estable.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c1n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_c1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Nystrom para el caso sin depósitos ni fricción.
+\end_float 
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:nystrom_paso_minimo}
+
+\end_inset 
+
+Al igual que con el método RK4, se prueban algunos pasos y se utiliza 
+\begin_inset Formula \( k=0.44 \)
+\end_inset 
+
+, aunque el método es estable y da resultados aparentemente válidos con
+ un paso del orden de 
+\begin_inset Formula \( k=10 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Los resultados pueden verse en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_c1}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Determinación del período.
+\layout Standard
+
+El valor teórico del período es 
+\begin_inset Formula \( \tau =\pi \cdot \sqrt{\frac{2\cdot L}{g}}=42.387154 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:calculo_periodo}
+
+\end_inset 
+
+Para hallar el período numéricamente, se estiman los 
+\emph on 
+ceros
+\emph default 
+\emph on 
+decrecientes
+\emph default 
+ de la solución.
+ Llamamos 
+\emph on 
+cero decreciente
+\emph default 
+ al punto donde la función cruza el eje de las abscisas en dirección decreciente.
+ También puede ser visto como el punto donde la derivada primera es mínima.
+ La diferencia entre un 
+\emph on 
+cero decreciente
+\emph default 
+ y el siguiente es tomado como el período de la función.
+ Para calcularlo resolvió la ecuación númericamente hasta un 
+\begin_inset Formula \( t=5000 \)
+\end_inset 
+
+, aproximadamente 120 períodos, con un paso 
+\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
+\end_inset 
+
+ para no perder mucha precisión.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c2.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_c}
+
+\end_inset 
+
+Evolución del Período para el caso sin depósitos y sin fricción
+\end_float 
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_analisis}
+
+\end_inset 
+
+Podemos ver en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_c}
+
+\end_inset 
+
+ que el período se comporta de la misma forma para todos los métodos analizados.
+ Vemos que sufre una variación leve cerca del período 24 (
+\begin_inset Formula \( t\cong 1000 \)
+\end_inset 
+
+) y otra más 
+\emph on 
+brusca
+\emph default 
+ cerca del período 95 (
+\begin_inset Formula \( t\cong 4000 \)
+\end_inset 
+
+).
+ Cabe destacar que la variación 
+\emph on 
+brusca
+\emph default 
+ es del orden de 
+\begin_inset Formula \( 0.5\% \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_euler_c2}
+
+\end_inset 
+
+A pesar de los problemas nombrados en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:euler_diverge}
+
+\end_inset 
+
+, el período calculado por Euler da un valor muy cercano al teórico: 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.382906 \)
+\end_inset 
+
+, lo que daría un error porcentual de 
+\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
+\end_inset 
+
+.
+ Cabe destacar que para el paso 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+ utilizado la solución diverge, pero el período no parece verse afectado.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4 y Nystrom.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:periodo_rk4_nystrom_c2}
+
+\end_inset 
+
+Es curioso, ambos métodos promedian un período exactamente igual: 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Es aún más curioso que este resultado sea más lejano al teórico que el
+ de Euler, aunque por poco.
+ La diferencia es mínima y el error porcentual se mantiene en 
+\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Análisis de conservación.
+\layout Standard
+
+Para analizar si el método es conservativo se propone igualar la solución
+ numérica con la solución matemática:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:conservacion}
+u_{n}\approx c\cdot e^{\alpha \cdot t}\approx c\cdot e^{\alpha \cdot n\cdot k}=c\cdot \left( e^{\alpha \cdot k}\right) ^{n}=c\cdot \gamma ^{n}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Para que el método oscile, 
+\begin_inset Formula \( \gamma  \)
+\end_inset 
+
+ debe ser complejo y tener parte imaginaria:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:gamma_imaginario}
+\gamma \neq \overline{\gamma }\quad \Leftrightarrow \quad \Im _{(\gamma )}\neq 0
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+y para que el método sea conservativo, 
+\begin_inset Formula \( \gamma  \)
+\end_inset 
+
+ debe tener módulo 1:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:gamma_modulo_1}
+\left| \gamma \right| =\sqrt{\Re ^{2}_{(\gamma )}+\Im ^{2}_{(\gamma )}}=1\quad \Leftrightarrow \quad \left| \gamma \right| ^{2}=\Re ^{2}_{(\gamma )}+\Im ^{2}_{(\gamma )}=1
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+Como 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
+\end_inset 
+
+, según la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:euler}
+
+\end_inset 
+
+ resulta:
+\begin_inset Formula \[
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x_{n+1} & = & x_{n}+k\cdot y_{n}\\
+y_{n+1} & = & y_{n}-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k\cdot x_{n}
+\end{array}\right. \]
+
+\end_inset 
+
+reemplazando con la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}
+
+\end_inset 
+
+ y expresándolo matricialmente obtenemos:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma ^{n+1}\\
+C_{y}\cdot \gamma ^{n+1}
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1 & k\\
+-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma ^{n}\\
+C_{y}\cdot \gamma ^{n}
+\end{array}\right) \\
+\left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma \\
+C_{y}\cdot \gamma 
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1 & k\\
+-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\\
+C_{y}
+\end{array}\right) \\
+\left( \begin{array}{c}
+0\\
+0
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1-\gamma  & k\\
+-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1-\gamma 
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\\
+C_{y}
+\end{array}\right) 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Para que la matriz tenga otra solución además de la trivial: 
+\begin_inset Formula \[
+\det \left( \begin{array}{cc}
+1-\gamma  & k\\
+-k\cdot \frac{g\cdot G}{L} & 1-\gamma 
+\end{array}\right) =0\quad \Leftrightarrow \quad \left( 1-\gamma \right) ^{2}+k\cdot \frac{g\cdot G}{L}=0\quad \Leftrightarrow \quad \gamma =1\pm i\cdot k\cdot \sqrt{\frac{g\cdot G}{L}}\]
+
+\end_inset 
+
+para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad k\neq 0\]
+
+\end_inset 
+
+por lo tanto, para que el método de Euler oscile, debe cumplirse 
+\begin_inset Formula \( k\neq 0 \)
+\end_inset 
+
+ lo que no agrega ninguna limitación.
+ Por otro lado para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\left| \gamma \right| ^{2}=1+k^{2}\cdot \left| \frac{g\cdot G}{L}\right| =1\quad \Leftrightarrow \quad k=0\]
+
+\end_inset 
+
+por lo tanto, el método de Euler diverge para cualquier valor de 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+ ya que 
+\begin_inset Formula \( \left| \gamma \right| >1\quad \forall k>0 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:rk4_conservacion}
+
+\end_inset 
+
+Lo primero que hay que hacer es expresar el método de forma más simple,
+ en un sólo par de ecuaciones.
+ Teniendo en cuenta que 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
+\end_inset 
+
+, reemplazando y desarrollando la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:rk4}
+
+\end_inset 
+
+ obtenemos:
+\begin_inset Formula \[
+\left\{ \begin{array}{rcl}
+x_{n+1} & = & \left( 1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot x_{n}+\frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \cdot y_{n}\\
+y_{n+1} & = & \left( \frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L}\right) \cdot x_{n}+\left( 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}\right) \cdot y_{n}
+\end{array}\right. \]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+reemplazando con la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}
+
+\end_inset 
+
+ y expresándolo matricialmente obtenemos:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma ^{n+1}\\
+C_{y}\cdot \gamma ^{n+1}
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L} & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
+\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma ^{n}\\
+C_{y}\cdot \gamma ^{n}
+\end{array}\right) \\
+\left( \begin{array}{c}
+C_{x}\cdot \gamma \\
+C_{y}\cdot \gamma 
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L} & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
+\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\\
+C_{y}
+\end{array}\right) \\
+\left( \begin{array}{c}
+0\\
+0
+\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
+1-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-\gamma  & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k\cdot g\cdot G}{3\cdot L}\right) \\
+\frac{k^{3}}{2}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k\cdot g\cdot G}{L} & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot \left( \frac{g\cdot G}{L}\right) ^{2}-\frac{k^{2}\cdot g\cdot G}{2\cdot L}-\gamma 
+\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}
+C_{x}\\
+C_{y}
+\end{array}\right) 
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Para que la matriz tenga otra solución además de la trivial 
+\begin_inset Formula \( \left( a=\frac{g\cdot G}{L}\right)  \)
+\end_inset 
+
+: 
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\det \left( \begin{array}{cc}
+1-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\gamma  & \frac{k}{2}\cdot \left( 1-\frac{k}{3}\cdot a\right) \\
+\frac{k^{3}}{2}\cdot a^{2}-k\cdot a & 1+\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\gamma 
+\end{array}\right)  & = & 0\\
+\left( 1-\frac{k^{2}}{2}\cdot a-\frac{k^{3}}{6}\cdot a^{2}-\frac{7\cdot k^{4}}{24}\cdot a^{2}+\frac{k^{5}}{32}\cdot a^{3}+\frac{k^{6}}{48}\cdot a^{3}\right) +\left( k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2\right) \cdot \gamma +\gamma ^{2} & = & 0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+resultando:
+\begin_inset Formula \[
+\gamma =\frac{-\left( k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2\right) \pm \sqrt{\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a}}{2}\]
+
+\end_inset 
+
+ para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a<0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{k^{4}\cdot a^{3}}{576}+\frac{k^{3}\cdot a^{2}}{8}-\frac{k\cdot 2\cdot a}{3}-6<0\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c3o.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:oscilacion_rk4}
+
+\end_inset 
+
+Análisis de oscilación para RK4.
+\end_float 
+Como la inecuación resultante es muy compleja de resolver analíticamente
+ se la resolvió gráficamente y se ve en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:oscilacion_rk4}
+
+\end_inset 
+
+ que para un paso 
+\begin_inset Formula \( k<51 \)
+\end_inset 
+
+ el método se comporta de forma oscilatoria.
+\layout Standard
+
+Por otro lado para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
+\left| \gamma \right| ^{2}=\left( \frac{k^{2}\cdot a-\frac{k^{4}}{24}\cdot a^{2}-2}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{\sqrt{\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{576}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{8}-\frac{2\cdot k^{3}\cdot a^{2}}{3}-6\cdot k^{2}\cdot a}}{2}\right) ^{2} & = & 1\\
+\frac{k^{4}\cdot a^{2}}{4}-\frac{k^{8}\cdot a^{4}}{2304}-2-\frac{k^{6}\cdot a^{2}}{48}-k^{2}\cdot a+\frac{k^{4}\cdot a^{2}}{24}+\left| \frac{k^{8}\cdot a^{4}}{2304}+\frac{k^{5}\cdot a^{3}}{32}-\frac{k^{3}\cdot a^{2}}{6}-\frac{3\cdot k^{2}\cdot a}{2}\right|  & = & 0
+\end{eqnarray*}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file c3c.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:convergencia_rk4}
+
+\end_inset 
+
+Análisis de convergencia para RK4.
+\end_float 
+Nuevamente obtenemos una ecuación muy compleja de resolver analíticamente.
+ En la figura se presenta la resulución gráfica en donde observamos que
+ el método converge para cualquier 
+\begin_inset Formula \( k>0 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Sin embargo para un 
+\begin_inset Formula \( k<7 \)
+\end_inset 
+
+ aproximadamente vemos que tiende a converger lentamente, mientras que para
+\begin_inset Formula \( k>7 \)
+\end_inset 
+
+ tiende a converger de forma mucho más brusca (y cada vez más acentuada).
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+Como 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=0 \)
+\end_inset 
+
+, según la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:nystrom}
+
+\end_inset 
+
+ resulta:
+\begin_inset Formula \[
+x_{n+1}=\left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot x_{n}-x_{n-1}\]
+
+\end_inset 
+
+ reemplazando con la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:conservacion}
+
+\end_inset 
+
+, obtenemos:
+\begin_inset Formula \[
+\left. \begin{array}{lll}
+\gamma ^{n+1} & = & \left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma ^{n}-\gamma ^{n-1}\\
+\gamma ^{2} & = & \left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma -1\\
+0 & = & \gamma ^{2}-\left( 2-\frac{g\cdot G}{L}\cdot k^{2}\right) \cdot \gamma +1
+\end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad \gamma =\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) \pm \sqrt{\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1}\]
+
+\end_inset 
+
+para que el método resulte oscilatorio, se debe cumplir la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_imaginario}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\Im _{(\gamma )}\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \Im _{\left( \sqrt{\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1}\right) }\neq 0\quad \Leftrightarrow \quad \left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1<0\quad \Leftrightarrow \quad 0<k<\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}\]
+
+\end_inset 
+
+por lo tanto, para que el método de Nystrom oscile, debe cumplirse 
+\begin_inset Formula \( k<\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}=13.49225 \)
+\end_inset 
+
+, que coincide con lo obtenido experimentalmente en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_paso_minimo}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+Para que el método sea conservativo debe cumplirse la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \vref{math:gamma_modulo_1}
+
+\end_inset 
+
+:
+\begin_inset Formula \[
+\left| \gamma \right| ^{2}=\left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}+\left| \left( 1-\frac{g\cdot G}{2\cdot L}\cdot k^{2}\right) ^{2}-1\right| =1\quad \Leftrightarrow \quad k=\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}\]
+
+\end_inset 
+
+por lo tanto, 
+\begin_inset Formula \( k=\sqrt{\frac{4\cdot L}{g\cdot G}}=13.49225 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Sin embargo en la práctica (ver figura 
+\begin_inset LatexCommand \vref{fig:nystrom_c1}
+
+\end_inset 
+
+) vemos que, a pesar de que el método debería converger con un paso más
+ pequeño que 
+\begin_inset Formula \( k<13.49225 \)
+\end_inset 
+
+, no lo hace y da la impresión de comportarse de forma conservativa.
+\layout Chapter
+
+Caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\layout Standard
+
+Considerando la fricción laminar y un tubo en U resulta 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{32\cdot n}{D^{2}} \)
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula \( G=2 \)
+\end_inset 
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula \( n \)
+\end_inset 
+
+ la viscosidad cinemática del líquido y el diámetro del tubo.
+\layout Section
+
+Gráfico de la solución en el tiempo.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:graficos_d}
+
+\end_inset 
+
+Se grafican aproximadamente 50 períodos de la solución.
+ Se toman más períodos a pesar de que no se vea muy claro el gráfico porque
+ la solución converge pero de forma lenta y de tomarse pocos períodos casi
+ no se observaría el fenómeno.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d1e.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_d1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Euler para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\end_float 
+El método de Euler sigue teniendo un error muy grande con pasos relativamente
+ pequeños lo que hace que tienda a divergir muy fácilmente (o al menos a
+ contrarrestar la poca convergencia en este caso).
+ Para que esto no suceda, como se ve en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d1}
+
+\end_inset 
+
+, se tomó un paso 
+\begin_inset Formula \( k=0.0025 \)
+\end_inset 
+
+, 1000 veces menor que el utilizado para RK4 y Nystrom para obtener los
+ mismos (o incluso mejores) resultados.
+ De tomar un paso más grande, la divergencia del método es muy similar a
+ la presentada en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \vref{fig:euler_c1}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d1r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_d1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por RK4 para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\end_float 
+Es el método más estable para este caso.
+ El la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_d1}
+
+\end_inset 
+
+ se grafica con un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=2.5 \)
+\end_inset 
+
+, con el cual comienza a comportarse de forma estable.
+ A medida que se disminuye el paso conserva el comportamiento.
+ Si se toma un paso mayor, diverge rápidamente.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d1n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_d1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\end_float 
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:nystrom_converge}
+
+\end_inset 
+
+Este método se comporta de una forma muy particular.
+ Con un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+ se mantiene estable y parece dar buenos resultados.
+ Si se toma un paso menor, converge de forma más violenta, dando una solución
+ no válida como se aprecia en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_d1}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Con un paso mayor se observa el efecto contrario: diverge rápidamente.
+\layout Section
+
+Determinación del período.
+\layout Standard
+
+El valor teórico del período es 
+\begin_inset Formula \( \tau =\frac{2\cdot \pi }{\sqrt{\frac{2\cdot g}{L}+\left( \frac{16\cdot n}{D^{2}}\right) ^{2}}}=42.387150 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
+ punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}
+
+\end_inset 
+
+, con un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
+\end_inset 
+
+ y resolviendo hasta 
+\begin_inset Formula \( t=5000\cong 120 \)
+\end_inset 
+
+ períodos.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d2.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_d}
+
+\end_inset 
+
+Evolución del Período para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\end_float 
+Podemos ver en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_d}
+
+\end_inset 
+
+ que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+Al igual que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_euler_c2}
+
+\end_inset 
+
+, el período obtenido, a pesar de la divergencia, es 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.382906 \)
+\end_inset 
+
+, un valor muy cercano al teórico.
+ Tiene el mismo error porcentual de 
+\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+También el período hallado por este método coincide con el caso donde no
+ hay fricción (ver punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_rk4_nystrom_c2}
+
+\end_inset 
+
+): 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
+\end_inset 
+
+.
+ El error porcentual vuelve a ser del orden de 
+\begin_inset Formula \( e=0.01\% \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+Este es el único método que varía con respecto al caso sin fricción.
+ Con el efecto de la fricción laminar y para un paso tan pequeño el método
+ converge, como se explicó en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Al igual que con Euler, esto no impide calcular el período y también coincidien
+do con Euler, hallamos que el error es menor que para RK4 e incluso que
+ para Euler.
+ El período calculado numéricamente da 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.387949 \)
+\end_inset 
+
+, con lo que observamos que ganamos un dígito de precisión, siendo el error
+ porcentual del orden de 
+\begin_inset Formula \( e=0.002\% \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+Al calcular estos valores se puso en evidencia la inestabilidad del método
+ de Nystrom para este caso.
+ Hubo que probar valores del paso (sin que sea demasiado grande ni demasiado
+ pequeño por lo explicado en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}
+
+\end_inset 
+
+) e ir comparando con RK4 que resulta el más estable.
+ También puede notarse que las crestas no decrecen (en valor absoluto) monótonam
+ente como sucede con Euler y RK4 que tienen un comportamiento similar (aunque
+ Euler necesita un paso extremadamente pequeño para lograr estos resultados).
+\layout Standard
+
+\begin_float tab 
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+\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_d}
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+Valores de excursión máxima para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.91028
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+398.606
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.9135
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_d}
+
+\end_inset 
+
+Valores de excursión mínima para el caso sin depósitos y con fricción laminar.
+\end_float 
+Pueden verse los resultados en los cuadros 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_d}
+
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_d}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Estimación del tiempo de reposo.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+Para estimar el tiempo de reposo se calculó los máximos de la solución igual
+ que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+ pero para una mayor cantidad de períodos (aproximadamente 1200 en un principio).
+ Luego se ajustaron los datos por mínimos cuadrados a través de una función:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:aproximacion_minimos_cuadrados}
+z_{(t)}=a\cdot e^{-b\cdot t}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Luego de comparar los resultados con cada vez menor cantidad de períodos,
+ se observo que la calidad de la aproximación no empeoraba, incluso al utilizar
+ sólo los primeros 10 períodos obtenidos en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+, al menos para el método RK4.
+\layout Standard
+
+Consideramos que se llega al reposo cuando 
+\begin_inset Formula \( \left| z\right| \leq 0.01 \)
+\end_inset 
+
+, por lo que si despejamos 
+\begin_inset Formula \( t \)
+\end_inset 
+
+ de la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \ref{math:aproximacion_minimos_cuadrados}
+
+\end_inset 
+
+, resulta:
+\begin_inset Formula \begin{equation}
+\label{math:reposo}
+t\geq \frac{\ln \left| a\right| -\ln (z)}{b}=\frac{\ln \left| a\right| -\ln (0.01)}{b}=\frac{\ln \left| a\right| +4.60517}{b}
+\end{equation}
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d4e.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_d4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para Euler.
+\end_float 
+No tiene mucho sentido la estimación por Euler, ya que se pone en evidencia
+ la tendencia a divergir de este método y se obtienen resultados poco precisos
+ cuando se los compara con RK4 o incluso Nystrom, que no es muy estable
+ para este caso.
+ Aún así se presentan los resultados del ajuste de los máximos y mínimos
+ obtenidos en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+ en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d4}
+
+\end_inset 
+
+ porque no tiene sentido aproximar con más períodos porque el paso 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+ debería ser extremadamente pequeño para que no diverja.
+ La funciones aproximantes resultaron:
+\begin_inset Formula \[
+z^{\max }_{(t)}=2.986634\cdot e^{-1.95\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+z^{\min }_{(t)}=-2.986629\cdot e^{-1.95\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Standard
+
+Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}
+
+\end_inset 
+
+ obteniendo 
+\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.98663)+4.60517}{1.95\cdot 10^{-5}}\cong 292272\cong 300000 \)
+\end_inset 
+
+ como se aprecia en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_d4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d4r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_d4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para RK4.
+\end_float 
+Como se explico en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+, a pesar de ser posible calcular los máximos y mínimos para muchos más
+ períodos que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+, no es necesario ya que con estos datos se obtiene una precisión que no
+ es mejorada considerablemente aumentando la cantidad de períodos evaluados.
+\layout Standard
+
+La funciones aproximantes resultaron:
+\begin_inset Formula \[
+z^{\max }_{(t)}=2.9862768\cdot e^{-6.4\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+z^{\min }_{(t)}=-2.9862509\cdot e^{-6.4\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}
+
+\end_inset 
+
+ obteniendo 
+\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.98626)+4.60517}{6.4\cdot 10^{-5}}\cong 89049\cong 90000 \)
+\end_inset 
+
+ como se aprecia en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_d4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file d4n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_d4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
+\end_float 
+Al igual que con RK4, y a pesar de que para el caso de este método la variación
+ de los máximos y mínimos no es monótona, se obtienen resultados precisos
+ utilizando los datos del punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+La funciones aproximantes resultaron:
+\begin_inset Formula \[
+z^{\max }_{(t)}=2.977926\cdot e^{-6.68\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+
+\begin_inset Formula \[
+z^{\min }_{(t)}=-2.732692\cdot e^{-6.06\cdot 10^{-5}\cdot t}\]
+
+\end_inset 
+
+Para hallar el tiempo de reposo estimado reemplazamos en la ecuación 
+\begin_inset LatexCommand \ref{math:reposo}
+
+\end_inset 
+
+ obteniendo 
+\begin_inset Formula \( t\cong \frac{\ln (2.975)+4.60517}{6.37\cdot 10^{-5}}\cong 89409\cong 90000 \)
+\end_inset 
+
+ como se aprecia en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_d4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Chapter
+
+Caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\layout Standard
+
+Considerando flujo turbulento y un tubo en U resulta 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{f}{2\cdot D}\left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula \( G=2 \)
+\end_inset 
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula \( f \)
+\end_inset 
+
+ el factor de fricción.
+\layout Section
+
+Gráfico de la solución en el tiempo.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:graficos_e}
+
+\end_inset 
+
+Se grafican aproximadamente 25 períodos de la solución.
+ La solución converge de forma más rápida que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:graficos_d}
+
+\end_inset 
+
+, por lo que se pueden tomar menos períodos lográndose ver el efecto de
+ la convergencia.
+ Se incluyen la derivada primera en los gráficos.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e1e.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_e1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Euler para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Como la convergencia es más violenta en este caso, no es necesario tomar
+ un paso tan pequeño para Euler.
+ Al tomarse un 
+\begin_inset Formula \( k=0.0125 \)
+\end_inset 
+
+ vemos en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_e1}
+
+\end_inset 
+
+ que el método se comporta de manera razonable.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e1r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_e1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por RK4 para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Nuevamente este método se comporta de forma estable para un paso bastante
+ grande.
+ El la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_e1}
+
+\end_inset 
+
+ se grafica con un 
+\begin_inset Formula \( k=3.125 \)
+\end_inset 
+
+, con el cual comienza a comportarse de forma estable.
+ A medida que se disminuye el paso conserva el comportamiento.
+ Si se toma un paso un poco mayor converge rápidamente, y si el paso es
+ mucho mayor, diverge rápidamente.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e1n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_e1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+El método se comporta de la misma forma que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:nystrom_converge}
+
+\end_inset 
+
+, por lo que solamente se grafica para un paso estable 
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+ como se ve en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_e1}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Determinación del período.
+\layout Standard
+
+En este caso no podemos calcular, al menos de forma simple, el valor teórico
+ del período.
+\layout Standard
+
+Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
+ punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}
+
+\end_inset 
+
+, con un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
+\end_inset 
+
+ y resolviendo hasta 
+\begin_inset Formula \( t=5000\cong 120 \)
+\end_inset 
+
+ períodos.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e2.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_e}
+
+\end_inset 
+
+Evolución del Período para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Podemos ver en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_e}
+
+\end_inset 
+
+ que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+Al igual que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_euler_c2}
+
+\end_inset 
+
+, el período obtenido, a pesar de la divergencia, es 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.381624 \)
+\end_inset 
+
+, similar al hallado en los casos anteriores.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+El período hallado por este método no sólo es similar a los hallados en
+ casos anteriores, es igual: 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.382051 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+Al igual que con Euler, el período hallado es muy similar al de los casos
+ anteriores: 
+\begin_inset Formula \( \tau =42.383419 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_e}
+
+\end_inset 
+
+A diferencia del punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:max_min_d}
+
+\end_inset 
+
+, el método de Nystrom para este caso evoluciona de forma monótona con un
+ paso 
+\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Por lo demás es muy similar.
+\layout Standard
+
+\begin_float tab 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset  Tabular
+<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
+<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Euler (
+\begin_inset Formula \( k=0.00405 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+RK4 (
+\begin_inset Formula \( k=0.405 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Nystrom (
+\begin_inset Formula \( k=2.13158 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.98664
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0
+\end_inset 
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+\begin_inset Text
+
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+
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+</cell>
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+
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+\end_inset 
+</cell>
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+</cell>
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+254.339
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.22663
+\end_inset 
+</cell>
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
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+
+\layout Standard
+
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+
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+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.11716
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+292.026
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.15909
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+339.252
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.03592
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.02529
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+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.07448
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+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+381.736
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.958364
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+381.509
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.947538
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+377.29
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.997706
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_e}
+
+\end_inset 
+
+Valores de excursión máxima para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+\begin_float tab 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset  Tabular
+<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
+<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Euler (
+\begin_inset Formula \( k=0.0039 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+RK4 (
+\begin_inset Formula \( k=0.39 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Nystrom (
+\begin_inset Formula \( k=1.95 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+21.2173
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.66993
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+21.06
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.66681
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+19.1842
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.686
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+63.6487
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.20344
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+63.5849
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.19796
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+61.8158
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.22681
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+106.073
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.87632
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+106.11
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.86909
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+102.316
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.90256
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+148.451
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.6342
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+148.635
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.62538
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+144.947
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.67739
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+190.787
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.44776
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+190.755
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.43851
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+187.579
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.49474
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+233.119
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.29977
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+233.279
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.29016
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+230.21
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.34204
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+275.521
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.17943
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+275.804
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.16917
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+272.842
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.21128
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+318.008
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.07967
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+317.924
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.06917
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+313.342
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.11568
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+360.492
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.995614
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+360.449
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.985082
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+355.974
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.03522
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+402.98
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.923832
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+402.974
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.912937
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+398.606
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.961757
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_e}
+
+\end_inset 
+
+Valores de excursión mínima para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Pueden verse los resultados en los cuadros 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_e}
+
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_e}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Estimación del tiempo de reposo.
+\layout Standard
+
+Para estimar el tiempo de reposo se probó el método utilizado en el punto
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+, pero no se pudo hallar una buena función aproximante, por lo tanto simplemente
+ se buscó la solución hasta hallar el mismo valor límite de 
+\begin_inset Formula \( z=0.01 \)
+\end_inset 
+
+ que para el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Para el método de Euler no se justifica calcular la estimación, ya que
+ basándonos en los valores obtenidos por otros métodos hay que llegar a
+ un 
+\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
+\end_inset 
+
+ para lo que serían necesario un paso muy pequeño para que no diverja.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e4r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_e4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para RK4.
+\end_float 
+Para hallar la estimación simplemente se resolvió la ecuación hasta que
+\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Esto sucedió para 
+\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
+\end_inset 
+
+ utilizando un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=0.5 \)
+\end_inset 
+
+ como se observa en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_e4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file e4n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_e4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
+\end_float 
+Al igual que para RK4, simplemente se resolvió la ecuación hasta que 
+\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Esto también sucedió para 
+\begin_inset Formula \( t\cong 50000 \)
+\end_inset 
+
+ pero utilizando un paso mucho mayor 
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+ conservando la precisión, como se observa en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_e4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Chapter
+
+Caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\layout Standard
+
+Considerando flujo turbulento y el sistema hidráulico de la figura 
+\begin_inset LatexCommand \vref{fig:diagrama}
+
+\end_inset 
+
+, resulta 
+\begin_inset Formula \( \phi _{(z)}=\frac{f}{2\cdot D}\cdot \frac{L_{e}}{L}\left| \frac{dz}{dt}\right|  \)
+\end_inset 
+
+, 
+\begin_inset Formula \( G=A\cdot \left( \frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}\right)  \)
+\end_inset 
+
+, siendo 
+\begin_inset Formula \( L_{e} \)
+\end_inset 
+
+ un factor de pérdidas de carga, 
+\begin_inset Formula \( A \)
+\end_inset 
+
+ la sección del tubo y 
+\begin_inset Formula \( A_{i} \)
+\end_inset 
+
+ la sección horizontal del depósito.
+\layout Standard
+
+Considerando los valores iniciales (ver punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:valores_iniciales}
+
+\end_inset 
+
+), vemos que 
+\begin_inset Formula \( G \)
+\end_inset 
+
+ es constante:
+\begin_inset Formula \[
+G=A\cdot \left( \frac{1}{A_{1}}+\frac{1}{A_{2}}\right) =A\cdot \left( \frac{1}{100\cdot A}+\frac{1}{50\cdot A}\right) =A\cdot \frac{1+2}{100\cdot A}=\frac{3}{100}=0.03\]
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Section
+
+Gráfico de la solución en el tiempo.
+\layout Standard
+
+Se grafican aproximadamente 15 períodos de la solución.
+ La solución converge de forma más rápida que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:graficos_e}
+
+\end_inset 
+
+ y con un período mayor, por lo que se pueden tomar menos períodos lográndose
+ ver el efecto de la convergencia.
+ Se incluyen la derivada primera en los gráficos.
+\layout Standard
+
+Los métodos se comportan igual que en los casos anteriores, al menos para
+ la cantidad de períodos graficados.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f1e.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:euler_f1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Euler para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Como la convergencia es más violenta en este caso, no es necesario tomar
+ un paso tan pequeño para Euler.
+ Al tomarse un 
+\begin_inset Formula \( k=0.05 \)
+\end_inset 
+
+ vemos en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:euler_f1}
+
+\end_inset 
+
+ que el método se comporta de manera razonable.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f1r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_f1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por RK4 para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Nuevamente este método se comporta de forma estable para un paso bastante
+ grande.
+ El la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_f1}
+
+\end_inset 
+
+ se grafica con un 
+\begin_inset Formula \( k=5 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f1n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_f1}
+
+\end_inset 
+
+Solución por Nystrom para el caso sin depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Volvemos a observar que el método es solamente estable para valores de 
+\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
+\end_inset 
+
+.
+ En la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_f1}
+
+\end_inset 
+
+ se grafica para un paso estable 
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Determinación del período.
+\layout Standard
+
+En este caso al igual que en el anterior no podemos calcular, al menos de
+ forma simple, el valor teórico del período.
+\layout Standard
+
+Para hallar el período numéricamente se utilizó el mismo método que en el
+ punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:calculo_periodo}
+
+\end_inset 
+
+, con un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=0.04 \)
+\end_inset 
+
+ y resolviendo hasta 
+\begin_inset Formula \( t=40000\cong 120 \)
+\end_inset 
+
+ períodos.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f2.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:periodo_f}
+
+\end_inset 
+
+Evolución del Período para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+Podemos ver en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:periodo_f}
+
+\end_inset 
+
+ que el período se comporta de la misma forma que en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:periodo_analisis}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Cabe destacar que para este caso el período aproximadamente 10 veces superior
+ al de los casos anteriores, por lo que el período 24 se alcanza en 
+\begin_inset Formula \( t\cong 8300 \)
+\end_inset 
+
+ y el período 95 en 
+\begin_inset Formula \( t\cong 33000 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+Nuevamente, a pesar de la divergencia, el período 
+\begin_inset Formula \( \tau =346.03739 \)
+\end_inset 
+
+ parece ser bastante preciso, al menos al compararlo con los resultados
+ obtenidos con los otros métodos.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+El período hallado con este método es: 
+\begin_inset Formula \( \tau =346.04435 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+El período hallado con este método es: 
+\begin_inset Formula \( \tau =346.04695 \)
+\end_inset 
+
+.
+\layout Section
+
+Valores de excursión máxima y mínima del menisco.
+\layout Standard
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{sec:max_min_f}
+
+\end_inset 
+
+Pueden verse los resultados en los cuadros 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:max_f}
+
+\end_inset 
+
+ y 
+\begin_inset LatexCommand \ref{tab:min_f}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Standard
+
+\begin_float tab 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset  Tabular
+<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
+<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Euler (
+\begin_inset Formula \( k=0.01 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+RK4 (
+\begin_inset Formula \( k=1 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Nystrom (
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.98664
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.98664
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.98664
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+346.627
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.32148
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+347
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.32024
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+344
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2.31979
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+693.385
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.89903
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+693
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.89726
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+690
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.89658
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1040.03
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.60687
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1039
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.60474
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1036
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.60405
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1386.63
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.39277
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1386
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.39041
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1384
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.38988
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1733.19
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.22912
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1732
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.22664
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1730
+\end_inset 
+</cell>
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1.22619
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2079.72
+\end_inset 
+</cell>
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
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+</cell>
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+
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+
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+
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+
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+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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+
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+
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+</cell>
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+
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+\begin_inset Text
+
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+
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+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
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+</cell>
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+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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+\begin_inset Text
+
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+
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+
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+
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+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
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+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.836549
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+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+3116
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.833774
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+3114
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+0.833586
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{tab:max_f}
+
+\end_inset 
+
+Valores de excursión máxima para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+\begin_float tab 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset  Tabular
+<lyxtabular version="2" rows="12" columns="6">
+<features rotate="false" islongtable="false" endhead="0" endfirsthead="0" endfoot="0" endlastfoot="0">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="false" width="" special="">
+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
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+<column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="" special="">
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+RK4 (
+\begin_inset Formula \( k=1 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="true" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Nystrom (
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Tiempo (t)
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+Altura (z)
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+173.314
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+173
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+172
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.61105
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+520.026
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.08906
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+520
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-2.08701
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+866.724
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+866
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.73878
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+864
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
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+
+\layout Standard
+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+
+\layout Standard
+
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+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
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+
+\layout Standard
+
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+
+\layout Standard
+
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+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1559
+\end_inset 
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+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
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+
+\layout Standard
+
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+\end_inset 
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+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.30304
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+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
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+
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+
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+
+\layout Standard
+
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+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1905
+\end_inset 
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+
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+
+-1.15842
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+1902
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.15807
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2252.97
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.04507
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2251
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.04246
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2248
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-1.04214
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2599.47
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.950282
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2597
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.947593
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2594
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.947306
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="false" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2945.96
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.871298
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2943
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.86855
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+2940
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.868298
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+<row topline="true" bottomline="true" newpage="false">
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+3292.44
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.804476
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+3290
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.801688
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="false" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+3286
+\end_inset 
+</cell>
+<cell multicolumn="0" alignment="center" valignment="top" topline="true" bottomline="false" leftline="true" rightline="true" rotate="false" usebox="none" width="" special="">
+\begin_inset Text
+
+\layout Standard
+
+-0.801451
+\end_inset 
+</cell>
+</row>
+</lyxtabular>
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{tab:min_f}
+
+\end_inset 
+
+Valores de excursión mínima para el caso con depósitos y con fricción turbulenta.
+\end_float 
+\layout Section
+
+Estimación del tiempo de reposo.
+\layout Standard
+
+Para estimar el tiempo de reposo se probó el método utilizado en el punto
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+, pero no se pudo hallar una buena función aproximante, por lo tanto se
+ resolvió igual que en el caso anterior, buscando una solución hasta hallar
+ el valor límite de 
+\begin_inset Formula \( z=0.01 \)
+\end_inset 
+
+ que para el punto 
+\begin_inset LatexCommand \ref{sec:tiempo_reposo}
+
+\end_inset 
+
+.
+ Para el método de Euler no se justifica calcular la estimación, ya que
+ basándonos en los valores obtenidos por otros métodos hay que llegar a
+ un 
+\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
+\end_inset 
+
+ para lo que serían necesario un paso muy pequeño para que se note su tendencia
+ a divergir.
+\layout Subsection
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f4r.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:rk4_f4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para RK4.
+\end_float 
+Para hallar la estimación simplemente se resolvió la ecuación hasta que
+\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Esto sucedió para 
+\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
+\end_inset 
+
+ utilizando un paso de 
+\begin_inset Formula \( k=3.5 \)
+\end_inset 
+
+ como se observa en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:rk4_f4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Subsection
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+\begin_float fig 
+\layout Standard
+\align center 
+
+\begin_inset Figure size 360 252
+file f4n.eps
+flags 11
+
+\end_inset 
+
+
+\layout Caption
+
+
+\begin_inset LatexCommand \label{fig:nystrom_f4}
+
+\end_inset 
+
+Estimación del tiempo de reposo para Nystrom.
+\end_float 
+Al igual que para RK4, simplemente se resolvió la ecuación hasta que 
+\begin_inset Formula \( z\leq 0.01 \)
+\end_inset 
+
+.
+ Esto también sucedió para 
+\begin_inset Formula \( t\cong 350000 \)
+\end_inset 
+
+ pero utilizando un el único paso estable para Nystrom, 
+\begin_inset Formula \( k=2 \)
+\end_inset 
+
+, como se observa en la figura 
+\begin_inset LatexCommand \ref{fig:nystrom_f4}
+
+\end_inset 
+
+.
+\layout Chapter
+
+Conclusiones.
+\layout Standard
+
+Este trabajo práctico sirvió para ver las ventajas y desventajas de cada
+ método para distintas situaciones.
+ En términos generales se pueden hacer las siguientes observaciones sobre
+ cada método en particular.
+\layout Section
+
+Euler.
+\layout Standard
+
+El método de Euler es un método que en la práctica sólo sirve para darse
+ una idea de cual es la forma de la solución a grandes rasgos.
+ Al buscar algo de estabilidad y precisión con este método se ven rápidamente
+ sus falencias y para hacer cálculos levemente precisos es necesario un
+ gran número de iteraciones.
+ A pesar de esto tiene como ventaja ser un método muy simple, característica
+ que facilita el análisis teórico para evaluar su comportamiento y su implementa
+ción computacional.
+\layout Section
+
+Runge-Kutta de orden 4.
+\layout Standard
+
+Este método se comporta de forma muy estable en todas las situaciones y
+ aún con pasos relativamente grandes.
+ A pesar de esto es un método lento (evalúa la función 
+\begin_inset Formula \( f_{(t,x)} \)
+\end_inset 
+
+ de la ecuación diferencial 4 veces por iteración) esto no se convierte
+ en un problema por la posibilidad de usar un paso grande sin perder precisión
+ ni estabilidad.
+ Como desventaja principal se puede nombrar que es un método complejo, no
+ tanto de implementar pero sí de analizar teóricamente para predecir su
+ comportamiento (como se vio en el punto 
+\begin_inset LatexCommand \vref{sec:rk4_conservacion}
+
+\end_inset 
+
+).
+ También pudimos comprobar experimentalmente que es un método conservativo,
+ al menos para los rangos de 
+\begin_inset Formula \( k \)
+\end_inset 
+
+ que estuvimos trabajando.
+\layout Section
+
+Nystrom.
+\layout Standard
+
+El método de Nystrom sorprendió por su incondicional estabilidad y bajo
+ error para un paso 
+\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
+\end_inset 
+
+ y su gran inestabilidad para pasos que no estén en este rango, ya sea convergie
+ndo rápidamente (dejando de ser conservativo) como divergiendo rápidamente
+ (de manera tan brusca que ni pudo ser graficado).
+ El método no es tan complejo de analizar teóricamente, lo que facilita
+ un poco el predecir su comportamiento y es tal vez el más fácil de implementar
+ ya que no tiene que ser convertido en un sistema de ecuaciones diferenciales
+ (aunque necesita un segundo valor inicial para arrancar, que puede ser
+ un problema si no se conoce en absoluto la ecuación que se está discretizando).
+ El hecho de que el paso deba ser del orden de 
+\begin_inset Formula \( k\cong 2 \)
+\end_inset 
+
+ puede ser visto tanto como una ventaja como una desventaja, ya que no nos
+ permite analizar lo que pasa en la función en intervalos de tiempo pequeño
+ pero nos deja analizar que pasa en intervalos de tiempo relativamente grandes
+ con pocas iteraciones.
+\layout Chapter
+
+Código Fuente.
+\layout Section
+
+Programa Principal (
+\family typewriter 
+77891.cpp
+\family default 
+).
+\layout LyX-Code
+
+// vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+\layout LyX-Code
+
+//
+\layout LyX-Code
+
+// Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+\layout LyX-Code
+
+// Este programa resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales
+\layout LyX-Code
+
+// resultante de un problema físico de oscilación de líquidos.
+\layout LyX-Code
+
+// Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+\layout LyX-Code
+
+// 
+\layout LyX-Code
+
+// Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+\layout LyX-Code
+
+// y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+\layout LyX-Code
+
+// License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+\layout LyX-Code
+
+// o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+\layout LyX-Code
+
+// 
+\layout LyX-Code
+
+// Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+\layout LyX-Code
+
+// útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+\layout LyX-Code
+
+// implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+\layout LyX-Code
+
+// particular.
+ Vea la "GNU General Public License" para más
+\layout LyX-Code
+
+// detalles.
+\layout LyX-Code
+
+// 
+\layout LyX-Code
+
+// Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+\layout LyX-Code
+
+// License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+\layout LyX-Code
+
+// Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+\layout LyX-Code
+
+// Boston, MA  02111-1307, USA.
+\layout LyX-Code
+
+//
+\layout LyX-Code
+
+// $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/informe.lyx $
+\layout LyX-Code
+
+// $Date: 2002-12-05 03:19:47 -0300 (jue, 05 dic 2002) $
+\layout LyX-Code
+
+// $Rev: 36 $
+\layout LyX-Code
+
+// $Author: luca $
+\layout LyX-Code
+
+//
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+#include <iostream.h>
+\layout LyX-Code
+
+#include <stdlib.h>
+\layout LyX-Code
+
+#include <math.h>
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Tipos de datos.
+\layout LyX-Code
+
+typedef unsigned int Indice;
+\layout LyX-Code
+
+typedef float Numero;
+\layout LyX-Code
+
+struct Datos;
+\layout LyX-Code
+
+typedef Numero (*Friccion)( Datos&, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+typedef Numero (*Funcion)( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+typedef void (*Metodo)( Datos& );
+\layout LyX-Code
+
+struct Datos {
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   to; // Tiempo inicial
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   tf; // Tiempo final
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   k;  // Paso
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   xo; // X inicial = X(to) = Z(to)
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   yo; // Y inicial = Y(to) = X'(to) = Z'(to)
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   D;  // Diametro del tubo
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   n;  // Viscosidad cinemática del líquido
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   g;  // Aceleración de la gravedad
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   f;  // Factor de fricción
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   L;  // Longitud del tubo
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   Le; // Factor de pérdida de carga
+\layout LyX-Code
+
+    Numero   G;  // Factor geométrico
+\layout LyX-Code
+
+    Funcion  fx; // Función asociada a la derivada de x
+\layout LyX-Code
+
+    Funcion  fy; // Función asociada a la derivada de y
+\layout LyX-Code
+
+    Friccion fi; // Factor asociado a pérdidas por fricción
+\layout LyX-Code
+
+};
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Factor de fricción nulo.
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionNula( Datos&, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Factor de fricción laminar.
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionLaminar( Datos&, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Factor de fricción turbulenta.
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionTurbulenta( Datos&, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Factor de fricción turbulenta (con depósitos).
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos&, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Función asociada a la primera derivada (x'=z').
+\layout LyX-Code
+
+Numero funcionX( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Función asociada a la segunda derivada (y'=x''=z'').
+\layout LyX-Code
+
+Numero funcionY( Datos&, Numero, Numero, Numero );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Euler.
+\layout LyX-Code
+
+void euler( Datos& );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta de órden
+ 4.
+\layout LyX-Code
+
+void rk4( Datos& );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Calcula la ecuación diferencial por el método de Nystrom.
+\layout LyX-Code
+
+void nystrom( Datos& );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Constantes.
+\layout LyX-Code
+
+const Numero   DEFAULT_N  = 1000, // Cantidad de pasos por defecto
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_to = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_tf = 440.0,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_xo = 2.9866369,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_yo = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_D  = 0.5,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_n  = 1e-6,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_g  = 9.8,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_f  = 0.03,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_L  = 892.0,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_Le = 1070.4,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_G  = 2.0;
+\layout LyX-Code
+
+const Funcion  DEFAULT_fx = &funcionX,
+\layout LyX-Code
+
+               DEFAULT_fy = &funcionY;
+\layout LyX-Code
+
+const Friccion DEFAULT_fi = &friccionNula;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+int main( int argc, char* argv[] ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Se fija que tenga los argumentos necesarios para correr.
+\layout LyX-Code
+
+    if ( argc < 2 ) {
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "Faltan argumentos.
+ Modo de uso:" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+t" << argv[0] << " método fi G tf N to xo yo D n g f L Le" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "Desde fi en adelante son opcionales.
+ Los valores por defecto son:" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tfi  = n" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tG   = " << DEFAULT_G  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+ttf  = " << DEFAULT_tf << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tN   = " << DEFAULT_N  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tto  = " << DEFAULT_to << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+txo  = " << DEFAULT_xo << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tyo  = " << DEFAULT_yo << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tD   = " << DEFAULT_D  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tn   = " << DEFAULT_n  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tg   = " << DEFAULT_g  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tf   = " << DEFAULT_f  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tL   = " << DEFAULT_L  << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        cerr << "
+\backslash 
+tLe  = " << DEFAULT_Le << endl;
+\layout LyX-Code
+
+        return EXIT_FAILURE;
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Selecciona el método deseado.
+\layout LyX-Code
+
+    Metodo metodo = NULL;
+\layout LyX-Code
+
+    switch ( char( argv[1][0] ) ) {
+\layout LyX-Code
+
+        case 'e':
+\layout LyX-Code
+
+            metodo = &euler;
+\layout LyX-Code
+
+            break;
+\layout LyX-Code
+
+        case 'r':
+\layout LyX-Code
+
+            metodo = &rk4;
+\layout LyX-Code
+
+            break;
+\layout LyX-Code
+
+        case 'n':
+\layout LyX-Code
+
+            metodo = &nystrom;
+\layout LyX-Code
+
+            break;
+\layout LyX-Code
+
+        default:
+\layout LyX-Code
+
+            cerr << "Debe especificar un método válido:" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+            cerr << "
+\backslash 
+te: Euler" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+            cerr << "
+\backslash 
+tr: Runge-Kutta 4" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+            cerr << "
+\backslash 
+tn: Nystrom" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+            return EXIT_FAILURE;
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Se inicializan los datos.
+\layout LyX-Code
+
+    Numero N = DEFAULT_N;
+\layout LyX-Code
+
+    Datos D;
+\layout LyX-Code
+
+    D.to = DEFAULT_to;
+\layout LyX-Code
+
+    D.tf = DEFAULT_tf;
+\layout LyX-Code
+
+    D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
+\layout LyX-Code
+
+    D.xo = DEFAULT_xo;
+\layout LyX-Code
+
+    D.yo = DEFAULT_yo;
+\layout LyX-Code
+
+    D.D  = DEFAULT_D;
+\layout LyX-Code
+
+    D.n  = DEFAULT_n;
+\layout LyX-Code
+
+    D.g  = DEFAULT_g;
+\layout LyX-Code
+
+    D.f  = DEFAULT_f;
+\layout LyX-Code
+
+    D.L  = DEFAULT_L;
+\layout LyX-Code
+
+    D.Le = DEFAULT_Le;
+\layout LyX-Code
+
+    D.G  = DEFAULT_G;
+\layout LyX-Code
+
+    D.fx = DEFAULT_fx;
+\layout LyX-Code
+
+    D.fy = DEFAULT_fy;
+\layout LyX-Code
+
+    D.fi = DEFAULT_fi;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Si se pasaron datos como argumento, se los va agregando.
+\layout LyX-Code
+
+    switch ( argc ) {
+\layout LyX-Code
+
+        case 15: D.Le = Numero( atof( argv[14] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 14: D.L  = Numero( atof( argv[13] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 13: D.f  = Numero( atof( argv[12] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 12: D.g  = Numero( atof( argv[11] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 11: D.n  = Numero( atof( argv[10] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 10: D.D  = Numero( atof( argv[9] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 9:  D.yo = Numero( atof( argv[8] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 8:  D.xo = Numero( atof( argv[7] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 7:  D.to = Numero( atof( argv[6] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 6:  N    = Numero( atof( argv[5] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 5:  D.tf = Numero( atof( argv[4] ) );
+\layout LyX-Code
+
+                 // Se recalcula el paso (k) si se cambio to, N o tf.
+\layout LyX-Code
+
+                 D.k  = ( D.tf - D.to ) / N;
+\layout LyX-Code
+
+        case 4:  D.G  = Numero( atof( argv[3] ) );
+\layout LyX-Code
+
+        case 3:  switch ( char( argv[2][0] ) ) { // Tipo de fricción
+\layout LyX-Code
+
+                    case 'n':
+\layout LyX-Code
+
+                        D.fi = &friccionNula;
+\layout LyX-Code
+
+                        break;
+\layout LyX-Code
+
+                    case 'l':
+\layout LyX-Code
+
+                        D.fi = &friccionLaminar;
+\layout LyX-Code
+
+                        break;
+\layout LyX-Code
+
+                    case 't':
+\layout LyX-Code
+
+                        D.fi = &friccionTurbulenta;
+\layout LyX-Code
+
+                        break;
+\layout LyX-Code
+
+                    case 'd':
+\layout LyX-Code
+
+                        D.fi = &friccionTurbulentaConDepositos;
+\layout LyX-Code
+
+                        break;
+\layout LyX-Code
+
+                    default:
+\layout LyX-Code
+
+                        cerr << "Debe especificar un tipo de fricción válido:"
+ << endl;
+\layout LyX-Code
+
+                        cerr << "
+\backslash 
+tn: Nula" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+                        cerr << "
+\backslash 
+tl: Laminar" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+                        cerr << "
+\backslash 
+tt: Turbulenta" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+                        cerr << "
+\backslash 
+td: Turbulenta (con depósitos)" << endl;
+\layout LyX-Code
+
+                        return EXIT_FAILURE;
+\layout LyX-Code
+
+                 }
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Imprime el paso utilizado.
+\layout LyX-Code
+
+    cerr << "Paso k = " << D.k << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Ejecuta el método correspondiente con los datos correspondientes.
+\layout LyX-Code
+
+    metodo( D );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return EXIT_SUCCESS;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionNula( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return 0.0;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionLaminar( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return 32 * D.n / ( D.D * D.D );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionTurbulenta( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return D.f * fabs( y ) / ( 2 * D.D );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero friccionTurbulentaConDepositos( Datos& D, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return D.f * fabs( y ) * D.Le / ( 2 * D.D * D.L);
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero funcionX( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return y;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+Numero funcionY( Datos& D, Numero t, Numero x, Numero y ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    return - D.fi( D, x, y ) * y - D.g * D.G * x / D.L;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+void euler( Datos& D ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    Numero  xo = D.xo,
+\layout LyX-Code
+
+            yo = D.yo,
+\layout LyX-Code
+
+            x  = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            y  = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            t  = D.to;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    while ( t < D.tf ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+\layout LyX-Code
+
+        x = xo + D.k * D.fx( D, t, xo, yo );
+\layout LyX-Code
+
+        y = yo + D.k * D.fy( D, t, xo, yo );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Imprimo resultados.
+\layout LyX-Code
+
+        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Reemplazo valores iniciales.
+\layout LyX-Code
+
+        xo = x;
+\layout LyX-Code
+
+        yo = y;
+\layout LyX-Code
+
+        t += D.k;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+void rk4( Datos& D ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    Numero  x   = D.xo,
+\layout LyX-Code
+
+            y   = D.yo,
+\layout LyX-Code
+
+            t   = D.to,
+\layout LyX-Code
+
+            qx1 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qx2 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qx3 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qx4 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qy1 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qy2 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qy3 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            qy4 = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            unSexto = 1.0 / 6.0;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Imprimo datos iniciales.
+\layout LyX-Code
+
+    cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    while ( t < D.tf ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+\layout LyX-Code
+
+        qx1 = D.k * D.fx( D, t, x, y );
+\layout LyX-Code
+
+        qy1 = D.k * D.fy( D, t, x, y );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        qx2 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
+\layout LyX-Code
+
+        qy2 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx1 / 2.0, y + qy1 / 2.0 );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        qx3 = D.k * D.fx( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
+\layout LyX-Code
+
+        qy3 = D.k * D.fy( D, t + D.k / 2.0, x + qx2 / 2.0, y + qy2 / 2.0 );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        qx4 = D.k * D.fx( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
+\layout LyX-Code
+
+        qy4 = D.k * D.fy( D, t + D.k, x + qx3, y + qy3 );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        x += unSexto * ( qx1 + 2 * qx2 + 2 * qx3 + qx4 );
+\layout LyX-Code
+
+        y += unSexto * ( qy1 + 2 * qy2 + 2 * qy3 + qy4 );
+\layout LyX-Code
+
+        t += D.k;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Imprimo resultados.
+\layout LyX-Code
+
+        cout << t << " " << x << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+void nystrom( Datos& D ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    Numero  gGk2_L = D.g * D.G * D.k * D.k / D.L,
+\layout LyX-Code
+
+            xo  = D.xo,
+\layout LyX-Code
+
+            x1  = ( 1 - gGk2_L * 0.5 ) * D.xo,
+\layout LyX-Code
+
+            x2  = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            y   = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            fi  = 0.0,
+\layout LyX-Code
+
+            t   = D.to;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    // Imprimo valores iniciales.
+\layout LyX-Code
+
+    cout << t << " " << xo << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+    y = ( x1 - xo ) / D.k;
+\layout LyX-Code
+
+    cout << t << " " << x1 << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    while ( t < D.tf ) {
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Calculo los datos para este punto.
+\layout LyX-Code
+
+        fi  = D.fi( D, x1, y );
+\layout LyX-Code
+
+        x2 = ( ( fi - 1 ) * xo + ( 2 - gGk2_L ) * x1 ) / ( fi + 1 );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Prepara para próxima iteración
+\layout LyX-Code
+
+        t += D.k;
+\layout LyX-Code
+
+        xo = x1;
+\layout LyX-Code
+
+        x1 = x2;
+\layout LyX-Code
+
+        y  = ( x1 - xo ) / D.k;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+        // Imprimo resultados.
+\layout LyX-Code
+
+        cout << t << " " << x2 << " " << y << endl;
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout Section
+
+Utilidades.
+\layout Standard
+
+Todas las utilidades listadas aquí son Software Libre; puede redistribuirlas
+ y/o modificarlas bajo los términos de la "GNU General Public License" como
+ lo publica la "FSF Free Software Foundation", o (a su elección) de cualquier
+ versión posterior.
+\layout Subsection
+
+
+\family typewriter 
+calcula_periodo
+\layout LyX-Code
+
+#!/usr/bin/php4 -qC
+\layout LyX-Code
+
+<?
+\layout LyX-Code
+
+// Muestra ayuda.
+\layout LyX-Code
+
+if ( $argc < 2 ) {
+\layout LyX-Code
+
+    echo "Modo de uso:
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    echo "$argv[0] archivo
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    exit;
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Abre archivo y obtiene datos iniciales.
+\layout LyX-Code
+
+$f = fopen( $argv[1], 'r' );
+\layout LyX-Code
+
+$s = fgets( $f, 4096 )
+\layout LyX-Code
+
+    or die( "El archivo está vacío o no se pudo abrir.
+\backslash 
+n" );
+\layout LyX-Code
+
+list( $t0, $z0 ) = preg_split( '/
+\backslash 
+s/', $s );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Procesa archivo calculando período.
+\layout LyX-Code
+
+$t_ant  = 0;
+\layout LyX-Code
+
+$c      = 0;
+\layout LyX-Code
+
+$t_sum  = 0;
+\layout LyX-Code
+
+$t_max  = 0;
+\layout LyX-Code
+
+$tt_max = 0;
+\layout LyX-Code
+
+$t_min  = 5000;
+\layout LyX-Code
+
+$tt_min = 0;
+\layout LyX-Code
+
+while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
+\layout LyX-Code
+
+    // Obtiene datos.
+\layout LyX-Code
+
+    list( $t, $z ) = preg_split( '/
+\backslash 
+s/', $s );
+\layout LyX-Code
+
+    // Se fija si es un "cero decreciente".
+\layout LyX-Code
+
+    if ( $z0 > 0 and ( $z < 0  or $z == 0 ) ) {
+\layout LyX-Code
+
+        if ( $t_ant ) {
+\layout LyX-Code
+
+            $t_actual = $t - $t_ant;
+\layout LyX-Code
+
+            if ( $t_actual > $t_max ) {
+\layout LyX-Code
+
+                $t_max  = $t_actual;
+\layout LyX-Code
+
+                $tt_max = $t;
+\layout LyX-Code
+
+            }
+\layout LyX-Code
+
+            if ( $t_actual < $t_min ) {
+\layout LyX-Code
+
+                $t_min  = $t_actual;
+\layout LyX-Code
+
+                $tt_min = $t;
+\layout LyX-Code
+
+            }
+\layout LyX-Code
+
+            echo "$t_actual
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+            $t_sum += $t_actual;
+\layout LyX-Code
+
+            $t_ant = $t;
+\layout LyX-Code
+
+            $c++;
+\layout LyX-Code
+
+        } else {
+\layout LyX-Code
+
+            $t_ant = $t;
+\layout LyX-Code
+
+        }
+\layout LyX-Code
+
+    }
+\layout LyX-Code
+
+    // Actualiza valores anteriores.
+\layout LyX-Code
+
+    $t0 = $t;
+\layout LyX-Code
+
+    $z0 = $z;
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+fclose( $f );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Imprime período.
+\layout LyX-Code
+
+echo "Períodos promedio: " .
+ $t_sum / $c .
+ " ($c períodos promediados)
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+echo "Período máximo: $t_max (en t = $tt_max)
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+echo "Período mínimo: $t_min (en t = $tt_min)
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+?>
+\layout Subsection
+
+
+\family typewriter 
+calcula_maxmin
+\layout LyX-Code
+
+#!/usr/bin/php4 -qC
+\layout LyX-Code
+
+<?
+\layout LyX-Code
+
+// Muestra ayuda.
+\layout LyX-Code
+
+if ( $argc < 3 ) {
+\layout LyX-Code
+
+    echo "Modo de uso:
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    echo "$argv[0] modo archivo
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    echo "Donde modo es 'max' para calcular los máximos o 'min' para calcular
+ los mínimos.
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    exit;
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Abre archivos y obtiene datos iniciales.
+\layout LyX-Code
+
+$f = fopen( $argv[2], 'r' )
+\layout LyX-Code
+
+    or die( "Error al abrir $argv[2] para lectura.
+\backslash 
+n" );
+\layout LyX-Code
+
+$s = fgets( $f, 4096 )
+\layout LyX-Code
+
+    or die( "El archivo $argv[2] está vacío.
+\backslash 
+n" );
+\layout LyX-Code
+
+list( $t0, $z0, $dz0 ) = preg_split( '/
+\backslash 
+s/', $s );
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// El primer valor siempre es un máximo.
+\layout LyX-Code
+
+if ( $argv[1] == 'max' )
+\layout LyX-Code
+
+    echo "$t0 $z0
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+\layout LyX-Code
+
+// Procesa archivo calculando máximos y mínimos.
+\layout LyX-Code
+
+while ( ( $s = fgets( $f, 4096 ) ) !== false ) {
+\layout LyX-Code
+
+    // Obtiene datos.
+\layout LyX-Code
+
+    list( $t, $z, $dz ) = preg_split( '/
+\backslash 
+s/', $s );
+\layout LyX-Code
+
+    // Se fija si la derivada es un "cero decreciente" (si es un máximo).
+\layout LyX-Code
+
+    if ( $argv[1] == 'max' and $dz0 > 0 and ( $dz < 0  or $dz == 0 ) )
+\layout LyX-Code
+
+        if ( $z0 > $z )
+\layout LyX-Code
+
+            echo "$t0 $z0
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+        else
+\layout LyX-Code
+
+            echo "$t $z
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    // Se fija si la derivada es un "cero creciente" (si es un mínimo).
+\layout LyX-Code
+
+    if ( $argv[1] == 'min' and $dz0 < 0 and ( $dz > 0  or $dz == 0 ) )
+\layout LyX-Code
+
+        if ( $z0 < $z )
+\layout LyX-Code
+
+            echo "$t0 $z0
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+        else
+\layout LyX-Code
+
+            echo "$t $z
+\backslash 
+n";
+\layout LyX-Code
+
+    // Actualiza valores anteriores.
+\layout LyX-Code
+
+    $t0  = $t;
+\layout LyX-Code
+
+    $z0  = $z;
+\layout LyX-Code
+
+    $dz0 = $dz;
+\layout LyX-Code
+
+}
+\layout LyX-Code
+
+fclose( $f );
+\layout LyX-Code
+
+?>
+\the_end
diff --git a/periodo.gnuplot b/periodo.gnuplot
new file mode 100755 (executable)
index 0000000..19b3a20
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,52 @@
+#!/usr/bin/gnuplot
+# vim: set tabstop=4 softtabstop=4 shiftwidth=4 expandtab:
+#
+# Trabajo Práctico II de Análisis Numérico I
+# Genera gráficos con los resultados de las corridas utilizando
+# GNU Plot.
+# Copyright (C) 2002 Leandro Lucarella <leandro@lucarella.com.ar>
+#
+# Este programa es Software Libre; usted puede redistribuirlo
+# y/o modificarlo bajo los términos de la "GNU General Public
+# License" como lo publica la "FSF Free Software Foundation",
+# o (a su elección) de cualquier versión posterior.
+#
+# Este programa es distribuido con la esperanza de que le será
+# útil, pero SIN NINGUNA GARANTIA; incluso sin la garantía
+# implícita por el MERCADEO o EJERCICIO DE ALGUN PROPOSITO en
+# particular. Vea la "GNU General Public License" para más
+# detalles.
+#
+# Usted debe haber recibido una copia de la "GNU General Public
+# License" junto con este programa, si no, escriba a la "FSF
+# Free Software Foundation, Inc.", 59 Temple Place - Suite 330,
+# Boston, MA  02111-1307, USA.
+#
+# $URL: http://www.llucax.hn.org:81/svn/facultad/75.12/tp2/periodo.gnuplot $
+# $Date: 2002-11-30 03:48:32 -0300 (sáb, 30 nov 2002) $
+# $Rev: 31 $
+# $Author: luca $
+#
+
+# Seteo terminal para que "dibuje" en un PS.
+set term postscript eps enhanced color
+set encoding iso_8859_1
+set output "<P>2.eps"
+
+# Seteos generales.
+set title "Evolución del período para el caso <PUNTO_DEP> depósitos y <PUNTO_FRIC> fricción<PUNTO_FRIC_TIPO>"
+set key right top
+
+# Eje X.
+set xlabel  "Tiempo"
+set mxtics  5
+
+# Eje Y.
+set ylabel "Período (s)"
+set ytics   nomirror
+set mytics  5